高考数学方法技巧第12讲 利用导数解决函数的单调性（原卷版）

第12讲导数与函数的单调性问题在近几年的高考中，导数在研究函数的单调性中的应用是必考内容，它以不但避开了初等函数变形的难点，定义法证明的繁杂，而且使解法程序化，优化解题策略、简化运算，具有较强的工具性的作用.导数在研究函数的单调性中的应用主要有两方面的应用：一是分析函数的单调性；二是已知函数在某区间上的单调性求参数的取值范围.在高考中的各种题型中均有出现，其试题难度考查相对较大.类型一求无参函数的单调区间第一步计算函数的定义域；第二步求出函数的导函数；第三步若，则为增函数；若，则为减函数.例1【河北省衡水市枣强中学高三下学期3月调研】已知函数.（1）当时，判断的单调性；【变式演练1】函数，的单调递增区间为__________．【变式演练2】已知函数，则不等式的解集为___________.【变式演练3】【黑龙江省哈尔滨六中高三高考数学（文科）二模】已知函数，若，，，则的大小关系为（）A．B．C．D．【变式演练4】【湖南省湘潭市高三下学期第四次模拟考试】定义在上的连续函数，导函数为．若对任意不等于的实数，均有成立，且，则下列命题中一定成立的是（）A．B．C．D．类型二判定含参数的函数的单调性第一步计算函数的定义域并求出函数的导函数；8/8 第二步讨论参数的取值范围，何时使得导函数按照给定的区间大于0或小于0；第三步根据导函数的符号变换判断其单调区间.例2【黑龙江省大庆市第四中学高三下学期第四次检测】已知函数.（1）讨论的单调性；【变式演练5】（主导函数是一次型函数）【福建省三明市高三（6月份）高考数学（文科）模拟】已知函数.（1）讨论函数的单调性；【变式演练6】（主导函数为类一次型）【山东省威海荣成市高三上学期期中考试】已知函数.（I）讨论的单调性；【变式演练7】（主导函数为二次型）【山西省高三高考考前适应性测试（二）】已知函数，.（1）讨论的单调性；【变式演练8】（主导函数是类二次型）【山西省太原五中高三高考数学（理科）二模】已知函数，其中k∈R.（1）当时，求函数的单调区间；【变式演练9】已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是（）A．B．C．D．类型三由函数单调性求参数取值范围第一步计算函数的定义域并求出函数的导函数；第二步根据题意转化为相应的恒成立问题；第三步得出结论.例3．【江苏省南通市高三下学期期末】若在上是减函数，则实数的范围是（）8/8 A．B．C．D．【变式演练11】（转化为任意型恒成立）【四川省绵阳市高考数学（文科）三诊】函数在上单调递增，则的最小值为（）A．4B．16C．20D．18【变式演练12】（转化为变号零点）【山西省运城市高三期末】已知函数在内不是单调函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【变式演练13】（直接给给定单调区间）【辽宁省六校协作体高三下学期期中考试】已知函数的单调递减区间是，则的值为（）A．-4B．-2C．2D．4【变式演练14】（转化为存在型恒成立）【四川省仁寿第一中学北校区高三月考】若f（x）2ax在（1，+∞）上存在单调递增区间，则a的取值范围是()A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，0）C．[0，+∞）D．（0，+∞）【反馈练习】1．【广东省梅州市高三总复习质检（5月）】已知，，，，则（）A．B．C．D．2.【山东省威海市高三下学期质量检测】若函数在上单调递减，则实数的取值范围为()A．B．C．D．3.【河南省十所名校高三毕业班阶段性测试】若函数在上单调递减，则实数m的取值范围为（）8/8 A．B．C．D．4.【黑龙江哈尔滨市第九中学高三阶段验收】函数，若对任意两个不等的实数，都有恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．5.【湖北省武汉市新高考五校联合体高三期中检测】若函数在上存在单调增区间，则实数的取值范围是_______.6.【四川省宜宾市高三调研】若对，函数在内总不是单调函数，则实数的取值范围是______7.【河南省南阳市第一中学校高三月考】若函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围______.8．若函数在区间是增函数，则的取值范围是_________．9．已知函数，若对任意两个不同的，，都有成立，则实数的取值范围是________________10．【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三上学期开学考试】（1）求函数的单调递增区间；（2）已知函数在上单调递增，求实数的范围.11.【黑龙江省哈尔滨三中高三高考数学（文科）三模】函数.（1）求证：函数在上单调递增；（2）若，为两个不等的正数，求证.12．【湖北省黄冈中学高三下学期适应性考试】已知函数，的导数为.8/8 （1）当时，讨论的单调性；（2）设，方程有两个不同的零点，求证.13.【湖南省永州市宁远、道县、东安、江华、蓝山、新田高三下学期六月联考】已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，，求实数的取值范围．14．【山西省高三高考考前适应性测试（二）】已知函数，，其中.（1）讨论在区间上的单调性；（2）当时，，求的值.15．【河南省高三（6月份）高考数学（文科）质检】已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若存在两个极值点，求证：.16.【山东省普通高等学校招生统一考试数学必刷卷】已知实数，函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）若是函数的极值点，曲线在点，处的切线分别为，且在轴上的截距分别为．若，求的取值范围．17.【福建省高三（6月份）高考数学（理科）模拟】已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）求证：函数有唯一的零点.18．【山东省潍坊市五县高三高考热身训练考前押题】已知函数满足8/8 ，，．（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调区间；（3）当且时，求证：．19．【陕西省商洛市商丹高新学校高三下学期考前适应性训练】已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在区间上存在两个不同零点，求实数的取值范围.20．【普通高等学校招生全国统一考试伯乐马模拟考试】已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数存在3个零点，求实数的取值范围.21．【金科大联考高三5月质量检测】已知函数．（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）若，证明：函数在区间有且仅有一个零点．22．已知函数.（1）若，求函数的单调区间；（2）求证：对任意的，只有一个零点.23．已知函数.（1）当时，判断的单调性；（2）若有两个极值点，求实数的取值范围.24．已知函数.（1）求的单调性；8/8 （2）设函数，讨论的零点个数.25．已知函数，（1）讨论的单调性；（2）若，，，用表示，的最小值，记函数，，讨论函数的零点个数．26．已知（）（1）讨论的单调性；（2）当时，若在上恒成立，证明：的最小值为.27．已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若恒成立，求的最大值.28．已知函数．（1）若，证明：在单调递增；（2）若恒成立，求实数的取值范围．29．已知函数．（1）若在上为增函数，求实数a的取值范围；（2）设，若存在两条相互垂直的切线，求函数在区间上的最小值．30．已知函数.（1）如果函数在上单调递减，求的取值范围；（2）当时，讨论函数零点的个数.31．已知函数．（1）若在R上是减函数，求m的取值范围；8/8 （2）如果有一个极小值点和一个极大值点，求证有三个零点．32．已知函数．（1）若函数在上为增函数，求实数的取值范围；（2）当时，证明：函数有且仅有3个零点．8/8