高考数学快速提升成绩题型训练圆锥曲线doc高中数学
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本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn2022届高考数学快速提升成绩题型训练——圆锥曲线1.已知常数m>0,向量a=(0,1),向量b=(m,0),经过点A(m,0),以λa+b为方向向量的直线与经过点B(-m,0),以λb-4a为方向向量的直线交于点P,其中λ∈R.(1)求点P的轨迹E; (2)假设,F(4,0),问是否存在实数k使得以Q(k,0)为圆心,|QF|为半径的圆与轨迹E交于M、N两点,并且|MF|+|NF|=.假设存在求出k的值;假设不存在,试说明理由.2双曲线的实半轴与虚半轴长的积为,它的两焦点分别为F1、F2,直线过F2且与直线F1F2的夹角为,且,与线段F1F2的垂直平分线的交点为P,线段PF2与双曲线的交点为Q,且,建立适当的坐标系,求双曲线的方程.3.在直角坐标平面上,O为原点,M为动点,.过点M作MM1⊥y轴于M1,过N作NN1⊥x轴于点N1,.记点T的轨迹为曲线C,点A(5,0)、B(1,0),过点A作直线l交曲线C于两个不同的点P、Q(点Q在A与P之间).(1)求曲线C的方程;(2)证明不存在直线l,使得|BP|=|BQ|;(3)过点P作y轴的平行线与曲线C的另一交点为S,假设,证明23/23\n4.已知离心率为的双曲线C的中心在坐标原点,左、右焦点F1、F2在轴上,双曲线C的右支上一点A使且的面积为1。(1)求双曲线C的标准方程;(2)假设直线与双曲线C相交于E、F两点(E、F不是左右顶点),且以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D。求证:直线过定点,并求出该定点的坐标。5.求与双曲线有公共渐进线,且经过点的双曲线的方程。6、已知分别是双曲线的左右焦点,是双曲线上的一点,且=120,求的面积7、证明:双曲线上任意一点到两条渐进线的距离的乘积是一个定值8、已知半圆的直径为,点在半圆上,双曲线以为焦点,且过点。假设,求双曲线的方程。9.已知圆:x2+y2=c2(c>0),把圆上的各点纵坐标不变,横坐标伸长到原来的倍得一椭圆。⑴求椭圆方程,并证明椭圆离心率是与c无关的常数;⑵设圆与x轴交点为P,过点P的直线l与圆的另一交点为Q,直线l与椭圆的两交点为M、N,且满足,求直线l的倾斜角。10.已知点(x,y)在椭圆C:(a>b>0)上运动⑴求点的轨迹C′方程;23/23\n⑵假设把轨迹C′的方程表达式记为:y=f(x),且在内y=f(x)有最大值,试求椭圆C的离心率的取值范围。11.已知过椭圆右焦点且斜率为1的直线交椭圆于、两点,为弦的中点;又函数的图像的一条对称轴的方程是。(1)求椭圆的离心率与;(2)对于任意一点,试证:总存在角使等式:成立.12.已知圆k过定点A(a,0)(a>0),圆心k在抛物线C:y2=2ax上运动,MN为圆k在y轴上截得的弦.(1)试问MN的长是否随圆心k的运动而变化?(2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时,抛物线C的准线与圆k有怎样的位置关系?13.如图,已知椭圆=1(2≤m≤5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D,设f(m)=||AB|-|CD||(1)求f(m)的解析式;(2)求f(m)的最值.14.已知双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,右准线为一条渐近线的方程是过双曲线C的右焦点F2的一条弦交双曲线右支于P、Q两点,R是弦PQ的中点.(1)求双曲线C的方程;23/23\n(2)假设在l的左侧能作出直线m:x=a,使点R在直线m上的射影S满足,当点P在曲线C上运动时,求a的取值范围.15.设分别是椭圆的左,右焦点。(Ⅰ)假设是第一象限内该椭圆上的一点,且,求点的坐标。(Ⅱ)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点,且为锐角(其中O为坐标原点),求直线的斜率的取值范围。16.抛物线C的方程为,作斜率为的两条直线,分别交抛物线C于A两点(P、A、B三点互不相同),且满足(1)求抛物线C的焦点坐标和准线方程;(2)设直线AB上一点M满足证明:线段PM的中点在y轴上;(3)当时,假设点P的坐标为(1,—1),求∠PAB为钝角时,点A的纵坐标的取值范围.17.如图,已知点F(1,0),直线为平面上的动点,过P作直线l的垂线,垂足为点Q,假设(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)过点M(-1,0)作直线m交轨迹C于A,B两点。(Ⅰ)记直线FA,FB的斜率分别为k1,k2,求k1+k223/23\n的值;(Ⅱ)假设线段AB上点R满足求证:RF⊥MF。错误!嵌入对象无效。18.已知椭圆C的中心为坐标原点,F1、F2分别为它的左、右焦点,直线x=4为它的一条准线,又知椭圆C上存在点M使(1)求椭圆C的方程;(2)假设PQ为过椭圆焦点F2的弦,且内切圆面积最大时实数的值.19.已知椭圆,通径长为1,且焦点与短轴两端点构成等边三角形.(1)求椭圆的方程;(2)过点Q(-1,0)的直线l交椭圆于A,B两点,交直线x=-4于点E,点Q分所成比为λ,点E分所成比为μ,求证λ+μ为定值,并计算出该定值.20.已知⊙M:轴上的动点,QA,QB分别切⊙M于A,B两点,(1)如果,求直线MQ的方程;(2)求动弦AB的中点P的轨迹方程.答案:1.解 (1)∵λa+b=(m,λ),∴直线AP方程为;…………………………①又λb-4a=(λm,-4),∴直线NP方程为;…………………………②23/23\n由①、②消去λ得,即.故当m=2时,轨迹E是以(0,0)为圆心,以2为半径的圆:x2+y2=4;当m>2时,轨迹E是以原点为中心,以为焦点的椭圆:当0<m<2时,轨迹E是以中心为原点,焦点为的椭圆.(2) 假设存在实数k满足要求,此时有圆Q:(x-k)2+y2=(4-k)2;椭圆E:;其右焦点为F(4,0),且.由圆Q与椭圆E的方程联立得2y2-5kx+20k-30=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),那么有,………………………………………………③△=25k2-4×2(20k-30),又|MF|=,|NF|=,而;∴+,由此可得 ,……………………………………………………………………④由③、④得k=1,且此时△>0.故存在实数k=1满足要求.2.解以F1F2的中点为原点,F1、F2所在直线为x轴建立坐标系,那么所求双曲线方程为(a>0,b>0),设F2(c,0),不妨设的方程为,它与y轴交点,由定比分点坐标公式,得Q点的坐标为,由点Q在双曲线上可得,又,∴,,∴双曲线方程为.3.(1)设点T的坐标为,点M的坐标为,那么M1的坐标为(0,),,于是点N的坐标为,N1的坐标23/23\n为,所以由由此得由即所求的方程表示的曲线C是椭圆.……………………3分(2)点A(5,0)在曲线C即椭圆的外部,当直线l的斜率不存在时,直线l与椭圆C无交点,所以直线l斜率存在,并设为k.直线l的方程为由方程组依题意当时,设交点PQ的中点为,那么又23/23\n而不可能成立,所以不存在直线l,使得|BP|=|BQ|.…………7分(3)由题意有,那么有方程组由(1)得(5)将(2),(5)代入(3)有整理并将(4)代入得,易知因为B(1,0),S,故,所以4.解:(1)由题意设双曲线的标准方程为,由已知得:解得∵且的面积为1∴,∴∴23/23\n∴双曲线C的标准方程为。(2)设,联立得显然否那么直线与双曲线C只有一个交点。即那么又∵以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D(2,0)∴即∴∴化简整理得∴,且均满足当时,直线的方程为,直线过定点(2,0),与已知矛盾!当时,直线的方程为,直线过定点(,0)∴直线定点,定点坐标为(,0)。5.求与双曲线有公共渐进线,且经过点的双曲线的方程。23/23\n解:设双曲线的方程为在双曲线上得所以双曲线方程为6、已知分别是双曲线的左右焦点,是双曲线上的一点,且=120,求的面积解:双曲线可化为设由题意可得即所以7、证明:双曲线上任意一点到两条渐进线的距离的乘积是一个定值解:设双曲线的方程为所以渐近线方程为到的距离到的距离*又在双曲线上所以即23/23\n故*可化为8、已知半圆的直径为,点在半圆上,双曲线以为焦点,且过点。假设,求双曲线的方程。解:在半圆上在圆上即又可得所以双曲线方程为9.解:⑴设R(x,y)是圆:x2+y2=c2上任一点,那么S(x,y)在所求椭圆上的点,设S(u,v),有u=x,v=y即x=,y=v代入圆的方程得:故所求的椭圆方程为:椭圆的长半轴的长为c,半焦距为c,故离心率e=与c无关。⑵设直线l的方程为:x=-c+tcos23/23\ny=tsin(t为参数,为倾斜角)①把①代入圆的方程得:(-c+tcos)cos2+(tsin)2=c2整理得:t2-2ccost2=0②设②的两根为t1、t2,解得:t1=0,t2=2ccos把①代入椭圆方程得:(-c+tcos)2+2(tsin)2=2c2整理得:(1+sin2)t2-2ccost-c2=0③设方程③的两根为t3、t4,由韦达定理:t3+t4=,t3t4=-,,=又故有:即cos2(1+sin2)2=1整理得:又﹝0,)sin=0=0或sin2=故得:或。综合得:=0或或。10.解:⑴椭圆C:的参数方程为:为参数),又设点是轨迹C′上任意一点,那么轨迹C′的参数方程为:23/23\n(为参数)消去参数得:把换成x,y,所求轨迹C′的方程为:①⑵把方程①表达为函数解析式:,下证函数在上是增函数,在上是减函数。设x1>x2>0,作差=②当>>>0时,那么有0<<于是得到:0<<1故由②式知:>0>当>>时,那么有>于是得到:>1故由②式知:<0<故得到函数在上是增函数,在上是减函数。因此在(上有最大值,当且仅当时取到最大值。要使函数在内取到最大值,那么只要<<设椭圆半焦距为c,于是有<><e<1即符合题意的离心率的取值范围是。23/23\n11.解:1)函数.又,故为第一象限角,且.函数图像的一条对称轴方程式是:得又c为半点焦距,由知椭圆C的方程可化为(1)又焦点F的坐标为(),AB所在的直线方程为(2)(2)代入(1)展开整理得(3)设A(),B(),弦AB的中点N(),那么是方程(3)的两个不等的实数根,由韦达定理得(4)即为所求。23/23\n2)与是平面内的两个不共线的向量,由平面向量根本定理,对于这一平面内的向量,有且只有一对实数使得等式成立。设由1)中各点的坐标可得:又点在椭圆上,代入(1)式得化为:(5)由(2)和(4)式得又两点在椭圆上,故1有入(5)式化简得:由得到又是唯一确定的实数,且,故存在角,使成立,那么有假设,那么存在角使等式成立;假设由与于是用代换,同样证得存在角使等式:成立.综合上述,对于任意一点,总存在角使等式:成立.12.解:(1)设圆心k(x0,y0),且y02=2ax0,圆k的半径R=|AK|=∴|MN|=2=2a(定值)∴弦MN的长不随圆心k的运动而变化.23/23\n(2)设M(0,y1)、N(0,y2)在圆k:(x-x0)2+(y-y0)2=x02+a2中,令x=0,得y2-2y0y+y02-a2=0∴y1y2=y02-a2∵|OA|是|OM|与|ON|的等差中项.∴|OM|+|ON|=|y1|+|y2|=2|OA|=2a.又|MN|=|y1-y2|=2a∴|y1|+|y2|=|y1-y2|∴y1y2≤0,因此y02-a2≤0,即2ax0-a2≤0.∴0≤x0≤.圆心k到抛物线准线距离d=x0+≤a,而圆k半径R=≥a.且上两式不能同时取等号,故圆k必与准线相交.13.解:(1)设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为a、b、c,那么a2=m,b2=m-1,c2=a2-b2=1∴椭圆的焦点为F1(-1,0),F2(1,0).故直线的方程为y=x+1,又椭圆的准线方程为x=±,即x=±m.∴A(-m,-m+1),D(m,m+1)考虑方程组,消去y得:(m-1)x2+m(x+1)2=m(m-1)整理得:(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0Δ=4m2-4(2m-1)(2m-m2)=8m(m-1)2∵2≤m≤5,∴Δ>0恒成立,xB+xC=.又∵A、B、C、D都在直线y=x+1上∴|AB|=|xB-xA|==(xB-xA)·,|CD|=(xD-xC)∴||AB|-|CD||=|xB-xA+xD-xC|=|(xB+xC)-(xA+xD)|又∵xA=-m,xD=m,∴xA+xD=0∴||AB|-|CD||=|xB+xC|·=||·=(2≤m≤5)故f(m)=,m∈[2,5].(2)由f(m)=,可知f(m)=又2-≤2-≤2-23/23\n∴f(m)∈[]故f(m)的最大值为,此时m=2;f(m)的最小值为,此时m=5.14.解:(1)设双曲线C的方程为,那么它的右准线方程为已知得=1,那么=1,所以所求双曲线C的方程是(2)因为点R在直线m上的射影S满足所以PS⊥QS,即△PSQ是直角三角形.所以点R到直线m:x=的距离为|RS|=即……………………①又所以|PQ|=|PF2|+|F2Q|=2(xP-xQ-1)=4XR-2……………………②将②代入①,得又P、Q是过右焦点F2的一条弦,且P、Q均在双曲线C的右支上,R是弦PQ的中点.所以故所求a的取值范围是a≤-1.15.解:(Ⅰ)易知。,23/23\n联立,解得,(Ⅱ)显然可设联立由得又,又综可知16.(1)由抛物线C的方程得,焦点坐标为(2)设直线PA的方程为23/23\n①②点的解将②式代入①式,得,于是③④⑤又点的解将⑤式代入④式,得,于是由已知得,⑥设点M的坐标为将③式和⑥式代入上式,得所以线段PM的中点在y轴上(3)因为点P(1,-1)在抛物线由③式知将代入⑥式得因此,直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为23/23\n故当即17.解:(1)设点由(2)(Ⅰ)由题意直线m斜率存在且不为0,设直线与抛物线方程联立得设(Ⅱ)设动点R18.解:(1)据题意,设椭圆C的方程为23/23\n,∵直线x=4为椭圆C的准线,∴又,∴M为椭圆C短轴上的顶点,∵,∴,△F1MF2为等边三角形∴且,∴椭圆C的方程为(2)显然直线PQ不与x轴重合,当PQ与x轴垂直,即直线PQ分斜率不存在时,∴当直线PQ斜率存在时,设它的斜率为k,那么直线PQ的方程为,代入椭圆C的方程,消去x的并整理得:那么∴设4k2+3=t,那么t>3,此时23/23\n∵综上,直线PQ与x轴垂直时,△PF1Q的面积最大,且最大面积为3.设△PF1Q内切圆半径为r,那么∴时,△PF1Q内切圆面积最大,此时不存在,直线PQ与x轴垂直,∴19.解(1)由条件得,所以方程(2)易知直线l斜率存在,令由由由由(1)将代入有23/23\n20.解:(1)由,可得由射影定理,得在Rt△MOQ中,,故,所以直线AB方程是(2)连接MB,MQ,设由点M,P,Q在一直线上,得由射影定理得即把(*)及(**)消去a,并注意到,可得本资料由《七彩教育网》www.7caiedu.cn提供!本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn23/23
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