高考数学方法技巧第20讲 平面向量共线定理（原卷版）

第20讲平面向量共线定理随着向量在科学研究中的工具性应用，与它在社会生产生活中所起的巨大作用，所以近年来数学高考题中，命入了共线向量内容考题.在今后的高考试题中，共线向量必将增长态势.其在高考题型多以选择题、填空题出现，其试题难度属低中档题.方法一共线定理的代数运算第一步表示共线；第二步列出等式；第三步得出结论.例1、（1）已知向量，满足，，若与共线，则（）A．2B．4C．D．22（2）在中，，D是上的点，若，则实数x的值为（）A．B．C．D．【变式演练1】已知向量满足，，，则（）A．或B．C．D．或【变式演练2】【湖北省武汉市武昌区高三下学期六月适应性考试】如图在中，，P为CD上一点，且满足，则实数m的值为（）A．B．C．D．方法二建系设坐标处理共线问题第一步根据条件建立合适的坐标系；第二步用坐标合理的表示各个向量以及关系；第三步得出结论.7/7,例2【黑龙江省大庆一中高三高考数学（文科）三模】“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形中，满足“勾3股4弦5”，且，为上一点，.若，则的值为（）A．B．C．D．【变式演练3】如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．方法三几何法第一步将已知条件进行向量处理；第二步利用平面向量的运算法则和线性运算等性质进行求解；第三步得出结论.例3平面内有一个和一点，线段的中点分别为的中点分别为，设.（1）试用表示向量；（2）证明线段交于一点且互相平分.【变式演练4】已知正六边形，､分别是对角线､上的点，使得，当___________时，､､三点共线.7/7,【变式演练5】【甘肃省高三第二次高考诊断考试】如图，在中，是的中点，在边上，且，与交于点，若，则的值是（）A．B．C．D．3【反馈练习】1.【湖南省益阳市高三下学期5月高考模拟理科】已知向量与向量共线，则实数x的值为（）A．﹣B．或﹣C．D．或02．【湖南省衡阳市第八中学高三下学期高考适应性考试】在中，D，E分别为，上的点，且，，若，则（）A．B．C．D．3．【陕西省西安市八校高三（6月份)高考数学（理科)联考】设是平面内两个不共线的向量，（a＞0，b＞0），若A，B，C三点共线，则的最小值是（）A．2B．4C．6D．84．【辽宁省盘锦市辽河油田第三高级中学高三下学期三模】在中，点在线段上，且，为的中点，则DE=（）A．B．7/7,C．D．5．【百校联盟TOP300八月尖子生联考（全国II卷)】在等腰梯形中，，，，为的中点，则（）A．B．C．D．6．【河南省郑州市第一中学高三名校联考】设，分别为等差数列，的前n项和，且.设点A是直线外一点，点P是直线上一点，且，则实数的取值为（）A．B．C．D．7．【湖北省部分重点中学高三上学期第一次联考】点是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（）A．B．C．D．8．【山东省烟台市高三适应性练习】窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境.从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等.如图，在平面直角坐标系中，为正八边形的中心，轴，现用如下方法等可能地确定点：点满足（其中且，），则点（异于点）落在坐标轴上的概率为（）7/7,A．B．C．D．9．【黑龙江省哈尔滨市第三中学校高三第三次模拟】已知中，长为2的线段为边上的高，满足：，且，则（）A．B．C．D．10．【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三下学期第三次模拟】已知M为的边的中点，N为内一点，且，则（）A．B．C．D．11．【福建省三明市高三毕业班质量检查测试】早在公元前十一世纪，周朝数学家商高就提出“勾三股四弦五”，《周髀算经》中曾有记载，大意为：“当直角三角形的两条直角边分别为（勾）和（股）时，径隅（弦）则为”，故勾股定理也称为商高定理.现有的三边满足“勾三股四弦五”，其中勾的长为，点在弦上的射影为点，则（）A．B．C．D．12．【广东省广州市高三二模】如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E是BC的中点，F是AE上一点，2，则（　　）A．B．C．D．13．【新疆普通高考高三第二次适应性检测】设M是所在平面上的一点，，D是的中点，，则实数t的值为（）A．B．C．2D．114．【河南省濮阳市高三第二次模拟考试】已知中，点M在线段上，7/7,，且.若，则（）A．B．C．27D．1815．已知向量和不共线，向量，，，若､､三点共线，则（）A．3B．2C．1D．16．设，是两个不共线的平面向量，若，，且与共线，则实数的值为（）A．B．C．D．17．已知，是两个不共线的非零向量，若，则实数（）A．B．C．D．18．在四边形中，，设(，).若，则（）A．B．C．D．19．在中，，是上一点，若，则实数的值为（）A．B．C．D．20.在三角形ABC中，E､F分别为AC､AB上的点，BE与CF交于点Q且，，AQ交BC于点D，，则的值为（）A．3B．4C．5D．621.（多选）如图，已知点是上三个不同定点，Q为弦的中点，是劣弧上异于的一系列动点，连接交于，点满足，其中数列是首项为1的正项数列，是数列的前n项和，则下列结论正确的是（）7/7,A．数列是等比数列B．C．D．22．【江苏省高三下学期6月高考押题】如图，在平行四边形中，分别为的中点，与交于点.若，则的余弦值为____________.23.【山东省普通高等学校招生全国统一考试数学试题模拟卷】在中，，，，为边上的高．若，则________．24．设向量不共线，向量与平行，则实数__________．25．设是不共线的向量，若三点共线，则的值为__________．26．如图所示，在直角梯形ABCD中，已知，，，，M为BD的中点，设P、Q分别为线段AB、CD上的动点，若P、M、Q三点共线，则的最大值为__.27．已知向量，满足，．若，且，则的最大值为______．28．已知的重心为G，过G点的直线与边AB和AC的交点分别为M和N，若，则与的面积之比为________.29．如图，在平行四边形中，分别为的中点，与交于点.若，则的余弦值为____________.7/7