高考数学方法技巧第13讲 利用导数解决函数的极值、最值（解析版）

第13讲利用导数解决函数的极值、最值【高考地位】导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试题难度考查较大.类型一利用导数研究函数的极值万能模板内容使用场景一般函数类型解题模板第一步计算函数的定义域并求出函数的导函数；第二步求方程的根；第三步判断在方程的根的左、右两侧值的符号；第四步利用结论写出极值.例1已知函数，求函数的极值.【答案】极小值为，无极大值.试题解析：第一步，计算函数的定义域并求出函数的导函数：因为，所以的定义域为，所以；第二步，求方程的根：令得，；第三步，判断在方程的根的左、右两侧值的符号：当时，当时，；第四步，利用结论写出极值：所以时，有极小值为，无极大值.【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小36/36微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word学生+教师双版下载QQ群：457512538 于0即可判断函数的增减性，进而求出函数的极大值和极小值．【变式演练1】（极值概念）【西藏日喀则市拉孜高级中学月考】下列说法正确的是（）A．当时，则为的极大值B．当时，则为的极小值C．当时，则为的极值D．当为的极值且存在时，则有【答案】D【解析】【分析】由导函数及极值定义得解.【详解】不妨设函数则可排除ABC由导数求极值的方法知当为的极值且存在时，则有故选：D【变式演练2】（图像与极值）已知函数的定义域为，其图象大致如图所示，则（）A．B．C．D．【来源】福建省莆田市高三高中毕业班3月第二次教学质量检测数学试题【答案】A【分析】36/36微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word学生+教师双版下载QQ群：457512538 设，利用导数求得函数的单调性，以及结合图象中的函数单调性，即可求得的大小关系，得到答案.【详解】设，可得，由图象可知，函数先递增，再递减，最后递增，且当时，取得极小值，所以函数既有极大值，也有极小值，所以有两个根，即，所以，可得且，又由，可得，由，可得，所以，所以.故选：A.【变式演练3】（解析式中不含参的极值）已知函数，则（）A．的单调递减区间为B．的极小值点为1C．的极大值为D．的最小值为【来源】河北省沧州市高三三模数学试题【答案】C【分析】先对函数求导，令，再利用导数判断其单调性，而，从而可求出的单调区间和极值【详解】.令，则，所以在上单调递减.因为，所以当时，；当时，.36/36微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word学生+教师双版下载QQ群：457512538 所以的单调递增区间为，单调递减区间为，故的极大值点为1，的极大值为故选：C【变式演练4】（解析式中含参数的极值）【四川省德阳市高三高考数学（理科）三诊】已知函数，．（1）求函数的极值；（2）当时，证明：．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）对函数进行求导，分为和两种情形讨论单调性即可得极值；（2）令，根据导数判断函数的单调性证明即可.【详解】（1）∵，，∴，当时，恒成立，函数单调递减，函数无极值；当时，时，，函数单调递减；时，，函数单调递增；故函数的极小值为，无极大值.（2）证明：令，，故 ，36/36微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word学生+教师双版下载QQ群：457512538 令的根为，即 ，两边求对数得：，即 ，∴当时，，单调递增；当时，，单调递减；∴，∴，即原不等式成立.【变式演练5】（由极值求参数范围）若函数有两个极值点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【来源】广西桂林市、崇左市高三5月份数学（理）第二次联考试题【答案】B【分析】依题意，有两个变号零点，由，可得，设，求出函数的单调性及取值情况即可得解．【详解】解：依题意，有两个变号零点，令，即，则，显然，则，设，则，设，则，∴在上单调递减，又，36/36微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word学生+教师双版下载QQ群：457512538 ∴当时，，，单调递增，当时，，，单调递减，∴，且时，，时，，∴，解得．故选：B．【点睛】方法点睛：函数零点问题的求解常用的方法有：（1）方程法（直接解方程求解）；（2）图象法（画出函数的图象分析得解）；（3）方程+图象法（令得，分析函数的图象得解）.要根据已知条件灵活选择方法求解.【变式演练6】（由极值求其他）【四川省江油中学高三上学期开学考试】已知函数在处取得极大值为9.（1）求，的值；（2）求函数在区间上的最大值与最小值.【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为.【解析】【分析】（1）先对函数求导，根据题意，列出方程组求解，即可得出结果；（2）根据（1）的结果，确定函数极大值与极小值，再计算出端点值，比较大小，即可得出结果.【详解】（1）由题意得：，，解得：.当时，，，当和时，；当时，，36/36微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word学生+教师双版下载QQ群：457512538 在，上单调递增，在上单调递减，的极大值为，满足题意.（2）由（1）得：的极大值为，极小值为，又，，在区间上的最大值为，最小值为.类型二求函数在闭区间上的最值万能模板内容使用场景一般函数类型解题模板第一步求出函数在开区间内所有极值点；第二步计算函数在极值点和端点的函数值；第三步比较其大小关系，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.例2【河南省天一大联考高三阶段性测试】已知函数，.（1）求函数在上的最值；（2）求函数的极值点.【答案】（1）最大值为，最小值为；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）对函数进行求导可得，求出极值，比较端点值和极值即可得函数的最大值和最小值；（2）对进行求导可得，利用求根公式求出导函数的零点，得到导数与0的关系，判断单调性得其极值.试题解析：第一步，求出函数在开区间内所有极值点：依题意，,令，解得；第二步，计算函数在极值点和端点的函数值：36/36微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word学生+教师双版下载QQ群：457512538 ，，；第三步，比较其大小关系，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值：因为，故函数在上的最大值为，最小值为.（2）第一步，计算函数的定义域并求出函数的导函数：依题意，，，第二步，求方程的根：当时，令，则.因为，所以，其中，第三步，判断在方程的根的左、右两侧值的符号：.因为，所以，，所以当时，，当时，，所以函数在上是增函数，在上是减函数，第四步，利用结论写出极值：故为函数的极大值点，函数无极小值点.【变式演练7】（极值与最值关系）【安徽省皖江联盟高三上学期12月联考】已知函数在区间上可导，则“函数在区间上有最小值”是“存在，满足”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由开区间最小值点必为极小值点可知极小值点导数值为，充分性成立；利用36/36微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word学生+教师双版下载QQ群：457512538 可验证出必要性不成立，由此得到结论.【详解】为开区间最小值点一定是极小值点极小值点处的导数值为充分性成立当，时，，结合幂函数图象知无最小值，必要性不成立“函数在区间上有最小值”是“存在，满足”的充分不必要条件故选：【变式演练8】（由最值求参数范围）【湖北省武汉市高三下学期六月模拟】若函数的最大值为，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，可得在恒成立，即为a（1-lnx）≥-x2，当时，2显然成立；当时，有，可得设由时，，则在递减，且，可得；当时，有，可得，36/36微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word学生+教师双版下载QQ群：457512538 设由时，在递减，由时，在递增，即有在处取得极小值，且为最小值，可得，综上可得．故选B．【变式演练9】（不含参数最值）【安徽省江淮十校高三上学期第一次联考】已知函数，若存在实数，对任意都有成立.则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】令，则，设，则，利用导数可求，从而得到的最值，故可得的取值范围，从而得到正确的选项.【详解】，故，令，则，设，则，又，若，则，故在为增函数；若，则，故在为减函数；36/36微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word学生+教师双版下载QQ群：457512538 故，故，所以，，当且仅当时取最大值，当且仅当时取最小值，故即的最小值.故选：C.【变式演练10】（含参最值）【重庆市经开礼嘉中学高三下学期期中】已知函数（1）若为单调增函数，求实数的值；（2）若函数无最小值，求整数的最小值与最大值之和.【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）求出，再令，求出两个根，函数为单调函数，所以有两个相同的根，得到，再进行检验即可；（2）由得，或和，分别当、和三种情况进行讨论；时不成立，时成立，时，利用函数单调性，当无最小值时，，构造关于的函数，求出的范围，即可得到答案.【详解】（1）由题意，，，解得，或，因为函数为单调函数，所以有两个相同的根，即，时，，为增函数，故适合题意；36/36微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word学生+教师双版下载QQ群：457512538 （2）由（1）知，，解得，或，①当时，则在上为减函数，在上为增函数，当时，有最小值，故不适合题意；②当时，则在上为增函数，在上为增函数，在上为增函数，无最小值，故适合题意；③当时，则在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数，因为无最小值，所以，，由在上恒成立，在上单调递增，且存在唯一的实根在上单调递减；在上单调递增增，且存在唯一的实根，由，无最小值，则，，36/36微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word学生+教师双版下载QQ群：457512538 综上，，，，.【变式演练11】（恒成立转求最值）已知函数满足恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【来源】安徽省宿州市高三下学期第三次模拟考试文科数学试题【答案】B【分析】由转化为，设，利用，即可求解.【详解】由题意，函数满足恒成立，可得恒成立，即，设，又由函数，可得，当时，可得，所以为单调递增函数，且，所以时，可得，即，则，当且仅当，即时取“=”号，所以，即实数的取值范围是.故选：B.【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．36/36微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word学生+教师双版下载QQ群：457512538 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．【变式演练12】（构造函数求最值）函数，.若，则的最小值为（）A．B．C．D．【来源】四川省大数据精准联盟高三第三次统一监测文科数学试题【答案】C【分析】让，得到，再构造，然后令，研究的最小值即可.【详解】由题，且，.有，则，令（且，）.（1）当时，易知，不满足条件.（2）当时，知，由，令，则，（舍去），若，则；若，则，则时取得极小值，也为最小值，则，即，所以的最小值为.故选：C.【点睛】36/36微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word学生+教师双版下载QQ群：457512538 关键点睛：解决本题的关键一是构造出的表达式并要统一变量，二是对构造的函数求最小值.【反馈练习】1．已知函数，为奇函数，则下述四个结论中说法正确的是（）A．B．在上存在零点，则a的最小值为C．在上单调递增D．在有且仅有一个极大值点【来源】内蒙古赤峰二中高三三模数学（理）试题【答案】B【分析】对于A，由已知条件得，由于函数为奇函数，所以，从而可求出的值；对于B，由，得，由于在上存在零点，所以可求出a的最小值为；对于C，，然后可求出其单调增区间；对于D，求出，可知当时，，当时，，由此可判断出函数的极值【详解】解：函数，所以，由于函数为奇函数，所以，，36/36微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word学生+教师双版下载QQ群：457512538 由于，故，故，故A错误；令，所以，若在上存在零点，则a的最小值为，故B正确；函数，当时，，所以函数不单调，故C错误；对于D：由，得，当时，，当时，，所以函数，在时，，函数在上只有极小值，没有极大值，故D错误.故选：B.2．已知函数在上恰有三个极值点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【来源】全国Ⅰ卷高三高考数学（理）押题试题（三）【答案】A【分析】先分析极值点的最多个数，然后根据极值点的最多个数确定出极值点个数的分布情况，由此得到关于的不等式组，从而求解出的取值范围.【详解】设，，令，所以，设，，当时，，单调递增，36/36微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word学生+教师双版下载QQ群：457512538 当时，，单调递减，所以，且当时，，时，，所以方程最多仅有两个解，又因为在上最多仅有一个极值点，所以有两个极值点，有一个极值点；当方程有两个解时，，所以，当在有一个极值点时，，所以，综上可知，若要使在上恰有三个极值点，则，故选：A.3．设函数，若，则函数的各极大值之和为（）A．B．C．D．【来源】黑龙江省哈尔滨市呼兰区第一中学校高三下学期5月第四次模拟考试数学（文）试试题【答案】C【分析】根据求导可得，求得极值点为（），代入求和即可得解.【详解】令，当时，为增函数，当时，为减函数当（）时取极大值，此时，36/36微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word学生+教师双版下载QQ群：457512538 所以数列首项为，公比为共项的等比数列，故和为，故选：C4．已知函数f（x）＝﹣ex，则下列说法正确的是（　　）A．f（x）无极大值，也无极小值B．f（x）有极大值，也有极小值C．f（x）有极大值，无极小值D．f（x）无极小值，有极大值【来源】全国高三5月份数学模拟试题（二）【答案】C【分析】求导判断函数的单调性，但由于不容易判断正负，所以需要二次求导来判断.【详解】因为，所以，令，，因为，所以，即，故，所以在上单调递减，又因为，，所以存在唯一的，使得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以f（x）有极大值，无极小值.故选：C.5．已知函数在上无极值，则实数的取值范围为（）36/36微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word学生+教师双版下载QQ群：457512538 A．B．C．D．【来源】云南师范大学附属中学高三高考适应性月考卷（九）数学（理）试题【答案】D【分析】求得导函数，根据无极值的条件，利用判别式解得m的取值范围.【详解】函数在上无极值在上无变号零点，故选D.6．若是函数的极值点，则（）A．B．C．D．【来源】四川省凉山州高三三模数学（文）试题【答案】C【分析】求导，根据是函数的极值点，由求解.【详解】因为函数，所以，因为是函数的极值点，所以，即，两边取以e为底的对数得：，即，令，即，因为，36/36微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word学生+教师双版下载QQ群：457512538 所以在上递增，所以，即，故选：C【点睛】关键点点睛：本题关键是将两边取以e为底的对数变形为，构造函数，由其单调性而得解.7．下列函数中，的最小值为的是（）A．B．C．D．【来源】吉林省松原市前郭县、长岭县、乾安县高三5月联考数学试题【答案】C【分析】取特殊值判断A；由导数判断BC；利用换元法以及基本不等式判断D.【详解】对于A选项，取，则，故A错误；对于B选项，，，当时，；当，所以当，函数单调递增；当时，单调递减所以当，函数取得最小值为0，故B错误；对于C选项，，当时，；当，所以当，函数单调递增；当，函数单调递减即当取得最小值为2，故C正确；对于D选项，因为，所以又，当且仅当，即时，等号成立，但，故36/36微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word学生+教师双版下载QQ群：457512538 D错误故选：C.8．若不等式恒成立，则的最小值为（）A．B．C．D．【来源】全国高三5月份数学模拟试题（三）【答案】C【分析】构造函数，根据函数的单调性及最值可得，故，再构造，求得函数的最小值即可.【详解】由恒成立，得，设，，当时，，在上单调递减，不成立；当时，令，解得，故函数在上单调递减，在上单调递增，故，即，，，设，，令，，故在上单调递减，在上单调递增，故，即，故选：C.9．函数在上的最小值为（）36/36微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word学生+教师双版下载QQ群：457512538 A．B．-1C．0D．【来源】河南省高三仿真模拟考试（三）数学（文）试题【答案】B【分析】求导后求得函数的单调性，利用单调性求得函数的最小值.【详解】因为，所以在上单调递减，在上单调递增，所以.故答案为：B.10．函数，.若，则的最小值为（）A．B．C．3D．【来源】四川省大数据精准联盟高三第三次统一监测理科数学试题【答案】B【分析】由题意可得，化为，构造函数利用导数求最小值即可.【详解】由题可知且，.有，则，令（且，）.（1）当时，知，不满足条件.（2）当时，知，由，令，则，（舍去），若，则；若，则，则时取得极小值，36/36微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word学生+教师双版下载QQ群：457512538 也为最小值，则，即，所以的最小值为.故选：B【点睛】关键点点睛：根据所给条件转化出，构造函数，转化为求函数最小值，是解题的关键，属于中档题.11．若不等式对一切恒成立，其中为自然对数的底数，则的取值范围是（）A．B．C．D．【来源】湖北省黄冈中学高三下学期第三次模拟考试数学试题【答案】A【分析】设，由，得是最大值，求出导数，首先由求得，然后再对分类讨论，确定0是最大值点，得出的范围，从而可得范围．【详解】设，因为，所以恒成立，即是的最大值．，所以是的一个零点，，，，当时，，时，，递增，时，，递减，所以是极大值也是最大值，满足题意；时，由得，或，或时，，时，，所以在和上递减，在上递增，而时，，所以是最大值，满足题意，36/36微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word学生+教师双版下载QQ群：457512538 时，，，不满足题意．综上，，所以．故选：A．【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题关键是确定0是最大值点，这样可由导数求得，再由最大值点得出的范围．12．已知函数，当时，恒成立，则实数的最大值为（）A．B．C．D．【来源】云南师范大学附属中学高三高考适应性月考卷（八）数学（理）试题【答案】B【分析】首先将不等式转化为，又时，，问题转化为在上递减，所以当时，恒成立，最后参变分离得到参数的最大值.【详解】∵在时恒成立，而时，，∴在上递减，∴当时，恒成立，即时，恒成立，故，∴实数的最大值为3，故选B.【点睛】(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．关键是分离参数k，把所求问题转化为求函数的最小值问题．(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)36/36微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word学生+教师双版下载QQ群：457512538 恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．13．关于x的不等式在恒成立，则实数a的最小值为（）A．B．0C．1D．【来源】安徽省皖江联盟高三下学期最后一卷理科数学试题【答案】D【分析】令，结合导数求出函数的最大值，从而可选出正确答案.【详解】依题意，令，所以，又，令，可得，所以或，当时，，所以在单调递增；当时，，所以在单调递减；当时，，所以在单调递增；所以当时，函数取最大值为，所以实数a的最小值为．故选:D.【点睛】关键点睛:本题的关键是将不等式恒成立的问题，转化为求函数的最大值问题.14．设，若存在正实数x，使得不等式成立，则的最大值为（）A．B．C．D．【来源】四川省雅安市高三三模数学（理）试题【答案】A【分析】由题意可得，可令，则成立，由和36/36微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word学生+教师双版下载QQ群：457512538 互为反函数，可得图象关于直线对称，可得有解，通过取对数和构造函数法，求得导数，单调性和最值，即可得到的最大值．【详解】不等式，所以，即为，即有，可令，则成立，由和互为反函数，可得图象关于直线对称，可得有解，则，即，可得，导数为，可得时，函数递减，时，函数递增，则时，取得最大值，可得即有，所以，可得，即的最大值为．故选：A【点睛】关键点睛：解答本题有两个关键，其一，是得到有，想到令换元，则成立，；其二，通过转化得到有解，再利用导数解答.15．【北京五中高三（4月份）高考数学模拟】设函数f（x）＝mex﹣x2+3，其中m∈R.（1）如果f（x）同时满足下面三个条件中的两个：①f（x）是偶函数；②m＝1；③f（x）在（0，1）单调递减.指出这两个条件，并求函数h（x）＝xf（x）的极值；36/36微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word学生+教师双版下载QQ群：457512538 （2）若函数f（x）在区间[﹣2，4]上有三个零点，求m的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2），【解析】【分析】（1）若为偶函数，根据可得，此时函数，在单调递减，满足条件③，此时，再利用导数即可求得函数的极值；若不是偶函数，则，，分析在的单调性，不满足条件，所以只满足其中之一，不合题意；（2）令，则有，函数在区间，上有三个零点，等价于直线与曲线在区间，上有三个交点，对函数进行求导，画出其在区间，上的大致图象，利用数形结合法即可求得的取值范围．【详解】解：（1）若满足条件①是偶函数，则，且函数的定义域为，，对恒成立，，此时函数，在单调递减，满足条件③在单调递减；若不满足①，则，，所以f（x）在（0，1）不可能单调递减，即不满足③，同时满足条件：①是偶函数；③在单调递减，此时，则，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，36/36微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word学生+教师双版下载QQ群：457512538 时，函数取到极大值，极大值为（1），时，函数取到极小值，极小值为；（2）令，则有，函数在区间，上有三个零点，等价于直线与曲线在区间，上有三个交点，，，，令，则或，令，则，令，则或，函数在区间，上单调递增；在上单调递减，在，上单调递增，又，，（3），（4），画出函数在，上的大致图象，如图所示：，由图可知，当时，直线与曲线在区间，上有三个交点，即函数在区间，上有三个零点，的取值范围为：，．16．【辽宁省锦州市渤大附中、育明高中高三上学期第一次联考】已知函数（1）若，证明：；（2）若在上有两个极值点，求实数a的取值范围.36/36微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word学生+教师双版下载QQ群：457512538 【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】(1)令,利用导数求出的最小值为1,而的最大值为1,所以;(2)将问题转化为在上有两个不同的实数根,然后构造函,数利用导数研究函数的单调性,根据单调性求得函数的最小值,根据最小值和端点值可以得到答案.【详解】(1)证明:时,,令,则,当时,,在上为递减函数,当时,,在上为增函数,所以,而,且,所以,即.(2)在上有两个极值点等价于在上有两个不同的实数根,等价于,设,,令,得,当时,,在上为减函数,当时,,在上为增函数,又,,所以当时,方程在上有两个不同的实数根,所以的取值范围是.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的最值,根据最值证明不等式,考查了根据极值点的个数求参数,第(1)问中转化为证的最小值大于的最大值是解题关键,第(2)问题中对36/36微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word学生+教师双版下载QQ群：457512538 分离参数后构造函数求导是解题关键,本题属于较难题.17．【西南地区名师联盟高三入学调研考试】已知函数，、为常数，且，.（1）证明：；（2）若是函数的一个极值点，试比较与的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据导数的运算性质，结合已知不等式进行证明即可；（2）根据极值的定义，结合导数的性质，判断函数的单调性，运用单调性证明即可.【详解】（1）∵，∴，而，则，即，∵，∴，得，则，∴.（2）∵是函数的一个极值点，∴，即.又由（1）可得，＋0－0＋↗极大↘极小↗∴的单调递增区间是，，递减区间.∵可知，∴，∴，且，，∵由上可知在上单调递增，∴.36/36微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word学生+教师双版下载QQ群：457512538 18．【山东省威海荣成市高三上学期期中】某水产养殖公司在一片海域上进行海洋牧场生态养殖，如图所示，它的边界由圆的一段圆弧（为此圆弧的中点）和线段构成.已知圆的半径为千米，到的距离为千米.现规划在此海域内修建两个生态养殖区域，养殖区域为矩形，养殖区域为，且均在圆弧上，均在线段上，设.（Ⅰ）用分别表示矩形和的面积，并确定的范围；（Ⅱ）根据海域环境和养殖条件，养殖公司决定在内养殖鱼类，在内养殖贝类，且养殖鱼类与贝类单位面积的年产值比为.求当为何值时，能使年总产值最大.【答案】（Ⅰ）矩形：；：，；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）利用解三角形可求出矩形的边长以及的底边边上的高，从而两者的面积，过作交圆弧于点，连接，则可得..（Ⅱ）设鱼类与贝类单位面积的年产值分别为，根据（Ⅰ）中的结果集合三角变换可得，利用导数可得当时总产值最大.【详解】解：（Ⅰ）设矩形和的面积分别为，由题意可得，矩形的边长分别为，，所以，等腰三角形的底与高分别为，，36/36微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word学生+教师双版下载QQ群：457512538 所以，过作交圆弧于点，连接，设，，易得因为均在线段上，所以，所以，即.（Ⅱ）因为鱼类与贝类单位面积的年产值比为，所以设鱼类与贝类单位面积的年产值分别为，则年总产值为设，且，，，得，因为，所以，当，，，在单调递增；当，，，在单调递减.所以，能使年总产值最大.36/36微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word学生+教师双版下载QQ群：457512538 【点睛】本题考查导数的实际应用，注意根据图形合理构建数学模型，根据函数的特征选择导数来研究目标函数的最值，本题属于中档题.19．【江苏省南通市高三下学期高考考前模拟卷】已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）对给定的，函数有零点，求的取值范围；（3）当，时，，记在区间上的最大值为m，且，求n的值．【答案】（1），函数单调递减；，函数单调递增；（2）当时，函数有零点；（3）．【解析】【分析】（1）函数的定义域为，求导得，再根据和求单调区间即可；（2）结合（1）得函数在时取得最小值，且当时，，故满足题意需满足，进而求得的取值范围；（3）根据题意得，研究函数的单调性得函数在上单调递增，在上单调递减，且，，故，，再令，，即可求得，进而得.【详解】解：（1）函数的定义域为，36/36微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word学生+教师双版下载QQ群：457512538 ，令得，所以函数在上单调递增；令得，所以函数在上单调递减.（2）对给定的，当时，，又因为函数在上单调递减，在上单调递增所以函数在时取得最小值，故函数要有零点，则需有，即：，故，所以对给定的，函数有零点，的取值范围为（3）当，时，，所以，所以，令，则在上成立，所以在单调递增，由于，，所以存在，使得，即.所以存在，使得在上满足，在上满足36/36微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word学生+教师双版下载QQ群：457512538 所以在上满足，在上满足，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，令，，则在成立，所以在单调递增，由于，，所以，因为所以.20．【陕西省西安中学高三上学期第一次月考】已知函数．（1）当时，求f(x)的最小值；（2）设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值．【答案】（1）0；（2）3.【解析】【分析】（1）利用导数得到函数的单调性，根据单调性可得最小值；（2）根据（1）知，当时，，令，得，利用不等式的性质和等比数列的求和公式，可得，再根据对数的运算性质可得，从而可得整数m的最小值.36/36微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word学生+教师双版下载QQ群：457512538 【详解】（1）时，,的定义域为．，当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为；（2）由（1）知，当时，，即，令，得，从而，所以，故，而，所以整数m的最小值为3．36/36微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word学生+教师双版下载QQ群：457512538