2024高考数学常考题型：第5讲 导数研究函数单调性5种题型总结（解析版）

第5讲导数研究函数单调性5种题型总结【考点分析】考点一：含参数单调性讨论①先求函数定义域；②求导，化简，通分，分解因式；③系数有未知数，先考虑系数的情况；再考虑情况，求出的根，判断根与定义域，及根的大小关系，穿针引线，判断导函数正负，进而判断单调性；④若不能分解因式，若分子为二次函数则考虑讨论判别式，若不是二次函数可以考虑二次求导【题型目录】题型一：导函数为一次函数型题型二：导函数为准一次函数型题型三：导函数为二次可分解因式型题型四：导函数为二次不可因式分解型题型五：导函数为准二次函数型【典型例题】题型一：导函数为一次函数型【例1】（2023河南·高三开学考试（文））已知函数.（1）讨论函数的单调性；【答案】（1）当时，在上单调递；当时，数在上单调递增；在上单调递减；【分析】（1）对函数求导，讨论和两种情况，即可得出函数的单调性；【详解】（1）由题知函数的定义域为，①当时，，此时函数在上单调递；②当时，令，得；令，得，所以函数在上单调递增；在上单调递减；综上，当时，在上单调递；当时，数在上单调递增；在上单调递减； 【例2】（2022·辽宁营口·高二期末）已知函数（其中a为参数）．(1)求函数的单调区间；【答案】(1)答案见解析【分析】（1）求出原函数的导函数，然后对分类求得函数的单调区间；【详解】（1），，当时，，在单调递增，当时，令，得，时，，单调递减，时，单调递增；综上：时，在上递增，无减区间，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；【例3】（2022·江西·二模（文））己知函数，讨论的单调性。【解析】，①当时，恒成立，在上单调递增②当时，令得，∴在上单调递增，在上单调递减综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；【例4】（2022·广东·模拟预测）已知函数，讨论函数的单调性。【解析】∵，（Ⅰ）当时，在上单调递增，（Ⅱ）当时，令，则， 令，则，∴在上单调递增，上单调递减，综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减【题型专练】1.已知函数，讨论函数在区间内的单调性；【答案】见解析【解析】【分析】对进行求导，然后根据的取值范围分类讨论的单调性，（Ⅰ）当，即时，，在单调递减（Ⅱ）当，即时，，在单调递增（Ⅲ）当，即时，当时，，单调递增；当时，，单调递减综上所述，（Ⅰ）当时，在单调递减（Ⅱ）当时，在单调递增（Ⅲ）当时，在单调递增，在单调递减2.已知函数，其中，讨论的单调性；【答案】当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．【分析】，讨论或判断的单调性； 【解析】，当时，当恒成立，在上单调递增；当时，令，得，令，得，在上单调递增，在上单调递减，综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．3.（2022·安徽·歙县教研室高二期末）已知函数.(1)讨论函数的单调性；【答案】(1)答案见解析【分析】（1）求出函数的导函数，分和两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；【解析】（1）解：由知定义域为，且①时，在上，故在上单调递增；②时，当时，时，故在上单调递增，在上单调递减.题型二：导函数为准一次函数型【例1】（2022·江苏·华罗庚中学三模）已知函数（为自然对数的底数）．求函数的单调区间；【解析】函数的定义域为，，①当时，对任意的，，此时函数的减区间为，无增区间；②当时，由可得，由可得，此时函数的单调递增区间为，递减区间为； 综上所述，当时，函数的减区间为，无增区间；当时，函数的单调递增区间为，递减区间为；【例2】（2022·河南安阳·高二期末（文））已知函数．(1)讨论函数的单调性；【答案】(1)见解析【分析】（1）对函数求导后，分和两种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间，(1)，．当时，，单调递增．当时，令，得，令，得，∴在上单调递减，在上单调递增．【例3】（2022·云南师大附中高三阶段练习（文））已知函数.讨论的单调性；【解析】函数的定义域为，．令，解得，则有当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增．【题型专练】1.设函数，求的单调区间．【答案】答案见解析【解析】【分析】利用导数判断单调性，分成和两种情况讨论.【详解】 的定义域为，．若，则，所以在上单调递增．若，则当时，；当时，．所以在上单调递减，在上单调递增．综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．2.已知函数.讨论的单调性；【答案】答案见解析【解析】【分析】对求导，结合函数定义域，讨论、时的符号，确定的单调区间.【详解】函数的定义域为，且.①当时，，函数在上单调递减；②当时，令，可得；令，可得，此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；3.已知函数，讨论的单调性.【答案】答案见解析﹒【解析】【分析】求f(x)导数，根据a的范围讨论导数正负，从而判断f(x)单调性．，当，即时，，在R上单调递增；当，即时， 由，得，由，得，∴在上单调递减，在上单调递增．综上所述，当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．题型三：导函数为二次可分解因式型【例1】（2022·天津·二模）已知函数．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)求函数的单调区间；【解析】(1)当时，       ，故切线方程为：(2)，①当时，，仅有单调递增区间，其为：②当时，，当时，；当时，的单调递增区间为：，单调递减区间为：③当时，，当时；当时的单调递增区间为：，单调递减区间为：综上所述：当时，仅有单调递增区间，单调递增区间为：当时，的单调递增区间为：，单调递减区间为：当时，的单调递增区间为：，单调递减区间为：【例2】（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））已知函数讨论f（x）的单调性； 【解析】(1)由题意得：f（x）定义域为（0，+∞），当时，，∴在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；当时，令，解得：∴当时，；当时，∴f（x）在（0，）上单调递增，在上单调递减；综上所述：当时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当时，f（x）在上单调递增，在上单调递减.【例3】（2022·浙江省江山中学模拟预测）函数．讨论函数的单调性；【解析】函数，当时，恒成立，所以在上单调递增；当时，令，此时单调递减，令，此时单调递增.综上可得：当时，的增区间为，无减区间；当时，的增区间为，减区间为.【例4】（2022·广东·潮州市瓷都中学三模）已知函数.讨论函数的单调性；【解析】若时，，在上单调递增；若时，，当或时，，为增函数，当时，，为减函数， 若时，，当或时，，为增函数，当时，，为减函数.综上，时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减.【例5】（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）已知函数．求函数的单调区间；【解析】函数的定义域为则：当，时，恒成立，所以单调递减；当时，令，解得或(舍去)，令，，令，所以在上单调递减；上单调递增．综上所述：当时，的单调递减区间为，无单调递增区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为(0，)【例6】（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测（文））已知函数(1)当时，求在点处的切线方程；(2)当时，求函数的单调递增区间.【解析】(1)解：当时，，所以，所以，， 故在点处的切线方程是，即；(2)解：因为定义域为，所以，因为，当，即当时，由，解得或，当时，恒成立，当，即当时，由，解得或，综上，当时，的递增区间是，，当时，的递增区间是，当时，的递增区间是，；【题型专练】1.设函数，其中．讨论的单调性.【答案】答案见解析【解析】【分析】求出函数的导函数，分，两种情况讨论，根据导函数的符号，即可得出函数的单调区间.【详解】解：当时，，在内单调递减.当时，由，有.此时，当时，，单调递减；当时，，单调递增.综上：当时，在内单调递减，当时，在内单调递减，在单调递增. 2.已知函数，求函数f(x)的单调区间；【答案】答案见解析【解析】【分析】求导数，然后对进行分类讨论，利用导数的正负，可得函数的单调区间；解：求导可得①时，令可得，由于知；令，得∴函数在上单调递减，在上单调递增；②时，令可得；令，得或，由于知或；∴函数在上单调递减，在上单调递增；③时，，函数在上单调递增；④时，令可得；令，得或，由于知或∴函数在上单调递减，在上单调递增；3.设函数，讨论函数的单调性.【答案】讨论过程见解析.【解析】【分析】根据导数的性质，结合的不同取值分类讨论进行求解即可.由，，当时，当时，单调递增，当时，单调递减；当时，，或，当时，，函数在时，单调递增，当时，，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增， 当时，，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增，综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在单调递增，在单调递减，在上单调递增；当时，在单调递增，在单调递减，在上单调递增【点睛】关键点睛：根据一元二次方程两根之间的大小关系分类讨论是解题的关键.题型四：导函数为二次不可因式分解型【例1】（2022·江苏徐州·模拟预测）已知函数，函数的导函数为．讨论函数的单调性；【解析】由得，函数的定义域为，且，令，即，①当，即时，恒成立，在单调递增；②当，即时，令，当时，，的解或，故在上单调递增，在上单调递减；当时，，同理在上单调递减，在上单调递增．【例2】（2022·天津南开·三模）已知函数，记的导函数为讨论的单调性；【解析】解：由已知可得，故可得． 当时，，故在单调递增；当时，由，解得，或，记，，则可知当变化时，的变化情况如下表：00极大值极小值所以，函数在区间单调递增，在区间单调递减，在区间单调递增．【例3】（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室二模（文））已知函数．(1)讨论的单调性；【答案】(1)答案见解析【分析】（1）利用导数判断单调性，结合，则，同时注意定义域对根进行取舍；（2）根据题意，分和两种情况讨论处理．【解析】(1)，令，得．因为，则，即原方程有两根设为，所以（舍去），．则当时，，当时， 在上是减函数，在上是增函数．【题型专练】1.已知函数，讨论的单调性；【答案】答案见解析【解析】【分析】利用导数判断单调性，结合，则，同时注意定义域对根进行取舍；，令，得．因为，则，即原方程有两根设为，所以（舍去），．则当时，，当时，在上是减函数，在上是增函数．2.已知函数，讨论函数的单调性；【解析】，令，其对称轴为，令，则.当时，，所以在上单调递增；当时，对称轴为，若，即，恒成立，所以，所以在 上单调递增；若时，设的两根，，当时，，所以，所以在上单调递增，当时，，所以，所以在上单调递减，当时，，所以，所以在上单调递增，综上所述：当时，在上单调递增；若时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；3.已知函数，讨论的单调性；.【解析】的定义域为，，对于函数，①当时，即时，在恒成立．在恒成立，在为增函数；②当，即或时，当时，由，得或，，在为增函数，减函数，[来源:学+科+网Z+X+X+K]为增函数，当时，由在恒成立，在为增函数． 综上，当时，在为增函数，减函数，为增函数；当时，在为增函数．题型五：导函数为准二次函数型【例1】（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））设函数，讨论的单调性。【解析】由题，①当时，，令则，故当时，，单调递增；当时，，单调递减；②当时，令则，：当，即时，在当和时，，单调递增；当时，，单调递减；当，即时，，单调递增；当，即时，在当和时，，单调递增；当时，，单调递减；综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减【例2】（2022·全国·二模（理））已知函数．讨论的单调性； 【解析】设．当时，则，在R上单调递增，当时，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增．综上，当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．【例3】（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））已知函数（e为自然对数的底数），其中．试讨论函数的单调性；【解析】函数定义域为R，求导得，而，则当时，即在R上为增函数，当时，由，得，即，解得或，则有或，由，解得，所以在上递减，在和上递增．【例4】（2022·浙江·模拟预测）已知函数.讨论的单调性；【解析】定义域为R，，当时，恒成立，在R上单调递减， 当时，当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，综上：当时，在R上单调递减，当时，则在上单调递减，在上单调递增.【题型专练】1.已知函数，．若，求函数的单调区间.【答案】答案见解析【解析】【分析】求出函数f(x)定义域并求出其导数，分，两类确定不等式、的解集即可.【详解】解：，，当时，令，得：；令，得；当时，令，得：或，令，得；因此，当时，在递增，在递减；当时，在，递减；在递增．2.【2021年新高考2卷】已知函数．（1）讨论的单调性；【详解】(1)由函数的解析式可得：，当时，若，则单调递减，若，则单调递增；当时，若，则单调递增， 若，则单调递减，若，则单调递增；当时，在上单调递增；当时，若，则单调递增，若，则单调递减，若，则单调递增；3.（2022·江西·高三阶段练习（理））已知函数（其中为自然对数的底数）．(1)讨论的单调性；【答案】(1)答案见解析【分析】（1）先求导数，分类讨论，利用导数的符号判定函数的单调性；【解析】(1)由可得，当时，，当时，，当时，，从而的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，由得，，，①若，即时，恒成立，故在R上单调递增：②若，即时，由可得，或．令可得，此时的单调递增区间为和，单调递减区间为；③若，即时，由可得，或，令可得，此时的单调递增区间为和，单调递减区间为；综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，在R上单调递增； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；