高考数学方法技巧第14讲 导数综合应用的解题模板（原卷版）

第14讲导数综合应用的解题模板导数综合问题是高考的必考的重点内容，主要在导数解答题的的第2小问，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试题难度考查较大.类型一利用导数研究不等式证明问题构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式，构造与之相关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的构造方法有：(1)直接构造法：证明不等式f(x)>g(x)(f(x)<g(x))转化为证明f(x)－g(x)>0(f(x)－g(x)<0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)；(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如lnx≤x－1，ex≥x＋1，lnx<x<ex(x>0)，≤ln(x＋1)≤x(x>－1)；(3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数；(4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数f(x)和g(x)，利用其最值求解．例1(全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝lnx－x＋1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x∈(1，＋∞)时，1＜＜x；(3)设c＞1，证明：当x∈(0,1)时，1＋(c－1)x＞cx.【变式演练1】（作差法证明不等式）【河南省郑州市第一中学高三上学期开学测试数学（文）】已知函数，为的导函数．（1）设，求的单调区间；（2）若，证明：．【变式演练2】（换元法证明双变量不等式）【四川省成都市新都一中高三9月月考数学（理）】已知函数，．（Ⅰ）若在内单调递减，求实数的取值范围；7/7 （Ⅱ）若函数有两个极值点分别为，，证明：．【变式演练3】（利用二次方程韦达定理证明双变量不等式）【四川省新津中学高三上学期开学考试数学（文）】已知函数，其中．（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求实数a的值及函数的单调区间；（2）若函数在定义域上有两个极值点，，且，求证：．【变式演练4】（极值点偏移类的不等式证明）【安徽省高三5月五校联考数学理科】已知函数，.（1）判断函数在区间上的零点的个数；（2）记函数在区间上的两个极值点分别为，，求证：.【变式演练5】（函数与数列综合的不等式证明）【江苏省南通市如皋中学高三创新班下学期高考冲刺模拟（二）】已知函数.（1）当时，不等式恒成立，求的最小值；（2）设数列，其前项和为，证明：.【变式演练6】（拆分法证明不等式）【安徽省马鞍山市高三第三次教学质量监测】已知，.（1）证明：时，；（2）求函数的单调区间；（3）证明：时，.类型二利用导数研究不等式恒成立问题分类讨论法：常见有两种情况：一种先利用综合法，结合导函数的零点之间的大小关系的决定条件，确定分类讨论的标准，分类后，判断不同区间函数的单调性，得到最值，构造不等式求解；另外一种，直接通过导函数的式子，确定以导函数值正负为分类标准，通常导函数为二次函数或者一次函数．对利用导数研究不等式恒成立问题(能成立问题)，一般可转化为最值问题处理．若a>f(x)对x∈D恒成立，7/7 则只需a>f(x)max；若a<f(x)对x∈D恒成立，则只需a<f(x)min.若存在x0∈D，使a>f(x0)成立，则只需a>f(x)min；若存在x0∈D，使a<f(x0)成立，则只需a<f(x0)max.由此构造不等式，求解参数的取值范围.例2(全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－a(x－1)．(1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0，求a的取值范围.【变式演练7】（分离参数法解决不等式恒成立问题）【浙江省杭州高中高三下学期5月高考质检】已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，设函数，若对任意的恒成立，求b的最小值.【变式演练8】（利用函数最值解决双参数恒成立问题）【黑龙江省哈尔滨市第三中学校高三上学期第一次验收考试】已知函数，其中为自然对数的底数.（1）证明：在上单调递增.（2）设，函数，如果总存在，对任意，都成立，求实数的取值范围.【变式演练9】（等价转化法解决不等式恒成立问题）【湖南省长沙市长郡中学高三上学期入学摸底考试】已知函数f(x)＝ex＋，其中e是自然对数的底数.（1）若关于x的不等式mf(x)≤＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；（2）已知正数a满足：存在x∈[1，＋∞)，使得f(x0)<a(－x03＋3x0)成立.试比较与的大小，并证明你的结论.类型三利用导数研究函数零点问题两类零点问题的不同处理方法：利用零点存在性定理的条件——函数图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0.直接法：判断一个零点时，若函数为单调函数，取值证明f(a)·f(b)<0；分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明f(a)·f(b)<0.7/7 例3(全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝x3－a(x2＋x＋1)．(1)若a＝3，求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)只有一个零点.【变式演练9】（研究函数零点个数）【江苏省淮安市淮阴中学高三上学期8月测试】设函数（，）的导函数为.已知，是的两个不同的零点.（1）证明：；（2）当时，若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；（3）求关于的方程的实根的个数.【变式演练10】（已知零点存在情况求参数的值）【安徽省六校教育研究会高三上学期第一次素质测试】已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，若为直线与函数图像的一个公共点，其横坐标为，且，求整数的所有可能的值.【变式演练11】（已知零点存在情况求参数的取值范围）【黑龙江省哈尔滨市第三中学校高三上学期第一次验收考试】已知函数.（1）当时，讨论的单调性：（2）若有两个零点，求实数的取值范围.【反馈练习】1．已知对任意的，不等式恒成立，则正数的取值范围是（）A．B．C．D．2．已知函数（其中为自然对数的底数）有两个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．3．已知函数，若函数有3个不同的零点，则实数a的取值范7/7 围是_________．4．已知函数．（1）讨论的单调性：（2）若在定义城上有两个极值点，求证：．5．已知函数．（1）当时，求在上的最值；（2）设，若有两个零点，求的取值范围．6．已知函数（）．（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：．7．定义在上的关于的函数．（1）若，讨论的单调性；（2）在上恒成立，求的取值范围．8．已知定义在内的函数的导函数.（1）证明：；（2）当时，证明：函数恰有两个极值点.9．已知函数.（1）若，讨论函数的零点个数；（2）设，是函数的两个零点，证明：.10．函数．（1）讨论的极值点的个数；（2）设，若恒成立，求a的取值范围．7/7 11．已知，（1）求在处的切线方程以及的单调性；（2）令，若有两个零点分别为，且为唯一极值点，求证：.12．设函数．（1）若在上存在零点，求实数的取值范围；（2）证明：当时，．13．已知函数，.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，求证：.14．已知函数．（1）当时，求在区间上的最值；（2）若在定义域内有两个零点，求的取值范围．15．已知函数在与时都取得极值．（1）求，的值与函数的单调区间；（2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围．16．已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个相异零点，求证：.17．已知函数的导函数为.（1）当时，求证：；（2）若只有一个零点，求m的取值范围.18．已知函数.7/7 （1）求函数的极值；（2）当|时，函数有两个不同的零点，求实数a的取值范围.19．已知函数.（1）若，且，求的值；（2）证明：.20．已知函数.（1）若，讨论函数的单调性；（2）已知，若在内有两个零点，求的取值范围.7/7