高考数学快速提升成绩题型训练抽象函数doc高中数学
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本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn2022届高考数学快速提升成绩题型训练——抽象函数1.已知函数y=f(x)(x∈R,x≠0)对任意的非零实数,,恒有f()=f()+f(),试判断f(x)的奇偶性。2已知定义在[-2,2]上的偶函数,f(x)在区间[0,2]上单调递减,假设f(1-m)<f(m),求实数m的取值范围3.设f(x)是R上的奇函数,且f(x+3)=-f(x),求f(1998)的值。4.设函数f(x)对任意都有f(=f(,已知f(1)=2,求f(5.已知f(x)是定义在R上的函数,且满足:f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x),f(1)=1997,求f(2022)的值。6.设f(x)是定义R在上的函数,对任意x,y∈R,有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)且f(0)≠0.(1)求证f(0)=1;(2)求证:y=f(x)为偶函数.7.已知定义在R上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为(2,6),试判断(4,8)是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间?8.设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意a,b,当a+b≠0,都有>0(1).假设a>b,试比较f(a)与f(b)的大小;(2).假设f(k<0对x∈[-1,1]恒成立,求实数k的取值范围。14/14\n9.已知函数是定义在(-∞,3]上的减函数,已知对恒成立,求实数的取值范围。10.已知函数当时,恒有.(1)求证:是奇函数;(2)假设.11.已知是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的都满足:.(1)求的值;(2)判断的奇偶性,并证明你的结论;(3)假设,,求数列{}的前项和.12.已知定义域为R的函数满足.(1)假设(2)设有且仅有一个实数,使得,求函数的解析表达式.13.已知函数的定义域为R,对任意实数都有,且,当时,>0.(1)求;(2)求和;(3)判断函数的单调性,并证明.14.函数的定义域为R,并满足以下条件:①对任意,有>0;②对任意,有;③.(1)求的值;(2)求证:在R上是单调减函数;14/14\n(3)假设且,求证:.15.已知函数的定义域为R,对任意实数都有,且当时,.(1)证明:;(2)证明:在R上单调递减;(3)设A=,B={},假设=,试确定的取值范围.16.已知函数是定义在R上的增函数,设F.(1)用函数单调性的定义证明:是R上的增函数;(2)证明:函数=的图象关于点(成中心对称图形.17.已知函数是定义域为R的奇函数,且它的图象关于直线对称.(1)求的值;(2)证明:函数是周期函数;(3)假设求当时,函数的解析式,并画出满足条件的函数至少一个周期的图象.18.函数对于x>0有意义,且满足条件减函数。(1)证明:;(2)假设成立,求x的取值范围。19.设函数在上满足,,且在闭区间[0,7]上,只有.(1)试判断函数的奇偶性;14/14\n(2)试求方程=0在闭区间[-2022,2022]上的根的个数,并证明你的结论.20.已知函数f(x)对任意实数x,y,均有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>0,f(-1)=-2,求f(x)在区间[-2,1]上的值域。21.已知函数f(x)对任意,满足条件f(x)+f(y)=2+f(x+y),且当x>0时,f(x)>2,f(3)=5,求不等式的解。22.设函数f(x)的定义域是(-∞,+∞),满足条件:存在,使得,对任何x和y,成立。求:(1)f(0);(2)对任意值x,判断f(x)值的正负。23.是否存在函数f(x),使以下三个条件:①f(x)>0,x∈N;②;③f(2)=4。同时成立?假设存在,求出f(x)的解析式,如不存在,说明理由。24.设函数y=f(x)的反函数是y=g(x)。如果f(ab)=f(a)+f(b),那么g(a+b)=g(a)·g(b)是否正确,试说明理由。25.己知函数f(x)的定义域关于原点对称,且满足以下三条件:①当是定义域中的数时,有;②f(a)=-1(a>0,a是定义域中的一个数);③当0<x<2a时,f(x)<0。答案:14/14\n1.解:令=-1,=x,得f(-x)=f(-1)+f(x)……①为了求f(-1)的值,令=1,=-1,那么f(-1)=f(1)+f(-1),即f(1)=0,再令==-1得f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)∴f(-1)=0代入①式得f(-x)=f(x),可得f(x)是一个偶函数。2.分析:根据函数的定义域,-m,m∈[-2,2],但是1-m和m分别在[-2,0]和[0,2]的哪个区间内呢?如果就此讨论,将十分复杂,如果注意到偶函数,那么f(x)有性质f(-x)=f(x)=f(|x|),就可防止一场大规模讨论。解:∵f(x)是偶函数,f(1-m)<f(m)可得,∴f(x)在[0,2]上是单调递减的,于是,即化简得-1≤m<。3.解:因为f(x+3)=-f(x),所以f(x+6)=f((x+3)+3)=-f(x+3)=f(x),故6是函数f(x)的一个周期。又f(x)是奇函数,且在x=0处有定义,所以f(x)=0从而f(1998)=f(6×333)=f(0)=0。4.解:由f(=f(,知f(x)=f(≥0,x,f(1)=2,同理可得5.解:从自变量值2022和1进展比较及根据已知条件来看,易联想到函数f(x)是周期函数。由条件得f(x)≠1,故f(x+2)=f(x+4)=.所以f(x+8)=.所以f(x)是以8为周期的周期函数,14/14\n从而f(2022)=f(1)=1997说明:这类问题出现应紧扣已知条件,需用数值或变量来迭代变换,经过有限次迭代可直接求出结果,或者在迭代过程中发现函数具有周期性,利用周期性使问题巧妙获解。6.证明:(1)问题为求函数值,只需令x=y=0即可得。(2)问题中令x=0即得f(y)+f(-y)=2f(0)f(y),且f(0)=1.所以f(y)+f(-y)=2f(y),因此y=f(x)为偶函数.说明:这类问题应抓住f(x)与f(-x)的关系,通过已知条件中等式进展变量赋值。7.解:由y=f(x)是偶函数且在(2,6)上递增可知,y=f(x)在(-6,-2)上递减。令u=2-x,那么当x∈(4,8)时,u是减函数且u∈(-6,-2),而f(u)在(-6,-2)上递减,故y=f(2-x)在(4,8)上递增。所以(4,8)是y=f(2-x)的单调递增区间。8.解:(1).因为a>b,所以a-b>0,由题意得>0,所以f(a)+f(-b)>0,又f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-b)=-f(b),f(a)-f(b)>0,即f(a)>f(b)(2).由(1)知f(x)在R上是单调递增函数,又f+f<0,得f<f,故<,所以k<令t=,所以k<t+,而t+≥2,即k<2-19.解:等价于14/14\n10.(1)证明:令,得令,那么∴∴是奇函数。(2)∵又∵11.(1)解:令,那么令,那么(2)证明:令,那么,∵,∴令,那么∴是奇函数。(3)当时,,令,那么故,所以∴∵14/14\n∴,故∴12.解:(1)∵对任意,函数满足,且∴∵,∴=f(a)=a(2)∵对任意,函数满足,有且仅有一个实数,使得∴对任意,有上式中,令,那么∵,故假设,那么,那么,但方程有两个不相同的实根与题设茅盾,故假设,那么,那么,此时方程有两个相等的实根,即有且仅有一个实数,使得∴13.(1)解:令,那么(2)∵∴14/14\n∴数列是以为首项,1为公差的等差数列,故==(3)任取,那么=∴∴函数是R上的单调增函数.14.(1)解:∵对任意,有>0,∴令得,(2)任取任取,那么令,故∵函数的定义域为R,并满足以下条件:①对任意,有>0;②对任意,有;③∴∴∴函数是R上的单调减函数.(3)由(1)(2)知,,∴∵∴,而∴∴15.(1)证明:令,那么14/14\n∵当时,,故,∴,∵当时,∴当时,,那么(2)证明:任取,那么∵,∴0<,故<0,又∵∴,故∴函数是R上的单调减函数.(3)∵由(2)知,是R上的减函数,∴∵B={}=又∵,∴方程组无解,即直线的内部无公共点∴,故的取值范围是-16.(1)任取,那么F=[∵,∴∴又∵函数是定义在R上的增函数,∴,14/14\n故∴>0∴是R上的增函数;(2)设为函数=的图象上任一点,那么点关于点(的对称点为N(),那么,故∵把代入F得,=-∴函数=的图象关于点(成中心对称图形.17.(1)解:∵为R上的奇函数,∴对任意都有,令那么∴=0(2)证明:∵为R上的奇函数,∴对任意都有,∵的图象关于直线对称,∴对任意都有,∴用代得,∴,即∴是周期函数,4是其周期.(3)当时,当时,,当时,,∴14/14\n图象如下:y-2-10123456x18.(1)证明:令,那么,故(2)∵,令,那么,∴∴∴成立的x的取值范围是。19.解:(1)由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数的对称轴为,从而知函数不是奇函数,由,从而知函数的周期为又,故函数是非奇非偶函数;(2)由又故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数在[0,2022]上有402个解,在[-2022.0]上有400个解,所以函数在[-2022,2022]上有802个解.20.解:设,∵当,∴,∵,∴,即,∴f(x)为增函数。14/14\n在条件中,令y=-x,那么,再令x=y=0,那么f(0)=2f(0),∴f(0)=0,故f(-x)=f(x),f(x)为奇函数,∴ f(1)=-f(-1)=2,又f(-2)=2f(-1)=-4,∴f(x)的值域为[-4,2]。21.解:设,∵当,∴,那么,即,∴f(x)为单调增函数。∵,又∵f(3)=5,∴f(1)=3。∴,∴,即,解得不等式的解为-1<a<3。22.解:(1)令y=0代入,那么,∴。假设f(x)=0,那么对任意,有,这与题设矛盾,∴f(x)≠0,∴f(0)=1。(2)令y=x≠0,那么,又由(1)知f(x)≠0,∴f(2x)>0,即f(x)>0,故对任意x,f(x)>0恒成立。23.分析:由题设可猜测存在,又由f(2)=4可得a=2.故猜测存在函数,用数学归纳法证明如下:(1)x=1时,∵,又∵x∈N时,f(x)>0,∴,结论正确。(2)假设时有,那么x=k+1时,,∴x=k+1时,结论正确。综上所述,x为一切自然数时。14/14\n24.解:设f(a)=m,f(b)=n,由于g(x)是f(x)的反函数,∴g(m)=a,g(n)=b,从而,∴g(m)·g(n)=g(m+n),以a、b分别代替上式中的m、n即得g(a+b)=g(a)·g(b)。25.解:(1)∵f(x)的定义域关于原点对称,且是定义域中的数时有,∴在定义域中。∵,∴f(x)是奇函数。(2)设0<x1<x2<2a,那么0<x2-x1<2a,∵在(0,2a)上f(x)<0,∴f(x1),f(x2),f(x2-x1)均小于零,进而知中的,于是f(x1)<f(x2),∴在(0,2a)上f(x)是增函数。又,∵f(a)=-1,∴,∴f(2a)=0,设2a<x<4a,那么0<x-2a<2a,,于是f(x)>0,即在(2a,4a)上f(x)>0。设2a<x1<x2<4a,那么0<x2-x1<2a,从而知f(x1),f(x2)均大于零。f(x2-x1)<0,∵,∴,即f(x1)<f(x2),即f(x)在(2a,4a)上也是增函数。综上所述,f(x)在(0,4a)上是增函数。本资料由《七彩教育网》www.7caiedu.cn提供!本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn14/14
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