高考数学方法技巧第6讲 利用函数性质解决抽象函数不等式（解析版）

第6讲利用函数性质解决抽象函数不等式【高考地位】函数的单调性是函数的一个非常重要的性质，也是高中数学考查的重点内容。而抽象函数的单调性解函数不等式问题，其构思新颖，条件隐蔽，技巧性强，解法灵活，往往让学生感觉头痛。因此，我们应该掌握一些简单常见的几类抽象函数单调性及其应用问题的基本方法。确定抽象函数单调性解函数不等式万能模板内容使用场景几类特殊函数类型解题模板第一步（定性）确定函数在给定区间上的单调性和奇偶性；第二步（转化）将函数不等式转化为的形式；第三步（去）运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步（求解）解不等式或不等式组确定解集；第五步（反思）反思回顾，查看关键点，易错点及解题规范.例1已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意给定的实数，且，不等式恒成立，则不等式的解集为__________．【答案】.【解析】第一步，（去）运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“”，转化成一般的不等式或不等式组：若对于任意给定的实数，且，，不等式恒成立，等价为恒成立，即是定义在上的减函数，第二步，（定性）确定函数在给定区间上的单调性和奇偶性：又是定义在上的奇函数，所以，第三步，（求解）解不等式或不等式组确定解集：21/21微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word学生+教师双版下载QQ群：457512538 当时，，所以，联立解得，当时，，所以，无解，综上应填.【变式演练1】若定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【来源】安徽省池州市第一中学高三模拟考试（临门一脚）数学（理）试题【答案】C【分析】首先将转化为或，根据函数单调性解和，进而可以求出结果.【详解】因为，所以或，因为在上单调递增，且，所以，因为在上为奇函数，所以在上单调递增，且，因此，综上：不等式的解集为.故选：C.【变式演练2】【江西省赣州市部分重点中学高三上学期期中考试文科】已知定义在上的函数21/21微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word学生+教师双版下载QQ群：457512538 满足且，其中是函数的导函数，e是自然对数的底数，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】令，，利用导数可知在上为单调递减函数，将不等式化为且，再利用的单调性可解得结果.【详解】令，，则，因为，，所以，所以在上为单调递减函数，当时，由可知，不满足；当时，，所以可化为，即，因为在上为单调递减函数，所以，所以不等式的解集为.故选：A【变式演练3】定义在非零实数集上的函数满足，且是区间上的递增函数．（1）求的值；（2）求证：；（3）解不等式．【答案】（1）,；（2）证明见解析；（3）．【解析】试题分析：（1）利用赋值法可求,；（2）根据函数的奇偶性定义即可证明函数是偶函数；（3）根21/21微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word学生+教师双版下载QQ群：457512538 据函数奇偶性,利用数形结合可解得不等式的解集．试题解析：解：（1）令，则，∴，令，则，∴（2）令，则，∴（3）据题意可知，函数图象大致如下：，∴或，∴或.考点：抽象函数及应用．【变式演练4】定义在上的函数满足下列条件：①对任意，都有；②当时，有，求证：（1）是奇函数；（2）是单调递减函数；（3），其中．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【解析】试题分析：（1）由奇函数的定义及特殊值即可证明；（2）由单调性的定义,做差证明；（3）先由题中已知的恒等式赋值,得出要求数列的通项,再利用裂项求和的方法求得不等式左边的最简形式,最后比较左右两边的大小关系,即可得证．试题解析：证明：（1）令代入，得到．令，得，即．∴在上是奇函数．21/21微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word学生+教师双版下载QQ群：457512538 （2）设，则∵，∴，．又，∴且，∴，∴，∴，∴所以在上是单调递减函数．（3）∴∵，∴，∴．故．考点：1．抽象函数；2．函数的单调性,奇偶性；3．数列求和．【反馈练习】1．已知是定义在上的以为周期的偶函数，若，，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【来源】四川省南充市高三第三次模拟考试数学（文）试题【答案】C【分析】先利用函数的周期性和奇偶性可得，从而将转化为21/21微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word学生+教师双版下载QQ群：457512538 ，进而可求出的取值范围【详解】解：因为是定义在上的以为周期的偶函数，所以，因为，，所以，整理得，解得或，所以实数的取值范围是，故选：C2．定义在上的函数的导函数为，满足：，，且当时，，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【来源】重庆市南开中学高三下学期第六次质量检测数学试题【答案】A【分析】由给定的不等式构造函数对求导，根据已知条件可判断非得单调性，将所求解不等式转化为有关的不等式，利用单调性脱去即可求解.【详解】令，则可得所以是上的奇函数，，当时，，所以，是上单调递增，21/21微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word学生+教师双版下载QQ群：457512538 所以是上单调递增，因为，由可得即，由是上单调递增，可得解得：，所以不等式的解集为，故选：A.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是：构造函数，根据已知条件判断的奇偶性和单调性，利用单调性解不等式.3．已知函数的定义域为，，是偶函数，任意满足，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【来源】（全国1卷）高三5月卫冕联考数学（理）试题【答案】D【分析】由是偶函数，得函数图像关于直线对称，结合单调性求解不等式即可得到结果.【详解】因为是偶函数，所以的图像关于直线对称，则，因为任意满足，所以在上单调递增，在上单调递减，故等价于，解得.故选：D21/21微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word学生+教师双版下载QQ群：457512538 4．设函数是奇函数的导函数，.当时，，则使得成立的的取值范围是（）A．B．C．D．【来源】百校联盟高三5月教育教学质量监测（全国I卷）数学（理）试题【答案】B【分析】令，由已知条件可得，所以在上单调递增，由和为奇函数，可得为奇函数，且，从而由的单调性可得答案【详解】由，可得，令，则，故在上单调递增.因为，所以，又因为为奇函数，所以为奇函数，所以，且在区间上，单调递增.所以使得，即成立的的取值范围是.故选：B5．已知函数满足，且对任意的，都有，则满足不等式的的取值范围是（）A．B．C．D．【来源】河南省高三阶段性测试（六）文科数学试题【答案】A【分析】可化为，构造函数，再结合奇偶性可知该函数在R上单调递增，又将所求不等式变形，即可由单调性解该抽象不等式.【详解】21/21微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word学生+教师双版下载QQ群：457512538 根据题意可知，可转化为，所以在[0，+∞)上是增函数，又，所以为奇函数，所以在R上为增函数，因为，，所以，所以，解得，即x的取值范围是.故选：A.【关键点点睛】本题的关键是将不等式化为，从而构造函数，再根据奇偶性和单调性解抽象不等式.6．已知函数在上为增函数，若不等式对恒成立，则的取值范围为（）A．B．C．D．【来源】“超级全能生”高三全国卷地区4月联考试题（丙卷）文科数学试题【答案】D【分析】根据函数为单调递增可得，分离参数，利用二次函数的性质即可求解.【详解】因为函数在上为增函数，则不等式对恒成立，即对恒成立，21/21微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word学生+教师双版下载QQ群：457512538 所以对恒成立，令，当，则，所以，故的取值范围为.故选：D7．已知定义在R上的偶函数满足在上单调递增，，则关于x的不等式的解集为（）A．B．C．D．【来源】广西来宾、玉林、梧州等高三4月模拟联考数学（理）试题【答案】D【分析】根据题意作出函数的草图，将，转化为，利用数形结合法求解.【详解】因为定义在R上的偶函数满足在内单调递增，所以满足在内单调递减，又，所以．作出函数的草图如下：由，得，得，21/21微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word学生+教师双版下载QQ群：457512538 所以或所以或解得或，即不等式的解集为．故选：D8．【山西省运城市高三（上）期中数学（理科）】已知函数，若，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据题意，设，分析可得为奇函数且在R上为增函数，据此可得原不等式等价于，结合函数的单调性可得，解可得a的取值范围，即可得答案．【详解】解：根据题意，设，其定义域为R，则，则为奇函数，又由，则在R上为增函数，故，必有，解得，即a的取值范围为.故选：C．【点睛】利用函数奇偶性和单调性解不等式问题：（1）是奇函数，图像关于原点中心对称，利用奇函数性质将不等式形式，再利用单调性得到和的大小关系，再解不等式即可；21/21微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word学生+教师双版下载QQ群：457512538 （2）是偶函数，图像关于y轴对称，利用偶函数性质将不等式形式，再利用单调性得到和的大小关系，再解不等式即可.9.【甘肃省兰州市西北师范大学附属中学高三数学第一学期期中】函数在单调递增，且关于对称，若，则的的取值范围（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用关于对称，可得关于轴对称，结合在单调递增，，可得，即可求解.【详解】因为关于对称，所以关于轴对称，所以，又在单调递增，由可得，解得：，故选：D10.【黑龙江省哈尔滨六中高三（上）开学数学（理科）】奇函数满足，且在上单调递减，则的解集为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】由已知可把原不等式转化为，然后结合奇函数的性质即可求解.【详解】21/21微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word学生+教师双版下载QQ群：457512538 解：奇函数满足，且在上单调递减，∴，且，作出的大致图像，如下：则，或，解可得或，即或，所以不等式的解集为故选：B.11.【河南省洛阳市第一学期高三第一次统一考试】已知奇函数的定义域为，其图象是一段连续不断的曲线，当时，有成立，则关于的不等式的解集为（）A．B．21/21微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word学生+教师双版下载QQ群：457512538 C．D．【答案】A【分析】设，则,由条件可得在上单调递增，进一步可得在上单调递增，将可化为，即，由单调性可得答案.【详解】设，则当时，有成立，此时所以在上单调递增.又为奇函数，则，则为奇函数，又则在上单调递增，所以在上单调递增.当，恒有可化为，即，由在上单调递增，所以故选：A【点睛】关键点睛：本题考查利用导数判断函数的单调性，利用单调性解不等式，解答本题的关键是构造函数21/21微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word学生+教师双版下载QQ群：457512538 ，求出的导函数，由条件得到的单调性，将可化为，根据的单调性解出不等式，属于中档题.12.【河南省十所名校高三上学期第二次考试数学（理）】设函数在上存在导数，对于任意的实数，都有，当时，，若，则实数的最大值为（）A．-1B．1C．-2D．2【答案】B【分析】构造函数，根据题意可得为奇函数，且为递减函数，将化为，利用单调性可解得结果.【详解】令，则，又，，为奇函数，且，当时，，单调递减，所以当时，为递减函数，由，得，即，得.故选：B【点睛】关键点点睛：构造函数，判断出其奇偶性和单调性，并利用单调性求解是解题关键.13.【河南省郑州、商丘市名师联盟高三上学期12月教学质量检测】已知是定义在上的减函数，对任意、，恒成立，若，则的解集为（）21/21微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word学生+教师双版下载QQ群：457512538 A．B．C．D．【答案】B【分析】推导出，由可得出，由此可得出原不等式的解集.【详解】因为对任意、，恒成立，所以，，则由，得，又是上的减函数，所以，解得．因此，不等式的解集为.故选：B．【点睛】方法点睛：利用函数的单调性解不等式，步骤如下：（1）确定函数的单调性；（2）由可得出与的大小关系，进而解不等式即可得解，但同时要注意定义域的限制.14.【江苏省常州市教育学会高三上学期学业水平监测】已知奇函数在上单调递减，且，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件.【答案】B【分析】根据奇函数的定义和单调性可确定和的符号，由奇偶性定义可知为偶函数，利用导数可确定单调性；根据，利用单调性可求得的解集，根据推出关系可确定结论.21/21微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word学生+教师双版下载QQ群：457512538 【详解】为上的奇函数，，又单调递减，当时，；当时，，且，令，则，为偶函数，当时，；当时，；，当时，，，在上单调递增，由偶函数对称性知：在上单调递减；，由得：，，“”是“”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】结论点睛：本题考查充分条件与必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）若是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；（3）若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）若是的既不充分又不必要条件，则对应的集合与对应集合互不包含．15．【百校联盟高三普通高中教育教学质量监测考试（全国卷11月）理科】数已知函数，若，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据奇偶性的定义可判断出为奇函数；根据单调性的性质，结合奇偶性可确定在上单调递增，21/21微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word学生+教师双版下载QQ群：457512538 由此可将所给不等式化为，解不等式可求得结果.【详解】当时，，，同理，当时，，且，可知函数为奇函数；，在上单调递增，在上单调递增，由奇函数性质知：在上单调递增，由得：，即，，，解得：，即，，即实数的取值范围为.故选：.16.【天津市八校高三上学期期中联考数学】设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】由定义在R上的奇函数的性质，可得，求出，于是可得在时的解析式，由解析式结合增函数+增函数=增函数，可得函数在上单调递增，再由为定义在上的奇函数，可知在上单调递增，注意到，利用函数单调性即可解决．【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，解得，所以，当时，．当时，函数和在上都是增函数，所以在上单调递增；由奇函数的性质可知，在上单调递增，因为，21/21微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word学生+教师双版下载QQ群：457512538 故，即有，解得．故选:D．17．【海南省海南中学高三第五次月考】设是定义在上的奇函数，对任意的，满足：，且，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】先由，判断出在上是增函数，然后再根据函数的奇偶性以及单调性即可求出的解集.【详解】解：对任意的，都有，在上是增函数，令，则，为偶函数，在上是减函数，且，，当时，，即，解得：，当时，，即，解得：，21/21微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word学生+教师双版下载QQ群：457512538 综上所述：的解集为：.故选：A.【点睛】方法点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.18．已知是定义在上的偶函数，在区间上为增函数，且，则不等式的解集为___________.【来源】重庆市清华中学高三上学期7月月考数学试题【答案】.【分析】根据函数的奇偶性，得出在上的单调性以及，结合函数的单调性可得答案.【详解】因为是定义在上的偶函数，且在上是增函数，所以在上是减函数，因为，所以，所以不等式等价为或，即，或，解得或，故答案为:.19．已知定义在R上的偶函数在上单调递增，实数a满足，则实数a的取值范围是___________.【来源】普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅲ卷）理科数学试题（黑卷）【答案】【分析】21/21微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word学生+教师双版下载QQ群：457512538 利用函数为偶函数和单调递增可将不等式化为，进而得到，即可得到答案；【详解】因为定义在R上的偶函数在区间单调递增，所以在单调递减；又，于是由，得，从而有，则得，即，且，解得：.故a的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查函数的基本性质与求值，考查运算求解能力及函数与方程思想，求解时注意把自变量化到同一单调区间.21/21微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word学生+教师双版下载QQ群：457512538