2024高考数学常考题型：第6讲 导数的极值与最值题型总结（解析版）

第6讲导数的极值与最值题型总结【考点分析】考点一：函数的驻点若，我们把叫做函数的驻点．考点二：函数的极值点与极值①极大值点与极大值：函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作，其中叫做函数的极大值点②极小值点与极小值：函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作，其中叫做函数的极小值点考点三：求可导函数极值的步骤①先确定函数的定义域；②求导数；③求方程的根；④检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值.注意：可导函数在满足是在取得极值的必要不充分条件，如，，但不是极值点.考点四：函数的最值一个连续函数在闭区间上一定有最值，最值要么在极值点处取得，要么在断点处取得。求函数最值的步骤为：①求在内的极值（极大值或极小值）；②将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．【题型目录】题型一：求函数的极值与极值点题型二：根据极值、极值点求参数的值题型三：根据极值、极值点求参数的范围题型四：利用导数求函数的最值（不含参） 题型五：根据最值求参数题型六：根据最值求参数范围【典例例题】题型一：求函数的极值与极值点【方法总结】利用导数求函数极值的步骤如下：（1）求函数的定义域；（2）求导；（3）解方程，当；（4）列表，分析函数的单调性，求极值：①如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值；②如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值【例1】(2022石泉县石泉中学)函数的极小值为()A．0B．C．D．【答案】A【解析】由，得，当时，，单调递增；当或时，，单调递减；所以当时，函数取得极小值，极小值为.故选：A.【例2】(2021·河南新乡市)已知函数的图象在处的切线方程为，则的极大值为()A．B．C．D．1 【答案】A【解析】因为，所以，又因为函数在图象在处的切线方程为，所以，，解得，.由，，，，，知在处取得极大值，.故选：A.【例3】若函数在上有小于的极值点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由因为在上有小于的极值点，所以有小于0的根，由的图像如图：可知有小于0的根需要，所以选择B【例4】（2022·江西师大附中三模（理））已知函数为的导函数．(1)判断函数在区间上是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由；【答案】(1)存在；极小值【分析】（1）转化为判断导函数是否存在变号零点，对求导后，判断的单调性，结合零点存在性定理可得结果；【解析】(1)由，可得， 则，令，其中，可得，所以在上单调递增，即在上单调递增，因为，所以存在，使得，当时，单调递减；当时，单调递增，所以当时，函数取得极小值．【例5】（2022·江苏苏州·模拟预测）函数．(1)求函数在上的极值；【答案】(1)极大值，；极小值，；【分析】（1）由题可得，进而可得；【解析】(1)∵，∴，，由，可得，或，∴，单调递增，，单调递减，，单调递增，∴时，函数有极大值，时，函数有极小值；【题型专练】1.已知e为自然对数的底数，设函数，则A．1是的极小值点B．﹣1是的极小值点C．1是的极大值点D．﹣1是的极大值点【答案】B【解析】【详解】 试题分析：，当时，，当时，，当时，，所以当时，函数取得极小值，是函数的极小值点，故选B.考点：导数与极值2.（2022福建省福建师大附中高二期末多选）定义在的函数，已知是它的极大值点，则以下结论正确的是（）A．是的一个极大值点B．是的一个极小值点C．是的一个极大值点D．是的一个极小值点【答案】AD【解析】是的极大值点，就是存在正数，使得在上，，在上，．设，，当时，，，，同理时，，∴是的一个极大值点，从而是的一个极小值点，是的一个极小值点．不能判定是不是的极值点．故选：AD.3.（2022江西高三期中（文））已知函数，，其中.（1）求函数的极值；（2）若的图像在，处的切线互相垂直，求的最小值.【答案】（1）答案见解析；（2）1.【解析】（1）函数的定义或为，， 若，恒成立，此时在上单调递增，无极值；若时，，解得，当时，，单调递减；当时，，单调递增.当时，有极小值，无极大值.（2），则，其中，，，且，，，当且仅当时取等号，当，时，取最小值1.题型二：根据极值、极值点求参数的值【方法总结】解含参数的极值问题要注意：①是为函数极值点的必要不充分条件，故而要注意检验；②若函数在区间内有极值，那么在内绝不是单调函数，即在某区间上的单调函数没有极值．【例1】(2022全国课时练习)若函数的极小值点是，则的极大值为()A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，函数，可得，所以，解得，故， 可得，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以的极大值为．故选：C.【例2】(2021·全国课时练习)若函数在处取得极小值，则a=__________．【答案】2【解析】由可得，因为函数在处取得极小值，所以，解得或，若，则，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以函数在处取得极小值，符合题意；当时，，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以函数在处取得极大值，不符合题意；综上：.故答案为：2.【例3】（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数在处取极小值，且的极大值为4，则（       ）A．-1B．2C．-3D．4【答案】B【解析】【分析】对求导，由函数在处取极小值，所以，所以， ，对求导，求单调区间及极大值，由的极大值为4，列方程得解.【详解】解：，所以因为函数在处取极小值，所以，所以，，，令，得或，当时，，所以在单调递增，当时，，所以在单调递增，当时，，所以在单调递增，所以在处有极大值为，解得，所以.故选：B【题型专练】1．设函数，若是函数是极大值点，则函数的极小值为________【答案】【解析】函数是函数是极大值点则或当时的极小值为故答案为：2．（2023全国高三专题练习）已知函数，设是的极值点，则a=___，的单调增区间为___.【答案】【解析】由题意可得： 是的极值点即令，可得的单调递增区间为3．（2023河南省实验中学高二月考）函数在处有极值，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由得，选D.点睛：函数在点处由极值，则必有但要注意不一定是的极值点.题型三：根据极值、极值点求参数的范围【例1】（2022·四川绵阳·二模（文））若是函数的极大值点，则实数的取值范围是（       ）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】求出，分，，，分别讨论出函数的单调区间，从而可得其极值情况，从而得出答案.【详解】，若时，当时，；当时，；则在上单调递减；在上单调递增. 所以当时，取得极小值，与条件不符合,故满足题意.当时，由可得或；由可得所以在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增.所以当时，取得极大值，满足条件.当时，由可得或；由可得所以在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增.所以当时，取得极小值，不满足条件.当时，在上恒成立，即在上单调递增.此时无极值.综上所述：满足条件故选：A【例2】（2022·河南·高三阶段练习（文））若函数在上无极值，则实数的取值范围（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】求，由分析可得恒成立，利用即可求得实数的取值范围.【详解】由可得，恒成立，为开口向上的抛物线，若函数在上无极值， 则恒成立，所以，解得：，所以实数的取值范围为，故选：D.【例3】（2022·全国·高三专题练习）函数在内有极值，则实数的取值范围是（       ）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】由可导函数在开区间内有极值的充要条件即可作答.【详解】由得，，因函数在内有极值，则时，有解，即在时，函数与直线y=a有公共点，而，即在上单调递减，，则，显然在零点左右两侧异号，所以实数的取值范围是.故选：C【点睛】结论点睛：可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．【例4】（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知函数，若是的极小值点，则实数的取值范围是（       ）A．B．C．D．【答案】B 【解析】【分析】根据导函数的正负，对分类讨论，判断极值点，即可求解.【详解】由得，令，若，则，此时在单调递增，在单调递减，这与是的极小值点矛盾，故舍去.若，可知是的极大值点，故不符合题意.若，，此时在单调递增，在单调递减，可知是的极大值点，故不符合题意.当，，，此时在单调递增，在单调递减，可知是的极小值点，符合题意.若，在定义域内单调递增，无极值，不符合题意，舍去.综上可知：故选：B【例5】（2022·吉林长春·模拟预测（文））已知函数，．(1)当时，过做函数的切线，求切线方程；(2)若函数存在极值，求极值的取值范围．【答案】(1)，(2)【解析】【分析】（1）设切点，再根据导数的几何意义求解即可；（2）求导分析导函数为0时的情况，设极值点为得到，代入极值再构造函数 ，求导分析单调性与取值范围即可(1)由题，当时，，，设切点为，则，故切线方程为，又切线过，故，即，设，，则，故为增函数.又，故有唯一解，故切点为，斜率为1，故切线方程为，即；(2)因为，为减函数，故若函数存在极值，则在区间上有唯一零点设为，则，即，故极值，设，，则，故为增函数，故，故，即，故极值的取值范围【点睛】本题主要考查了过点的切线问题，同时也考查了利用导数研究函数的极值问题，需要根据题意设极值点，得到极值点满足的关系，再代入极值构造函数分析，属于难题【例6】（2022·天津·耀华中学二模）已知函数.(1)若，求函数的单调区间； (2)若存在两个极小值点，求实数的取值范围.【答案】(1)递减区间为，递增区间为，(2)【解析】【分析】（1）当时，求得，令，利用导数求得，进而求得函数的单调区间；（2）求得，令，结合单调性得到，进而得到，分和，两种情况分类讨论，结合单调性与极值点的概念，即可求解.(1)解：当时，函数，可得，令，可得，所以函数单调递增，因为，所以，当时，，单调递减；当时，，单调递增，即函数的单调递减区间为，单调递增区间为.(2)解：由函数，可得，令，可得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，当时，可得，所以， ①当时，，此时当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以函数的极小值为，无极大值；②当时，，又由在上单调递增，所以在上有唯一的零点，且，因为当时，令，可得，又因为，所以，即，所以，所以，，因为在上单调递减，所以在上有唯一的零点，且，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以函数有两个极小值点，故实数的取值范围为.【题型专练】1．（2022贵州遵义·高三）若函数无极值点则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】, ，由函数无极值点知，至多1个实数根，，解得，实数a的取值范围是，故选：B2.（2022湖南湘潭·高三月考（理））已知函数有两个极值点，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为有两个极值点，所以有两个不同实数根，所以有两个不同实数根，所以有两个不同实数根，显然，所以有两个不同实数根，记，，当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，又因为时，；当时，；当时，，所以当有两个不同实数根时，所以，所以，故选：D. 3.若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】求出函数的导数，由导函数有两个零点可得实数的取值范围.【详解】∵有两个不同的极值点，∴在有2个不同的零点，∴在有2个不同的零点，∴，解得．故选：D.4.（2020·辽宁高三月考）已知函数有两个不同的极值点，，则a的取值范围___________；且不等式恒成立，则实数的取值范围___________.【答案】【解析】，因为函数有两个不同的极值点,所以方程有两个不相等的正实数根，于是有：，解得. ,设,，故在上单调递增，故，所以.因此的取值范围是故答案为：；5.（2022·江苏南通·高二期末）若x＝a是函数的极大值点，则a的取值范围是（       ）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】求导后，得导函数的零点，比较两数的大小，分别判断在两侧的导数符号，确定函数单调性，从而确定是否在处取到极大值，即可求得的范围．【详解】解：，令，得：当，即此时在区间单调递增，上单调递减，上单调递增，符合x＝a是函数的极大值点，反之，当，即，此时在区间单调递增，上单调递减，上单调递增， x＝a是函数的极小值点，不符合题意；当，即，恒成立，函数在上单调递增，无极值点.综上得：.故选：A.6.（2020·江苏盐城·高三期中）若函数在上存在两个极值点，则的取值范围是_______.【答案】【解析】因为，所以，设，因为函数在上存在两个极值点，所以在上存在两个零点，所以在上存在两个零点，设为且，所以根据韦达定理有：，故，因为，所以， ，由于，所以.故答案为：.7.(2018年北京高考题)设函数。（1）若曲线在点处的切线斜率为0，求；（2）讨论的单调性,若在处取得极小值，求的取值范围。【解析】:（1），，得；（2）=，①当时，导数为一次函数型，当时，单调递增，当时，单调递减。是极大值；②当时，开口向上，两根分别为，1；两根大小不确定，i.当时，，当，时，单调递增，当时，单调递减，是极小值；ii.当时，单调递增，无极值；iii.当时，，当，时，单调递增，当时，单调递减，是极大值；③当时，开口向下，，当，时，单调递减，当时，单 调递增，是极大值；综上可知。题型四：利用导数求函数的最值（不含参）【方法总结】导数求函数的极值与闭区间上的最值，设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值和最小值的步骤如下：①求函数在内的极值；②将函数)的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．【例1】(2022江苏单元测试)函数在[0，2]上的最大值是()A．B．C．0D．【答案】A【解析】由，得，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，所以，故选：A【例2】(2022全国课时练习)函数y＝的最大值为()A．e－1B．eC．e2D．10【答案】A【解析】令当时，；当时，所以函数得极大值为，因为在定义域内只有一个极值，所以故选：A.【例3】函数在上的最大值为（　　）A．B．πC．D．【答案】B 【解析】【分析】利用导数研究的单调性，进而求其最大值.【详解】由题意，在上，即单调递增，∴.故选：B【例4】（2020·北京高三期中）已知函数（1）求不等式的解集；（2）求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】（1）或；（2）最小值，最大值.【解析】（1）因为，由，得.所以或.所以不等式的解集为或；（2）由得：.令，得，或（舍）.与在区间[0，2]上的情况如下：x0（0，1）1（1，2）2－0+0减增 所以当时，取得最小值；当时，取得最大值.【例5】（2022·全国·高三专题练习）函数的最小值为______．【答案】1【解析】【分析】先证明出成立，对原函数进行同构构造后直接求解.【详解】记.因为.令，解得：；令，解得：；所以在上单减，在上单增，所以.所以，即.所以，当且仅当时等号成立．记.因为在上单增，在上单增，所以在上单增.又，，所以有且只有一个实根.而存在唯一一个使得.即存在唯一一个使得.所以函数的最小值为1.故答案为：1【题型专练】1.（2022·河南郑州·三模（文））在区间上的最小值是（       ）A．B．1C．D． 【答案】B【解析】【分析】求导函数，分析其导函数的符号，得出原函数的单调性，从而可求得最小值．【详解】因为，所以，令，解得，所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以函数在上的最小值为，故选：B．2.（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值为（       ）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】先对函数求导，求出函数的单调区间，进而可求出函数的最大值【详解】解：由，得，当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，因为，所以函数的最大值为，故选：B3.函数在（0，e]上的最大值为（       ）A．－1B．1C．0D．e【答案】A【解析】【分析】对函数求导，然后求出函数的单调区间，从而可求出函数的最大值 【详解】由，得，当时，，当，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值，故选：A4.已知函数，，则函数的最大值为（       ）A．0B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据函数的导函数的正负性判断函数在已知区间的单调性，结合余弦函数的性质进行求解即可.【详解】∵，∴当时，单调递增，当时，单调递减，∴.故选：C.题型五：根据最值求参数【例1】(2021·南昌市新建一中)已知函数在处取得极小值，则在的最大值为()A．B．C．D．【答案】B【解析】，则， 由题意可得，解得，则，，令，可得或，列表如下：极大值极小值所以，函数的极大值为，极小值为，又，，，则，所以，.故选：B.【例2】(2020·陕西省子洲中学)若函数在[0，3]上的最大值为5，则m=()A．3B．4C．5D．8【答案】C【解析】，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，当时，，当时，，则函数在上的最大值为，则.故选：C.【例3】(2021·江苏测试)已知函数在上的最大值为，则a的值为()A．B．C．D． 【答案】A【解析】由，得，当时，若，则单调递减，若，则单调递增，故当时，函数有最大值，解得，不符合题意.当时，函数在上单调递减，最大值为，不符合题意.当时，函数在上单调递减.此时最大值为，解得，符合题意.故a的值为.故选：A.【例4】【2019年高考全国Ⅲ卷】已知函数.（1）讨论的单调性；（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）或.【解析】（1）．令，得x=0或.若a>0，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减； 若a=0，在单调递增；若a<0，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减.（2）满足题设条件的a，b存在.（i）当a≤0时，由（1）知，在[0，1]单调递增，所以在区间[0，l]的最小值为，最大值为.此时a，b满足题设条件当且仅当，，即a=0，．（ii）当a≥3时，由（1）知，在[0，1]单调递减，所以在区间[0，1]的最大值为，最小值为．此时a，b满足题设条件当且仅当，b=1，即a=4，b=1．（iii）当0<a<3时，由（1）知，在[0，1]的最小值为，最大值为b或．若，b=1，则，与0<a<3矛盾.若，，则或或a=0，与0<a<3矛盾．综上，当且仅当a=0，或a=4，b=1时，在[0，1]的最小值为-1，最大值为1．题型五：根据最值求参数范围【例1】（2020·河北省石家庄二中高二月考）函数在区间上有最大值，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由于，故函数在和上递增，在上递减，，画出函数图像如下图所示，由于函数在区间上有最大值，根据图像可知，即，故选D. 【例2】（2020·通榆县第一中学校高三月考（文））若函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是______.【答案】【解析】由题意得：，令解得；令解得或，所以函数在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，故函数在处取到极大值2，所以极大值必是区间上的最大值，∴，解得.检验满足题意故答案为：.【例3】（2020·四川省阆中东风中学校高三月考（文））已知函数，其中为常数，且.（1）当时，求的单调区间；（2）若在处取得极值，且在的最大值为1，求的值. 【答案】（1）在和上单调递增，在上单调递减；（2）或.【解析】（1），，令，得或1，则列表如下：1+0_0+增极大值减极小值增所以在和上单调递增，在上单调递减.（2）∵，令，，，因为在处取得极值，所以，①时，在上单调递增，在上单调递减，所以在区间上的最大值为，令，解得；②当，；(i)当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增，所以最大值1可能在或处取得，而， ∴，∴，(ii)当时，在区间上单调递增；上单调递减，上单调递增，所以最大值1可能在或处取得而，所以，解得，与矛盾；(iii)当时，在区间上单调递增，在单调递减，所以最大值1可能在处取得，而，矛盾，综上所述，或【例4】（2022·山西运城·模拟预测（理））已知函数，若函数在上存在最小值.则实数的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】先利用导数判断出函数的极值点，建立不等式，即可求出的取值范围.【详解】，，当时，，单调递减；当或时，，单调递增，∴在处取得极小值，在处取得极大值.令，解得或，又∵函数在上存在最小值，且为开区间，所以，解得.即的取值范围是.故答案为：.【例5】（2022·浙江湖州·高三期末）若函数存在最小值，则实数a 的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】对函数求导，可知当时，函数在上单调递增，无最小值；当时，有两个不等实根，由此可知函数的单调性，再根据函数图象趋势，结合极小值情况，进而确定最小值，由此即可求出结果.【详解】因为函数，所以，当时，，，又，所以，所以函数在上单调递增，此时无最小值；当时，则有两个不等实根，设两个不等实根，则，所以函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减；所以是函数的极小值点，又时，，所以，所以要使得函数存在最小值，则函数的最小值只能为，且，即，所以，即，解得，所以.故答案为：.【题型专练】1.（2022·陕西·模拟预测（理））若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是_________．【答案】【解析】【分析】由导函数求得极大值，利用极大值点在区间上，且的极大值可得参数范围．【详解】， 或时，，时，，所以在和上都递增，在上递减，，在区间上有最大值，则，解得．故答案为：．2.(2021·全国课时练习)已知函数在区间上存在最小值，则a的取值范围为_______．【答案】【解析】，时，或，当或时，，当时，，所以函数的单调递增区间是和，函数的单调递减区间是，所以函数的极大值点是，极小值点是0，且，那么当，解得或，所以函数在区间上存在最小值，则，解得：.故答案为：.3.(2021·江苏)若函数在区间上存在最小值，则的取值范围是()A．B．C．D．【答案】C【解析】，，令，解得或；令，解得.故的单调递增区间为和，单调递减区间为，所以，函数在处取得极小值， 由于函数在区间内取到最小值，则，由可得，可得,即，解得.因此，实数的取值范围是.故选：C.4.（2022北京市第十三中学高三开学考试）已知函数.（1）函数的最大值等于________；（2）若对任意，都有成立，则实数a的最小值是________.【答案】1【解析】（1）函数定义域是，，时，，递增，时，，递减，∴时，取得极大值也是最大值；（2）若对任意，都有成立，等价于当时，，由（1）当时，，且，满足题意；当，在上递增，，在递减，，只要即可，∴，综上，的最小值是1.．故答案为：；1．5.（2022重庆高二期末）已知函数，若关于的方程恰有两个不同的实数根和，则的取值范围是______，的最大值为_____. 【答案】【解析】作出函数的图像如下图所示，要使关于的方程恰有两个不同的实数根和，则需，解得，不妨设，则，令，则，所以，令，则，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，取得最大值，所以的最大值为，故答案为：；.6.（2022宁夏石嘴山市第一中学高三月考（文））设函数.①若，则的最大值为____________________；②若无最大值，则实数的取值范围是_________________.【答案】2【解析】①若，则，时的值域为， 时，则故时，单调递增；时，单调递减，，故值域为，综上，值域为，最大值为2；②函数，故时的值域为，所以要使无最大值，则需时的最大值小于.由，知，当时在上单调递增，，故解得；当时或，故且，无解，综上，要使无最大值，则.故答案为：2；.