高考数学方法技巧第13讲 利用导数解决函数的极值、最值（原卷版）

第13讲利用导数解决函数的极值、最值导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试题难度考查较大.类型一利用导数研究函数的极值第一步计算函数的定义域并求出函数的导函数；第二步求方程的根；第三步判断在方程的根的左、右两侧值的符号；第四步利用结论写出极值.例1已知函数，求函数的极值.【变式演练1】（极值概念）【西藏日喀则市拉孜高级中学月考】下列说法正确的是（）A．当时，则为的极大值B．当时，则为的极小值C．当时，则为的极值D．当为的极值且存在时，则有【变式演练2】（图像与极值）已知函数的定义域为，其图象大致如图所示，则（）A．B．C．D．6/6 【变式演练3】（解析式中不含参的极值）已知函数，则（）A．的单调递减区间为B．的极小值点为1C．的极大值为D．的最小值为【变式演练4】（解析式中含参数的极值）【四川省德阳市高三高考数学（理科）三诊】已知函数，．（1）求函数的极值；（2）当时，证明：．【变式演练5】（由极值求参数范围）若函数有两个极值点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【变式演练6】（由极值求其他）【四川省江油中学高三上学期开学考试】已知函数在处取得极大值为9.（1）求，的值；（2）求函数在区间上的最大值与最小值.类型二求函数在闭区间上的最值第一步求出函数在开区间内所有极值点；第二步计算函数在极值点和端点的函数值；第三步比较其大小关系，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.例2【河南省天一大联考高三阶段性测试】已知函数，.（1）求函数在上的最值；（2）求函数的极值点.【变式演练7】（极值与最值关系）【安徽省皖江联盟高三上学期12月联考】已知函数在区间上可导，则“函数在区间上有最小值”是“存在，满足”的（）6/6 A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【变式演练8】（由最值求参数范围）【湖北省武汉市高三下学期六月模拟】若函数的最大值为，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【变式演练9】（不含参数最值）【安徽省江淮十校高三上学期第一次联考】已知函数，若存在实数，对任意都有成立.则的最小值为（）A．B．C．D．【变式演练10】（含参最值）【重庆市经开礼嘉中学高三下学期期中】已知函数（1）若为单调增函数，求实数的值；（2）若函数无最小值，求整数的最小值与最大值之和.【变式演练11】（恒成立转求最值）已知函数满足恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【变式演练12】（构造函数求最值）函数，.若，则的最小值为（）A．B．C．D．【反馈练习】1．已知函数，为奇函数，则下述四个结论中说法正确的是（）A．B．在上存在零点，则a的最小值为6/6 C．在上单调递增D．在有且仅有一个极大值点2．已知函数在上恰有三个极值点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．3．设函数，若，则函数的各极大值之和为（）A．B．C．D．4．已知函数f（x）＝﹣ex，则下列说法正确的是（　　）A．f（x）无极大值，也无极小值B．f（x）有极大值，也有极小值C．f（x）有极大值，无极小值D．f（x）无极小值，有极大值5．已知函数在上无极值，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．6．若是函数的极值点，则（）A．B．C．D．7．下列函数中，的最小值为的是（）A．B．C．D．8．若不等式恒成立，则的最小值为（）A．B．C．D．9．函数在上的最小值为（）6/6 A．B．-1C．0D．10．函数，.若，则的最小值为（）A．B．C．3D．11．若不等式对一切恒成立，其中为自然对数的底数，则的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知函数，当时，恒成立，则实数的最大值为（）A．B．C．D．13．关于x的不等式在恒成立，则实数a的最小值为（）A．B．0C．1D．14．设，若存在正实数x，使得不等式成立，则的最大值为（）A．B．C．D．15．【北京五中高三（4月份）高考数学模拟】设函数f（x）＝mex﹣x2+3，其中m∈R.（1）如果f（x）同时满足下面三个条件中的两个：①f（x）是偶函数；②m＝1；③f（x）在（0，1）单调递减.指出这两个条件，并求函数h（x）＝xf（x）的极值；（2）若函数f（x）在区间[﹣2，4]上有三个零点，求m的取值范围.16．【辽宁省锦州市渤大附中、育明高中高三上学期第一次联考】已知函数（1）若，证明：；（2）若在上有两个极值点，求实数a的取值范围.17．【西南地区名师联盟高三入学调研考试】已知函数，、为常数，且，.（1）证明：；6/6 （2）若是函数的一个极值点，试比较与的大小.18．【山东省威海荣成市高三上学期期中】某水产养殖公司在一片海域上进行海洋牧场生态养殖，如图所示，它的边界由圆的一段圆弧（为此圆弧的中点）和线段构成.已知圆的半径为千米，到的距离为千米.现规划在此海域内修建两个生态养殖区域，养殖区域为矩形，养殖区域为，且均在圆弧上，均在线段上，设.（Ⅰ）用分别表示矩形和的面积，并确定的范围；（Ⅱ）根据海域环境和养殖条件，养殖公司决定在内养殖鱼类，在内养殖贝类，且养殖鱼类与贝类单位面积的年产值比为.求当为何值时，能使年总产值最大.19．【江苏省南通市高三下学期高考考前模拟卷】已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）对给定的，函数有零点，求的取值范围；（3）当，时，，记在区间上的最大值为m，且，求n的值．20．【陕西省西安中学高三上学期第一次月考】已知函数．（1）当时，求f(x)的最小值；（2）设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值．6/6