突破新高考数学精选压轴题 第20讲 共线向量问题（解析版）

第20讲共线向量问题参考答案与试题解析一．解答题（共18小题）1．已知直线，椭圆．（Ⅰ）若不论取何值，直线与椭圆恒有公共点，试求出的取值范围及椭圆离心率关于的函数关系式；（Ⅱ）当时，直线与椭圆相交于，两点，与轴交于点．若，求椭圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）直线恒过定点，且直线与椭圆恒有公共点，点在椭圆上或其内部，得，解得，且．（3分）（联立方程组，用判别式法也可）当时，椭圆的焦点在轴上，；当时，椭圆的焦点在轴上，．（6分）（Ⅱ）由，消去得．设，，，，则①，②．，由得③．（9分）由①③得④．将③④代入②得，，解得不合题意，舍去）．椭圆的方程为．（12分） 2．已知直线与椭圆相交于，两个不同的点，记直线与轴的交点为．（Ⅰ）若，且，求实数的值；（Ⅱ）若，求的值，及的面积．【解答】解：设，，，联立得：因此，，（6分），可得：，直线与轴的交点为，，，，，（9分）由得：，代入，得：消去得：（12分）（15分）3．已知直线与椭圆相交于、两个不同的点，记与轴的交点为．（Ⅰ）若，且，求实数的值；（Ⅱ）若，求面积的最大值，及此时椭圆的方程．【解答】解：设，，，，（Ⅰ）由得，则，， 则，解得．（Ⅱ）由，得，则，，由得，，，解得，代入上式得：，则，，当且仅当时取等号，此时，，又，则，解得．所以，面积的最大值为，此时椭圆的方程为．4．在平面直角坐标系中，已知，若实数使得为坐标原点）（1）求点的轨迹方程，并讨论点的轨迹类型；（2）当时，若过点的直线与（1）中点的轨迹交于不同的两点，在，之间），试求与面积之比的取值范围．【解答】解：（1）化简得：①时方程为轨迹为一条直线②时方程为轨迹为圆③，，时方程为轨迹为椭圆④．，，时方程为轨迹为双曲线 （2），点轨迹方程为，设直线直线方程为，联立方程可得：．△，．，，，由题意可知：，所以．5．如图，动点到两定点、构成，且，设动点的轨迹为．（Ⅰ）求轨迹的方程；（Ⅱ）设直线与轴交于点，与轨迹相交于点、，且，求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设的坐标为，显然有，且当时，点的坐标为当时，，由有，即，化简可得而点在曲线上综上可知，轨迹的方程为； （Ⅱ）直线与联立，消元可得①①有两根且均在内设，，，设，的坐标分别为，，，，，，，，且，且，且的取值范围是，，6．如图，动点与两定点、构成，且直线、的斜率之积为4，设动点的轨迹为．（Ⅰ）求轨迹的方程；（Ⅱ）设直线与轴交于点，与轨迹相交于点、，且，求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设，则，直线、的斜率之积为4， 又时，必有一个斜率不存在，故综上点的轨迹方程为（Ⅱ）直线与联立，消元可得①△当1或是方程①的根时，的值为1或，结合题设可知，且设，的坐标分别为，，，，，，，且，且，且的取值范围是， ，7．在平面直角坐标系中，已知的两个顶点，的坐标分别为，，且，所在直线的斜率之积等于，记顶点的轨迹为曲线．（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）设直线与轴相交于点，与曲线相交于不同的两点，（点在点和点之间），且，求实数的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设点，的两个顶点，的坐标分别为，，且，所在直线的斜率之积等于，，化简得曲线的方程为：；（Ⅱ）设直线与轴相交于点，与曲线相交于不同的两点，（点在点和点之间），设，，，；，①△，又，②，，且，③由①②得，结合②得实数的取值范围．且． 点在点和点之间，综上，实数的取值范围：8．已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，，且直线交轴于，直线交轴于．（Ⅰ）求直线的斜率的取值范围；（Ⅱ）设为原点，，，求证：为定值．【解答】解：（Ⅰ）抛物线经过点，，解得，设过点的直线方程为，，，，联立方程组可得，消可得，△，且解得，且，，，又、要与轴相交，直线不能经过点，即，故直线的斜率的取值范围，，，；（Ⅱ）证明：设点，，则，因为，所以，故，同理，直线的方程为，令，得，同理可得，因为 ，，为定值．9．如图，已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，．（1）求直线的斜率的取值范围；（2）设为原点，直线交轴于，直线交轴于．，，求证：为定值．【解答】解：（1）抛物线经过点，，解得，设过点的直线方程为，，，，；联立方程组可得， 消可得，△，且解得，故直线的斜率的取值范围，，；（2）证明：设点，，则，；因为，所以，故，同理，直线的方程为，令，得，同理可得，因为，即有为定值．10．已知点在抛物线上，过点的直线与抛物线有两个不同的交点、，且直线交轴于，直线交轴于．（1）求直线的斜率的取值范围；（2）设为原点，，，试判断是否为定值，若是，求值；若不是，求的取值范围．【解答】解：（1）因点在抛物线上，则，解得，所以抛物线的方程为．令直线的斜率为，则直线方程为：，由，消去并整理得，，直线与抛物线有两个不同的交点、，则，解得且，又直线，与相交，而点在抛物线上，则直线不能过点，否则或之一平行于轴，矛盾，因此， 综上得：，且，所以直线的斜率的取值范围，，，．（2）设点，，，，而，则，同理，设，，，，由，知，直线方程：，即，则，令，得，同理，于是得，所以为定值2．11．已知，直线，动圆与相外切，且与直线相切．设动圆圆心的轨迹为，过点的直线与曲线有两个不同的交点、．（1）求直线的斜率的取值范围；（2）设为原点，点，直线交轴于，直线交轴于，，，求证：为定值．【解答】解：（1）由题意设，且，由题意可得，整理可得：；所以曲线的方程为：；由题意可得直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为：，设，，，联立直线与抛物线的方程：，整理可得：，可得△，解得，且， 所以直线的斜率的取值范围，，．（2）证明：由（1）可得：，，直线的方程为：，令可得，可得，同理可得的坐标，由，，可得，，所以，所以为定值2．12．如图所示，在平面直角坐标系中，设椭圆，其中，过椭圆内一点的两条直线分别与椭圆交于点，和，，且满足，，其中为正常数．当点恰为椭圆的右顶点时，对应的．（1）求椭圆的离心率；（2）求与的值；（3）当变化时，是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．【解答】（本小题满分16分） 解：（1）因为，所以，整理得，即，所以离心率．（4分）（2）因为，，所以由，得，（7分）将它代入到椭圆方程中，得，解得，所以．（10分）（3）解法一：设，，，，，，，，由，得，（12分）又椭圆的方程为，所以由，得①，且②，由②得，，即，结合①，得，（14分）同理，有，所以，从而，即为定值．（16分）（3）解法二：设，，，，，，，， 由，得，同理，（12分）将，坐标代入椭圆方程得，两式相减得，即，（14分）同理，，而，所以，所以，所以，即，所以为定值．（16分）13．已知椭圆的离心率为，右焦点为，过作轴的垂线交双曲线的两条渐近线于，，得到三角形的面积为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）设，，的三个点都在椭圆上，设的中点为，且，试判断的面积是否为定值，并说明理由．【解答】解：（1）因为椭圆的离心率为，所以，其中，双曲线的两条渐近线的方程为，设，则，因为三角形的面积为1，所以，所以，，，所以椭圆的方程为； （2）①当直线的斜率不存在时，因为，所以，此时的方程为；或，此时的方程为．将，代入椭圆方程得，，，所以的面积为．由椭圆轴对称性得：当的方程为时，的面积也为；②当直线的斜率存在时，设直线方程为，设，，，，，，因为的中点为，且，所以的重心是坐标原点，所以，联立和，得，△，当△时，，，所以，，故，因为点在椭圆上，所以代入椭圆整理得，满足△， 因而与满足的等式关系为①当△时，，因为的重心是坐标原点，所以的面积为的面积的3倍，设直线与轴交于点，则．那么的面积为：，关系式（1）代入得，综合①②得，的面积为定值．14．双曲线，已知，是双曲线上一点，、分别是双曲线的左右顶点，直线，的斜率之积为1．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）若双曲线的焦距为，直线过点且与双曲线交于、两点，若，求直线的方程．【解答】解：（Ⅰ），是双曲线上一点，可得，即为，由题意可得，，，可得，即有；（Ⅱ）由题意可得，，双曲线的方程为，设直线的方程为，，联立双曲线的方程， 可得，设，，，，则，，①又，可得，②由①②可得，，代入①可得，解得，则直线的方程为．15．已知圆，过点的直线交圆所得的弦长为，且与轴的交点为双曲线的右焦点，，双曲线的离心率为．（1）求双曲线的方程；（2）过点，作动直线交双曲线右支于、两点，点异于，，且在线段上运动，并满足关系，试证明点恒在一条直线上．【解答】解：（1）设过点的直线为，即为，圆心到直线的距离为，由弦长公式可得，解得，由，解得或．则直线为，令，则舍去，或直线，令，则成立，即有，由离心率为．即．解得，． 则双曲线的方程为；设过点，作动直线交双曲线右支于，、，两点，点，则，，，设，则，，则，，，，则，，即，，则，即，即，故，故点恒在一条直线上．16．点在以，为焦点的双曲线上，已知，，为坐标原点．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）过点作直线分别与双曲线渐近线相交于，两点，且，，求双曲线的方程；（Ⅲ）若过点，为非零常数）的直线与（2）中双曲线相交于不同于双曲线顶点的两点、，且为非零常数），问在轴上是否存在定点，使？若存在，求出所有这种定点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：，，， 渐近线为设，，，，，，代入化简，假设在轴上存在定点使，设，，，，联立与的方程得故（3）由（4）（3）即为（5），将（4）代入（1）（2）有代入（5）得故在轴上存在定点使．17．设直线，双曲线，双曲线的离心率为，与交于，两点，直线与轴交于点，且．（1）证明：；（2）求双曲线的方程；（3）若点是双曲线的右焦点，，是双曲线上两点，且，求实数 的取值范围．【解答】（1）双曲线的离心率为，，从而．双曲线的方程可化为．设，，，由得：则有，从而，，则，即；（2），，，，由得由得则故双曲线的方程为；（3）易知，设，，，．由得：设直线的方程为．由得：则， 消去，得：，，解得或当时，可求出．当直线与轴重合时，可求出或故的取值范围是．18．，是双曲线上一点，，分别是双曲线的左右顶点，直线，的斜率之积为．（1）求双曲线的离心率；（2）过双曲线的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于，两点，为坐标原点，为双曲线上一点，满足，求的值．【解答】解：（1），是双曲线上一点，，①由题意又有，②联立①、②可得，，则，（2）联立，得，设，，，，则，，设，，，即 又为双曲线上一点，即，有，化简得：，又，，，在双曲线上，所以，，而，得，解得或．