高考数学快速提升成绩题型训练三个二次问题(二次函数不等式方程)doc高中数学
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本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn2022届高考数学快速提升成绩题型训练——三个二次问题(二次函数、不等式、方程)1.解关于的不等式:(1)x2-(a+1)x+a<0,(2).2设集合A={x|x2+3k2≥2k(2x-1)},B={x|x2-(2x-1)k+k2≥0},且AB,试求k的取值范围.3.不等式(m2-2m-3)x2-(m-3)x-1<0的解集为R,求实数m的取值范围.4.已知二次函数y=x2+px+q,当y<0时,有-<x<,解关于x的不等式qx2+px+1>0.5.假设不等式的解集为,求实数p与q的值.6.设,假设,,,试证明:对于任意,有.7.(经典题型,非常值得训练)设二次函数,方程的两个根满足.当时,证明.8.已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)假设方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m的范围.(2)假设方程两根均在区间(0,1)内,求m的范围.9.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=-bx,其中a、b、c满足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈R).(1)求证:两函数的图象交于不同的两点A、B;(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围.10.已知实数t满足关系式(a>0且a≠1)(1)令t=ax,求y=f(x)的表达式;(2)假设x∈(0,2时,y有最小值8,求a和x的值.11.如果二次函数y=mx2+(m-3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧,试求m的取值范围.13/13\n12.二次函数f(x)=px2+qx+r中实数p、q、r满足=0,其中m>0,求证:(1)pf()<0;(2)方程f(x)=0在(0,1)内恒有解.13.一个小服装厂生产某种风衣,月销售量x(件)与售价P(元/件)之间的关系为P=160-2x,生产x件的本钱R=500+30x元.(1)该厂的月产量多大时,月获得的利润不少于1300元?(2)当月产量为多少时,可获得最大利润?最大利润是多少元?14.已知a、b、c是实数,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1.(1)证明:|c|≤1; (2)证明:当-1≤x≤1时,|g(x)|≤2;15.设二次函数,方程的两个根满足.且函数的图像关于直线对称,证明:.16.已知二次函数,设方程的两个实数根为和.(1)如果,设函数的对称轴为,求证:;(2)如果,,求的取值范围.17.设,,,求证:(Ⅰ)a>0且-2<<-1;(Ⅱ)方程在(0,1)内有两个实根.18.已知二次函数的图象如以下图:13/13\n(1)试判断及的符号;(2)假设|OA|=|OB|,试证明。19.为何值时,关于的方程的两根:(1)为正数根;(2)为异号根且负根绝对值大于正根;(3)都大于1;(4)一根大于2,一根小于2;(5)两根在0,2之间。20.证明关于的不等式与,当为任意实数时,至少有一个桓成立。21.已知关于的方程两根为,试求的极值。22.假设不等式对一切x恒成立,求实数m的范围.23.设不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|a<x<β}(0<a<β),求不等式cx2+bx+a<0的解集.答案:1.解:(1)原不等式可化为:假设a>1时,解为1<x<a,假设a>1时,解为a<x<1,假设a=1时,解为13/13\n(2)△=.①当,△>0.方程有二实数根:∴原不等式的解集为①当=±4时,△=0,两根为假设那么其根为-1,∴原不等式的解集为.假设那么其根为1,∴原不等式的解集为.②当-4<时,方程无实数根.∴原不等式的解集为R.2.解:,比较因为(1)当k>1时,3k-1>k+1,A={x|x≥3k-1或x}.(2)当k=1时,x.(3)当k<1时,3k-1<k+1,A=.B中的不等式不能分解因式,故考虑判断式,(1)当k=0时,.(2)当k>0时,△<0,x.(3)当k<0时,.故:当时,由B=R,显然有A,当k<0时,为使A,需要k,于是k时,.综上所述,k的取值范围是:13/13\n3..解:(1)当m2-2m-3=0,即m=3或m=-1时,①假设m=3,原不等式解集为R②假设m=-1,原不等式化为4x-1<0∴原不等式解集为{x|x<=,不合题设条件.(2)假设m2-2m-3≠0,依题意有即∴-<m<3综上,当-<m≤3时,不等式(m2-2m-3)x2-(m-3)x-1<0的解集为R.4..解:由已知得x1=-,x2=是方程x2+px+q=0的根,∴-p=-+q=-×∴p=,q=-,∴不等式qx2+px+1>0即-x2+x+1>0∴x2-x-6<0,∴-2<x<3.即不等式qx2+px+1>0的解集为{x|-2<x<3}.5..解:由不等式的解集为,得2和4是方程的两个实数根,且.(如图)解得6.解:∵,∴,∴.∴当时,13/13\n当时,7.证明:由题意可知.,∴,∴当时,.又,∴,综上可知,所给问题获证.8.解:(1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内,画出示意图,得∴.13/13\n(2)据抛物线与x轴交点落在区间(0,1)内,列不等式组(这里0<-m<1是因为对称轴x=-m应在区间(0,1)内通过)9.(1)证明:由消去y得ax2+2bx+c=0Δ=4b2-4ac=4(-a-c)2-4ac=4(a2+ac+c2)=4[(a+c2]∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0∴c2>0,∴Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点.(2)解:设方程ax2+bx+c=0的两根为x1和x2,那么x1+x2=-,x1x2=.|A1B1|2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2∵a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0∴a>-a-c>c,解得∈(-2,-)∵的对称轴方程是.∈(-2,-)时,为减函数∴|A1B1|2∈(3,12),故|A1B1|∈().10..解:(1)由loga得logat-3=logty-3logta由t=ax知x=logat,代入上式得x-3=,∴logay=x2-3x+3,即y=a(x≠0).(2)令u=x2-3x+3=(x-)2+(x≠0),那么y=au13/13\n①假设0<a<1,要使y=au有最小值8,那么u=(x-)2+在(0,2上应有最大值,但u在(0,2上不存在最大值.②假设a>1,要使y=au有最小值8,那么u=(x-)2+,x∈(0,2应有最小值∴当x=时,umin=,ymin=由=8得a=16.∴所求a=16,x=.11.解:∵f(0)=1>0(1)当m<0时,二次函数图象与x轴有两个交点且分别在y轴两侧,符合题意.(2)当m>0时,那么解得0<m≤1综上所述,m的取值范围是{m|m≤1且m≠0}.12.证明:(1),由于f(x)是二次函数,故p≠0,又m>0,所以,pf()<0.(2)由题意,得f(0)=r,f(1)=p+q+r①当p<0时,由(1)知f()<0假设r>0,那么f(0)>0,又f()<0,所以f(x)=0在(0,)内有解;假设r≤0,那么f(1)=p+q+r=p+(m+1)=(-)+r=>0,又f()<0,所以f(x)=0在(,1)内有解.②当p<0时同理可证.13..解:(1)设该厂的月获利为y,依题意得y=(160-2x)x-(500+30x)=-2x2+130x-500由y≥1300知-2x2+130x-500≥1300∴x2-65x+900≤0,∴(x-20)(x-45)≤0,解得20≤x≤45∴当月产量在20~45件之间时,月获利不少于1300元.13/13\n(2)由(1)知y=-2x2+130x-500=-2(x-)2+1612.5∵x为正整数,∴x=32或33时,y取得最大值为1612元,∴当月产量为32件或33件时,可获得最大利润1612元.14.解(1)|c|=|f(0)|≤1(因为0∈[-1,1]). 所以当-1≤x≤1时, 15.解:由题意.它的对称轴方程为由方程的两个根满足,可得且,∴,即,而13/13\n故.16.解:设,那么的二根为和.(1)由及,可得,即,即两式相加得,所以,;(2)由,可得.又,所以同号.∴,等价于或,即或解之得或.17.证明:(I)因为,所以.由条件,消去,得;由条件,消去,得,.故.13/13\n(II)抛物线的顶点坐标为,在的两边乘以,得.又因为而所以方程在区间与内分别有一实根。故方程在内有两个实根.18.解析:解此题主要是应用抛物线的几何特性(张口方向,对称轴,截距,与轴交点个数)及函数零点(方程)的有关知识,即(1)由抛物线张口方向、对称轴位置、截距及与轴交点个数,立即可得:,。(2)由方程结论19.解析:关于方程根的讨论,结合二次函数图象与轴的交点位置的充要条件即可求:即设方程两根为那么1);(2);13/13\n(3);4);(5)。20.解析:证明不等式恒成立,实质是证明对应抛物线恒在轴的上方或下方的问题,故只要求抛物线恒在轴上方或下方的充要条件即可。即由恒成立对应抛物线恒在轴下方;由恒成立对应抛物线恒在轴上方。因此,当为任意实教时,上述两充要条件至少有一个成立,命题得证。21.解析:求13/13\n的极值,即应用方程根与系数的关系和判别式,求二次函数的条件极值的问题。即为方程的两根,,又22.解析:∵x2-8x+20=(x-4)2+4>0,∴只须mx2-mx-1<0恒成立,即可:①当m=0时,-1<0,不等式成立;②当m≠0时,那么须解之:-4<m<0.由(1)、(2)得:-4<m≤0.23.分析:由题∴cx2+bx+a<0的解集是{x|x<或x>}.本资料由《七彩教育网》www.7caiedu.cn提供!本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn13/13
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