2024高考数学常考题型：第8讲 抽象函数7种导函数构造（解析版）

第8讲抽象函数7种导函数构造【题型目录】题型一：具体函数抽象化解不等式题型二：构造幂函数型解不等式题型三：构造指数函数型解不等式题型四：构造对数函数型解不等式题型五：构造三角函数型解不等式题型六：构造型函数解不等式题型七：复杂型：二次构造【典例例题】题型一：具体函数抽象化解不等式【例1】（2022·广东·南海中学高二阶段练习）已知，若成立，则实数的取值范围是（       ）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】由奇偶性的定义得出函数为偶函数，利用导数知函数在区间上为增函数，由偶函数的性质将不等式变形为，利用单调性得出，从而可解出实数的取值范围.【详解】解：函数的定义域为，关于原点对称，，函数为偶函数，当时，，，则函数在上为增函数，由得， 由偶函数的性质得，由于函数在上为增函数，则，即，整理得，解得，因此，实数的取值范围是.故选：B.【题型专练】1．（2022·贵州遵义·高二期末（理））已知函数，设，，，则a，b，c的大小为（       ）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】利用函数解析式求导数，判断导数大于零恒成立，故确定函数单调性，比较自变量大小确定函数值a，b，c的大小即可.【详解】解：因为，则，所以又时，，所以恒成立所以在上单调递增；又，，所以，则.故选：A.2．（2022·上海·复旦附中高二期末）设，若，则x的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】 奇偶性定义判断奇偶性，利用导数研究的单调性，再应用奇偶、单调性求x的范围.【详解】由且，易知：为奇函数，所以，又，故在上递增，所以，可得.故答案为：题型二：构造幂函数型解不等式【例1】（2022·黑龙江·哈师大附中高二期末）已知定义在（0，+∞）上的函数满足，其中是函数的导函数，若，则实数m的取值范围为（       ）A．（0，2022）B．（2022，+∞）C．（2023，+∞）D．（2022，2023）【答案】D【解析】【分析】构造函数，使得，然后根据函数的单调性解不等式即可.【详解】由题设，所以在上单调递减，又，即，又函数的定义域为，所以，综上可得：.故选：D.【例2】（2022·四川雅安·高二期末（理））设奇函数的导函数是，且，当时，，则不等式的解集为______．【答案】【解析】【分析】设，利用导数求得在为单调递减函数，进而得到函数为奇函数，且在 为单调递减函数，结合函数的单调性，即可求解.【详解】设，可得，因为当时，，可得，所以在为单调递减函数，又因为函数为奇函数，且，可得，则满足，所以函数也为奇函数，所以在为单调递减函数，且，当时，由，即，即，可得；当时，由，即，即，可得；所以不等式的解集为.故答案为：.【例3】（2022·河南信阳·高二期中（理））已知定义域为的函数满足（为函数的导函数），则不等式的解集为（       ）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】构造函数，由题意可知在上单调递增，再对分情况讨论，利用函数的单调性即可求出不等式的解集.【详解】由，（1）当时，可得，即， 即，构造函数，所以函数单调递增，则，此时，即满足；（2）当时，可得，由函数递增，则，此时或，即满足；（3）当时，，即满足.综上，.故选：A.【例4】已知定义在上的奇函数，其导函数为，当时，恒有．则不等式的解集为（       ）．A．B．C．或D．或【答案】D【解析】先通过得到原函数为增函数且为偶函数，再利用到轴距离求解不等式即可.【详解】构造函数，则由题可知，所以在时为增函数；由为奇函数，为奇函数，所以为偶函数；又，即即又为开口向上的偶函数 所以，解得或故选：D【点睛】此题考查根据导函数构造原函数，偶函数解不等式等知识点，属于较难题目.【例5】函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为A．B．C．D．【答案】D【解析】设函数，根据导数的运算和题设条件，求得函数在上为增函数，把不等式转化为，即，利用单调性，即可求解.【详解】由题意，设函数，则，因为是定义在区间上的可导函数，且满足，所以，所以函数在上为增函数，又由，即，即，所以，解得，即不等式的解集为.故选：D.【点睛】本题主要考查了函数的导数与函数的单调性的关系及应用，其中解答中根据题设条件，构造新函数是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与计算能力. 【题型专练】1．（2021·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高三阶段练习（理））定义在上的偶函数的导函数为，且当时，.则（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】由题构造函数，利用导函数可得函数在(0，+∞)上为减函数，且为偶函数，再利用函数的单调性即得.【详解】设，则，又当时，，∴，则函数在(0，+∞)上为减函数，∵是定义在上的偶函数，∴，即g(x)为偶函数，所以，即，故A错误；，即，故B错误；，即因为为偶函数，所以， 所以，故C错误，D正确.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数，结合条件可判断函数的单调性及奇偶性，即得.2．（2022·黑龙江·哈尔滨市阿城区第一中学校高二期末）已知是定义在上的奇函数，当时，且，则不等式的解集是______．【答案】【解析】【分析】根据已知条件构造函数并得出函数为偶函数，利用导数与单调性的关系得出函数的单调性进而可以即可求解.【详解】设，则因为是定义在上的奇函数，所以，所以是上的偶函数，当时，，所以在上单调递增，所以在上单调递减．因为，所以，所以．对于不等式，当时，，即，解得；当时，，即，解得，所以不等式的解集是． 故答案为：【点睛】解决此题的关键是构造函数，进而讨论新函数的单调性与奇偶性，根据函数的性质即可求解不等式的解集.3.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有则不等式的解集为（       ）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】令，确定在上是减函数，不等式等价为，根据单调性解得答案.【详解】由，得，即，令，则当时，得，即在上是减函数，，，即不等式等价为，在是减函数，由得，即，又，解得，故.故选:：.【点睛】本题考查了利用函数单调性解不等式，构造函数，确定其单调性是解题的关键.4.已知是定义在上的奇函数，且时，，又，则的解集为（     ） A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】令，则，由题设易知上，且在上是奇函数，即在、都单调递减，同时可知，利用单调性求的解集，即为的解集.【详解】令，则，由时，知：，∴在上，，单调递减，又上为奇函数，∴，故也是奇函数，∴在上单调递减，又，即有，∴的解集，即的解集为.故选：C5.设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（       ）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】设，求其导数结合条件得出单调性，再结合的奇偶性，得出的函数值的符号情况，从而得出答案. 【详解】设，则，∵当时，，当时，，即在上单调递减.由于是奇函数，所以,是偶函数，所以在上单调递增.又，所以当或时，；当或时，.所以当或时，.故选：B.题型三：构造指数函数型解不等式【例1】（2022·四川省资阳中学高二期末（理））已知定义域为的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集为___________.【答案】【解析】【分析】令，利用导数说明函数的单调性，则原不等式等价于，再根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；【详解】解：令，，则，因为，即，所以，即在上单调递减，又，所以，所以不等式，即，即，即，解得，所以原不等式的解集为.故答案为： 【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（       ）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】设函数，根据题意可判断在上单调递减，再求出，不等式整理得，所以，利用单调性解抽象不等式即可.【详解】设函数，所以，因为，所以，即，所以在上单调递减，因为，所以，因为，整理得，所以，因为在上单调递减，所以.故选：C.【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足且为偶函数，为奇函数，若，则不等式的解集为（       ）A．B．C．D．【答案】C 【解析】【分析】先证明出为周期为8的周期函数，把转化为.记，利用导数判断出在R上单调递减，把原不等式转化为，即可求解.【详解】因为为偶函数，为奇函数，所以，.所以，，所以.令，则.令上式中t取t-4，则，所以.令t取t+4，则，所以.所以为周期为8的周期函数.因为为奇函数，所以，令，得：，所以，所以，即为，所以.记，所以.因为，所以，所以在R上单调递减.不等式可化为，即为.所以.故选：C【点睛】解不等式的常见类型：(1)一元二次不等式用因式分解法或图像法；(2)指对数型不等式化为同底的结构，利用单调性解不等式；(3)解抽象函数型不等式利用函数的单调性.【例4】（2022·山西省长治市第二中学校高二期末）已知可导函数f（x）的导函数为，f（0）=2022，若对任意的，都有，则不等式的解集为（       ） A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据题意，构造函数，求导可知在上单调递增，利用单调性求解即可.【详解】令对任意的，都有，在上单调递增，又，不等式的解集，故选：D.【例5】（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知奇函数的定义域为，当讨，，且，则不等式的解集为___________.【答案】【解析】【分析】构造函数,利用导函数判断出当x>0时,单调递增，得到当x>2时，从而；当时，，从而.由为奇函数得到不等式的解集.【详解】构造函数，则当时，，所以当x>0时单调递增.因为f(2)=0，所以，所以当x>2时，从而.当时，，从而.又奇函数的图像关于原点中心对称，所以的解集为.故答案为:. 【题型专练】1.（2022·陕西榆林·三模（理））已知是定义在上的函数，是的导函数，且，，则下列结论一定成立的是（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】构造利用导数研究其单调性，即可得，进而可得答案.【详解】令，则，则是增函数，故，即，可得.故选：D2.（2022·江西·萍乡市上栗中学高二阶段练习（理））定义在上的函数满足（为自然对数的底数），其中为的导函数，若，则的解集为（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】构造新函数，并利用函数单调性把抽象不等式转化为整式不等式即可解决.【详解】设，则，所以等价于，由，可得则，所以在上单调递增，所以由，得．故选：D 3.（2022·安徽省蚌埠第三中学高二开学考试）已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（       ）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】构造函数，通过导函数研究其单调性，利用单调性解不等式.【详解】构造函数，则，因为，所以恒成立，故单调递减，变形为，又，所以，所以，解得：，故答案为：.故选：A4.若在上可导且，其导函数满足，则的解集是_________________【答案】【解析】【分析】由题意构造函数，利用导数判断出单调递减，利用单调性解不等式.【详解】设，则，因为，所以在上恒成立，所以单调递减，又得，由等价于，所以，即的解集是. 故答案为：5.若定义在上的函数满足，，则不等式为自然对数的底数)的解集为（       ）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】把不等式化为，构造函数令，利用导数求得函数的单调性，结合单调性，即可求解.【详解】由题意，不等式，即，令，可得，因为且，可知，所以在上单调递增，又因为，所以的解集为.故选：A.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，以及导数的四则运算的逆用，其中解答中结合题意构造新函数，利用导数求得新函数的单调性是解答的关键，着重考查构造思想，以及推理与运算能力.题型四：构造对数函数型解不等式【例1】（2022·江西·赣州市赣县第三中学高二阶段练习（文））定义在（0，+∞）的函数f（x）满足，，则不等式的解集为（       ）A．（－∞，0）B．（－∞，1）C．（0，+∞）D．（1，+∞）【答案】C 【解析】【分析】根据题干条件构造函数，，得到其单调递减，从而求解不等式.【详解】设，则，所以在上单调递减，因为，所以，且，所以由得：结合单调性可得：，解得：，故选：C【例2】已知函数的定义域为R，图象关于原点对称，其导函数为，若当时，则不等式的解集为______．【答案】【解析】【分析】依据函数单调性和奇偶性把抽象不等式转化为整式不等式去求解即可.【详解】当时，，故函数在上单调递减，易知，故当时，，，当时，，；而， 而为奇函数，则当时，当的解为，故当时，的解为或，故不等式的解集为．故答案为：【例3】已知是定义在上的奇函数，是的导函数，且满足:则不等式的解集为（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据给定含导数的不等式构造函数，由此探求出在上恒负，在上恒正，再解给定不等式即可.【详解】令，，则，在上单调递减，而，因此，由得，而，则，由得，而，则，又，于是得在上，，而是上的奇函数，则在上，，由得：或，即或，解得或，所以不等式的解集为.故选：D【题型专练】1.（2022·陕西汉中·高二期末（文））定义在上的函数满足，则不等式的解集为___________.【答案】 【解析】【分析】令，根据题意得到函数在上为单调递增，把不等式，可得，结合函数的单调性，即可求解.【详解】由题意，函数满足，令，可得所以函数在上为单调递增，且，又由不等式，可得，所以，解得，即不等式的解集为.故答案为：.2.（2022·河北·石家庄二中高二期末）已知定义域为的函数满足，且当时，则不等式的解集为（       ）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】由条件得出关于成中心对称，进一步得出函数的单调性，然后再根据题意可得，或，从而可得出答案.【详解】由得关于成中心对称．令，可得当时，则在上单调递增. 由关于成中心对称且，故在上单调递增由，则，或解得，或，故故选：A3.（多选）已知函数的定义域是，其导函数是，且满足，则下列说法正确的是（       ）A．B．C．D．【答案】AC【解析】【分析】根据题意，构造，由题意，得到单调递增，进而利用的单调性，得到，再整理即可求解【详解】设，可得，单调递增，又因为，，，且，，得，，整理得，AC正确；故选：AC题型五：构造三角函数型解不等式【例1】已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（       ）A．B．C．D．【答案】B 【解析】【分析】由题意，设，利用导数求得在上单调递减，且为偶函数，再把不等式，转化为，结合单调性，即可求解.【详解】由题意，设，则，当时，因为，则有，所以在上单调递减，又因为在上是偶函数，可得，所以是偶函数，由，可得，即，即又由为偶函数，且在上为减函数，且定义域为，则有，解得或，即不等式的解集为，故选：B.【点睛】本题主要考查了导数在函数中的综合应用，其中解答中构造新函数，求得函数的奇偶性和利用题设条件和导数求得新函数的单调性，结合函数的单调性求解是解答的关键，着重考查构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.【例2】已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于x的不等式的解集为（       ）A．B．C．D．【答案】B 【解析】【分析】令，根据题设条件，求得，得到函数在内的单调递减函数，再把不等式化为，结合单调性和定义域，即可求解.【详解】由题意，函数满足，令，则函数是定义域内的单调递减函数，由于，关于的不等式可化为，即，所以且，解得，不等式的解集为.故选：B【点睛】方法点睛：构造法求解与共存问题的求解策略：对于不给出具体函数的解析式，只给出函数和满足的条件，需要根据题设条件构造抽象函数，再根据条件得出构造函数的单调性，应用单调性解决问题，常见类型：（1）型；（2）型；（3）为常数型.【题型专练】1.已知可导函数是定义在上的奇函数．当时，，则不等式的解集为（       ） A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】构造函数，并依据函数的单调性去求解不等式的解集.【详解】当时，，则则函数在上单调递增，又可导函数是定义在上的奇函数则是上的偶函数，且在单调递减，由，可得，则，则时，不等式可化为又由函数在上单调递增，且，，则有，解之得故选：D2.已知函数是定义在上的奇函数.当时，，则不等式的解集为（       ）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】构造函数，则经变形后得，进而得到在时单增，结合单调性证出是定义在上的偶函数，再去“f”，即可求解 【详解】令，，当时，，，即函数单调递增．又，时，，是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数．不等式，即，即，，①，又，故②，由①②得不等式的解集是．故选：C【点睛】本题考查利用构造函数法解不等式，导数研究函数的增减性的应用，一般形如的式子，先构造函数，再设法证明的奇偶性与增减性，进而去“f”解不等式3.奇函数定义域为，其导函数是，当时，有，则关于的不等式的解集为A．B．C．D．【答案】D【解析】【详解】根据题意，可构造函数其导数当时，有，其导数在上为增函数，又由为奇函数，即， 则，即函数为偶函数，当时，，不等式又由函数为偶函数且在上激增，则解得此时的取值范围为；当时，，不等式同理解得此时的取值范围为；综合可得：不等式的解集为故选D．【点睛】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，解题的关键是根据题意构造新函数，并利用导数分析的单调性．题型六：构造型函数解不等式【例1】设函数在上存在导函数，对任意的实数都有，当时，.若，则实数的取值范围是A．B．C．D．【答案】A【解析】【详解】构造函数法令，则，函数在上为减函数，因为，即，故为奇函数，于是在上为减函数，而不等式可化为，则，即.选A.【例2】设函数在上存在导数，对任意的，有，且在上有 ，则不等式的解集是（       ）A．B．C．D．【答案】B【解析】构造函数，由已知得出所构造的函数的单调性，再利用其单调性解抽象不等式，可得选项.【详解】设，∵，即，即，故是奇函数，由于函数在上存在导函数，所以，函数在上连续，则函数在上连续.∵在上有，∴，故在单调递增，又∵是奇函数，且在上连续，∴在上单调递增，∵，∴，即，∴，故，故选：B．【点睛】本题考查运用导函数分析函数的单调性，从而求解抽象不等式的问题，构造合适的函数是解决问题的关键，属于较难题.【例3】（2022·重庆八中高二期末）已知函数满足：，，且．若角满足不等式，则的取值范围是（       ）A．B．C．D．【答案】A 【解析】【分析】构造函数，，并判断函数为上的奇函数，再根据，可得在上单调递减，最后进行求解得的取值范围.【详解】解：构造函数，，由化为：，，函数为上的奇函数，则，在上单调递减．若角满足不等式，则，即，，解得：．故选：A.【题型专练】1.设函数在上存在导函数，对任意实数，都有，当时，，若，则实数的最小值是（       ）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】构造函数，根据等式可得出函数为偶函数，利用导数得知函数在上单调递减，由偶函数的性质得出该函数在上单调递增，由，得出，利用函数的单调性和偶函数的性质解出该不等式即可.【详解】构造函数，对任意实数，都有，则， 所以，函数为偶函数，.当时，，则函数在上单调递减，由偶函数的性质得出函数在上单调递增，，即，即，则有，由于函数在上单调递增，，即，解得，因此，实数的最小值为，故选A.【点睛】本题考查函数不等式的求解，同时也涉及函数单调性与奇偶性的判断，难点在于根据导数不等式的结构构造新函数，并利用定义判断奇偶性以及利用导数判断函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.2.设函数在上存在导数，对于任意的实数，有，当时，，若，则实数的取值范围是（       ）A．B．C．D．【答案】C【解析】构造，由，可得为奇函数，利用导数可知在上单调递减，结合函数的单调性解不等式即可.【详解】，令，且，则在上单调递减.又为奇函数，在上单调递减.，且代入得，转化为，即 由于在上递减，则，解得：故选：C.【点睛】方法点睛：利用进行抽象函数构造，常见类型：（1）利用与的构造，常用构造形式有：出现“”用，出现“”用；（2）利用与的构造，常用构造形式有：出现，构造函数；出现，构造函数；3.设函数在上存在导函数，，有，在上有，若，则实数的取值范围为A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】构造函数，进而研究其单调性和奇偶性，将变形为，再利用的单调性解不等式即可.【详解】令，，有，．所以为R上的偶函数，又在上有，所以，即在上单调递增，在上单调递减.又，所以，即，，解之得，.故选B. 【点睛】本题主要考查构造函数并研究其单调性和奇偶性、利用函数的性质解不等式，体现数学运算、逻辑推理等核心素养，属难题.题型七：复杂型：二次构造【例1】已知是定义在上的可导函数，是的导函数，若，，则在上（       ）A．单调递增B．单调递减C．有极大值D．有极小值【答案】A【解析】【分析】构造函数，，可得出，利用导数分析函数的单调性与最值，可得出的符号，由此可得出结论.【详解】构造函数，则，所以，，则，设，则，，当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增.所以，，对任意的恒成立，因此，函数在上单调递增.故选：A.【点睛】结论点睛：四种常用的导数构造法：（1）对于不等式（或），构造函数；（2）对于不等式（或），构造函数； （3）对于不等式（或）（其中为常数且），构造函数；（4）对于不等式（或）（其中为常数），构造函数.【例2】定义在上的函数满足，且，则（       ）A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值【答案】D【解析】【分析】将代入，推出，然后再判断左右两侧导数的符号，从而确定的极值情况.【详解】因为，且，所以，①令，则，又，记，所以.当时，，递减；当时，，递增.结合①当时，，所以的最小值为0，即，因为，则，（当且仅当时，取等号），所以既没有最大值，也没有最小值.故选：D.【点睛】本题主要考查导数与函数的极值，还考查了构造转化求解问题的能力,属于较难题.【题型专练】 1.设函数满足：，，则时，（       ）A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值，又有极小值D．既无极大值，又无极小值【答案】B【解析】【分析】首先构造函数，由已知得，从而有，令，求得，这样可确定是增函数，由可得的正负，确定的单调性与极值．【详解】，令，则，所以，令，则，即，当时，，单调递增，而，所以当时，，，单调递减；当时，，，单调递增；故有极小值，无极大值，故选B.【点睛】本题考查用导数研究函数的极值，解题关键是构造新函数，，求导后表示出，然后再一次令，确定单调性，确定正负，得出结论．2.函数满足：，，则当时，（       ）A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值 C．既有极大值，又有极小值D．既无极大值，也无极小值【答案】D【解析】【分析】根据已知条件，构造函数，则，且，求出，再进行二次求导，研究函数的正负，得到在上单调递减，由此判断函数的极值情况.【详解】因为，所以，令，则，且，所以，令，则，令，解得：，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，所以当时，取得最大值，则，故在上恒成立，所以在上单调递减，则当时，既无极大值，也无极小值. 故选：D【点睛】（1）求极值需研究函数的单调性；（2）利用导数证明不等式的本质是利用导数判断单调性，利用单调性比较大小.