突破新高考数学精选压轴题 第18讲 向量的数量积问题（原卷版）

第18讲向量的数量积问题一．解答题（共16小题）1．已知圆交抛物线的准线于，两点点在上方），且．（1）求抛物线的方程；（2）过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，若，求直线的斜率．2．已知抛物线的焦点在轴上，顶点在原点且过点，过点的直线交抛物线于，两点，是线段的中点，过点作轴的垂线交于点．（1）求抛物线的方程；（2）是否存在直线，使得以为直径的圆经过点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．3．已知抛物线过点．（1）求抛物线的标准方程，并求其准线方程；（2）是否存在平行于为坐标原点）的直线，使得直线与的距离等于？若存在，求直线的方程，若不存在，说明理由．（3）过抛物线的焦点作两条斜率存在且互相垂直的直线，，设与抛物线相交于点，，与抛物线相交于点，，求的最小值．4．已知是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线交于，两点（不同于点，直线，分别交直线于点，（1）求抛物线方程及其焦点坐标，准线方程；（2）已知为原点，求证：为定值．5．已知抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于，两点．椭圆的中心在原点，焦点在轴上，点是它的一个顶点，且其离心率．（1）分别求抛物线和椭圆的方程；（2）经过，两点分别作抛物线的切线，，切线与相交于点．证明：；（3）椭圆上是否存在一点，经过点作抛物线的两条切线，，为切点），使得直线过点？若存在，求出点及两切线方程，若不存在，试说明理由．,6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且满足．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆交于不同的两点，，且为坐标原点）．证明：总存在一个确定的圆与直线相切，并求该圆的方程．7．设，为双曲线的左、右顶点，直线过右焦点且与双曲线的右支交于，两点，当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形．（1）求双曲线的离心率；（2）若双曲线左支上任意一点到右焦点点距离的最小值为3，（ⅰ）求双曲线方程；（ⅱ）已知直线，分别交直线于，两点，当直线的倾斜角变化时，以为直径的圆是否过轴上的定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．8．已知，是椭圆的左、右焦点圆与椭圆有且仅有两个公共点，点在椭圆上．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆交于，两点，已知，若为定值，则直线是否经过定点？若经过，求出定点坐标和定值；若不经过，请说明理由．9．设双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线的左、右准线与其一条渐近线的交点分别为，，四边形的面积为4．（1）求双曲线的方程；（2）已知为圆的切线，且与相交于，两点，求．,10．已知椭圆的离心率为，以的四个顶点为顶点的四边形的面积为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设，分别为椭圆的左、右顶点，是直线上不同于点的任意一点，若直线，分别与椭圆相交于异于，的点、，试探究，点是否在以为直径的圆内？证明你的结论．11．已知椭圆过点，且离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）设直线交椭圆于，两点，判断点与以线段为直径的圆的位置关系，并说明理由．12．已知圆，经过椭圆的右焦点及上顶点，过圆外一点，倾斜角为的直线交椭圆于，两点．（1）求椭圆的方程；（2）若右焦点在以线段为直径的圆的内部，求的取值范围．13．设，分别为椭圆的左、右顶点，椭圆的长轴长为4，且点在该椭圆上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设为直线上不同于点的任意一点，若直线与椭圆相交于异于的点，证明：为钝角三角形．14．设，分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线．（Ⅰ）求椭圆的方程；,（Ⅱ）设为右准线上不同于点的任意一点，若直线，分别与椭圆相交于异于，的点、，证明点在以为直径的圆内．15．设，分别为椭圆的左右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且直线是它的右准线．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设为椭圆右准线上不同于点的任意一点，若直线于椭圆相交于两点，，求证：为锐角．16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，若△的周长为6，且离心率．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设，是椭圆长轴的两个端点，点是椭圆上不同于，的任意一点，直线交直线于点，求证：以为直径的圆过点．,