突破新高考数学精选压轴题 第20讲 共线向量问题（原卷版）

第20讲共线向量问题一．解答题（共18小题）1．已知直线，椭圆．（Ⅰ）若不论取何值，直线与椭圆恒有公共点，试求出的取值范围及椭圆离心率关于的函数关系式；（Ⅱ）当时，直线与椭圆相交于，两点，与轴交于点．若，求椭圆的方程．2．已知直线与椭圆相交于，两个不同的点，记直线与轴的交点为．（Ⅰ）若，且，求实数的值；（Ⅱ）若，求的值，及的面积．3．已知直线与椭圆相交于、两个不同的点，记与轴的交点为．（Ⅰ）若，且，求实数的值；（Ⅱ）若，求面积的最大值，及此时椭圆的方程．4．在平面直角坐标系中，已知，若实数使得为坐标原点）（1）求点的轨迹方程，并讨论点的轨迹类型；（2）当时，若过点的直线与（1）中点的轨迹交于不同的两点，在，之间），试求与面积之比的取值范围．5．如图，动点到两定点、构成，且，设动点的轨迹为．（Ⅰ）求轨迹的方程；（Ⅱ）设直线与轴交于点，与轨迹相交于点、，且，求的取值范围． 6．如图，动点与两定点、构成，且直线、的斜率之积为4，设动点的轨迹为．（Ⅰ）求轨迹的方程；（Ⅱ）设直线与轴交于点，与轨迹相交于点、，且，求的取值范围．7．在平面直角坐标系中，已知的两个顶点，的坐标分别为，，且，所在直线的斜率之积等于，记顶点的轨迹为曲线．（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）设直线与轴相交于点，与曲线相交于不同的两点，（点在点和点之间），且，求实数的取值范围．8．已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，，且直线交轴于，直线交轴于．（Ⅰ）求直线的斜率的取值范围；（Ⅱ）设为原点，，，求证：为定值．9．如图，已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，．（1）求直线的斜率的取值范围；（2）设为原点，直线交轴于，直线交轴于．，，求证：为定值． 10．已知点在抛物线上，过点的直线与抛物线有两个不同的交点、，且直线交轴于，直线交轴于．（1）求直线的斜率的取值范围；（2）设为原点，，，试判断是否为定值，若是，求值；若不是，求的取值范围．11．已知，直线，动圆与相外切，且与直线相切．设动圆圆心的轨迹为，过点的直线与曲线有两个不同的交点、．（1）求直线的斜率的取值范围；（2）设为原点，点，直线交轴于，直线交轴于，，，求证：为定值．12．如图所示，在平面直角坐标系中，设椭圆，其中，过椭圆内一点的两条直线分别与椭圆交于点，和，，且满足，，其中为正常数．当点恰为椭圆的右顶点时，对应的．（1）求椭圆的离心率；（2）求与的值；（3）当变化时，是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由． 13．已知椭圆的离心率为，右焦点为，过作轴的垂线交双曲线的两条渐近线于，，得到三角形的面积为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）设，，的三个点都在椭圆上，设的中点为，且，试判断的面积是否为定值，并说明理由．14．双曲线，已知，是双曲线上一点，、分别是双曲线的左右顶点，直线，的斜率之积为1．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）若双曲线的焦距为，直线过点且与双曲线交于、两点，若，求直线的方程．15．已知圆，过点的直线交圆所得的弦长为，且与轴的交点为双曲线的右焦点，，双曲线的离心率为．（1）求双曲线的方程；（2）过点，作动直线交双曲线右支于、两点，点异于，，且在线段上运动，并满足关系，试证明点恒在一条直线上．16．点在以，为焦点的双曲线上，已知，，为坐标原点．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）过点作直线分别与双曲线渐近线相交于，两点，且，，求双曲线的方程；（Ⅲ）若过点，为非零常数）的直线与（2）中双曲线相交于不同于双曲线顶点的两点、，且为非零常数），问在轴上是否存在定点，使？若存在，求出所有这种定点的坐标；若不存在，请说明理由．17．设直线，双曲线，双曲线的离心率为，与交于，两点，直线与轴交于点，且． （1）证明：；（2）求双曲线的方程；（3）若点是双曲线的右焦点，，是双曲线上两点，且，求实数的取值范围．18．，是双曲线上一点，，分别是双曲线的左右顶点，直线，的斜率之积为．（1）求双曲线的离心率；（2）过双曲线的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于，两点，为坐标原点，为双曲线上一点，满足，求的值．