高考数学方法技巧第20讲 平面向量共线定理（解析版）

第20讲平面向量共线定理【高考地位】随着向量在科学研究中的工具性应用，与它在社会生产生活中所起的巨大作用，所以近年来数学高考题中，命入了共线向量内容考题.在今后的高考试题中，共线向量必将增长态势.其在高考题型多以选择题、填空题出现，其试题难度属低中档题.方法一共线定理的代数运算万能模板内容使用场景共线条件求向量或条件解题模板第一步表示共线；第二步列出等式；第三步得出结论.例1、（1）已知向量，满足，，若与共线，则（）A．2B．4C．D．22【来源】湖南省高三数学模拟试题（黑卷）【答案】A【分析】先根据向量共线求解出的值，然后根据向量的模长以及数量积采用先平方再开根号的方法求解出的大小.【详解】因为与共线，所以，.又，，所以.故选：A.（2）在中，，D是上的点，若，则实数x的值为（）,A．B．C．D．【来源】全国卷地区“超级全能生”（丙卷）高三5月联考数学（理）试题【答案】D【分析】由得到，然后带入，进而得到，然后根据B，D，E三点共线，即可求出结果.【详解】解：∵，∴，∵，∴，∵B，D，E三点共线，∴，∴．故选：D．【变式演练1】已知向量满足，，，则（）A．或B．C．D．或【来源】安徽省合肥市第六中学高三下学期高考考前诊断暨预测卷理科数学试题【答案】D【分析】由共线向量定义可知，分别在和时求得结果即可.【详解】，又，，，当时，；当时，；或.故选：D.,【变式演练2】【湖北省武汉市武昌区高三下学期六月适应性考试】如图在中，，P为CD上一点，且满足，则实数m的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据平面向量共线基本定理,可设,结合向量的加法与减法运算,化简后由,即可求得参数的值.【详解】因为为上一点,设因为所以则由向量的加法与减法运算可得因为所以,解得,故选：B【点睛】本题考查了平面向量共线定理的应用,平面向量基本定理的应用,向量的加法与减法的线性运算,属于中档题.方法二建系设坐标处理共线问题万能模板内容使用场景共线，用已知向量表示未知向量解题模板第一步根据条件建立合适的坐标系；第二步用坐标合理的表示各个向量以及关系；第三步得出结论.例2【黑龙江省大庆一中高三高考数学（文科）三模】“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形中，满足“勾3股4弦5”，且，为上一点，.若，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】第一步：由题意建立如图所示的直角坐标系，,因为，，则，，.第二步：设，则，，因为，所以，解得，第三步：由，得，所以解得，所以.故选：C.【点睛】本题主要考查向量的坐标表示，考查向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.【变式演练3】如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．【答案】,【分析】可得，利用平面向量数量积的定义求得的值，然后以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，则点（其中），得出关于的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得的最小值.【详解】，，，，解得，以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，,∵，∴的坐标为,∵又∵,则，设，则（其中），，，，所以，当时，取得最小值.故答案为：；.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.,方法三几何法万能模板内容使用场景平面几何证明、求值等问题中的应用解题模板第一步将已知条件进行向量处理；第二步利用平面向量的运算法则和线性运算等性质进行求解；第三步得出结论.例3平面内有一个和一点，线段的中点分别为的中点分别为，设.（1）试用表示向量；（2）证明线段交于一点且互相平分.【答案】（1），，；（2）证明见解析.第一步，将已知条件进行向量处理；第二步，利用平面向量的运算法则和线性运算等性质进行求解；第三步，得出结论.【变式演练4】已知正六边形，､分别是对角线､上的点，使得，当,___________时，､､三点共线.【来源】上海市南模中学高三三模数学试题【答案】【分析】连结AD，交EC于G点，根据正六边形的性质，表示出，然后根据，表示成，由共线定理求得参数r的值.【详解】连结AD，交EC于G点，设正六边形边长为a，由正六边形的性质知，，，G点为EC的中点，且，则，又，（），则，，故，即若B、M、N三点共线，由共线定理知，，解得或（舍）故答案为：【点睛】,关键点点睛：本题的解题关键在于用向量表示，从而根据，把向量表示成，若B、M、N三点共线，由共线定理可以求得参数.【变式演练5】【甘肃省高三第二次高考诊断考试】如图，在中，是的中点，在边上，且，与交于点，若，则的值是（）A．B．C．D．3【答案】A【解析】【分析】先根据平面几何的关系求解与的等量关系，再根据平面向量的线性运算可将用以为基底向量的向量表达，再化简即可.【详解】过作交于.因为M是AC的中点，故是的中点，故是的中位线，故且.又，故，故且.故，故，，故.又，故，,即.化简得，所以.故选：A.【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算以及基底向量的用法，需要根据题意确定基底向量，再根据线性运算将已知向量转化为已知的基底向量表达，属于中档题.【反馈练习】1.【湖南省益阳市高三下学期5月高考模拟理科】已知向量与向量共线，则实数x的值为（）A．﹣B．或﹣C．D．或0【答案】B【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示可得，然后简单计算可得结果.【详解】由题可知：向量与向量共线所以则，所以或故选：B【点睛】本题考查根据向量共线求参数，重在考查计算，属基础题.2．【湖南省衡阳市第八中学高三下学期高考适应性考试】在中，D，E分别为，上的点，且，，若，则（）,A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】由平面向量的三角形法则和共线定理，可得，即可求出值，进而求出结果.【详解】由题意，作出草图，如下图所示：由平面向量的三角形法则和共线定理，可知，所以，，故.故选：A.【点睛】本题主要考查了平面向量的加法运算、共线定理和平面向量基本定理的应用，属于基础题.3．【陕西省西安市八校高三（6月份)高考数学（理科)联考】设是平面内两个不共线的向量，（a＞0，b＞0），若A，B，C三点共线，则的最小值是（）A．2B．4C．6D．8【答案】B【解析】【分析】根据三点共线，设，得，根据平面向量基本定理可知,，得到，之后根据已知两个正数的整式形式和为定值，求其分式形式和的最值的求解方法，利用基本不等式求得结果.【详解】因为，若三点共线，设，即,因为是平面内两个不共线向量，所以，解得，即，则，当且仅当，即，即时取等号，故最小值为4，故选：B.【点睛】该题考查的是有关向量与不等式的综合题，涉及到的知识点有平面向量共线的条件，利用基本不等式求最值，属于简单题目.4．【辽宁省盘锦市辽河油田第三高级中学高三下学期三模】在中，点在线段上，且，为的中点，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】利用向量的线性运算、加法、减法即可求解.【详解】,由题意可得，因为为的中点，所以，故.故选：A【点睛】本题考查平面向量的加法、减法以及线性运算，考查运算求解能力，属于基础题.5．【百校联盟TOP300八月尖子生联考（全国II卷)】在等腰梯形中，，，，为的中点，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】由平面向量的线性运算可表示为，，两式相加后化简，即可由表示.【详解】依题意得，，所以，，所以.故选：A.【点睛】本题考查了平面向量在几何中的简单应用，平面向量加法的线性运算，属于基础题.6．【河南省郑州市第一中学高三名校联考】设，分别为等差数列，的前n项和，且,.设点A是直线外一点，点P是直线上一点，且，则实数的取值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】由，结合数列的与的关系，分别求得，的通项公式，进而得到的值，再结合向量的共线定理，即可求解.【详解】由题意，，分别为等差数列，的前n项和，且，不妨取，，当时，，当时，，验证得当时上式成立，综上数列的通项公式为，同理可得，数列的通项公式为，则，又由点P在直线上，设，，即，.故选：B.【点睛】本题主要考查了等差数的通项公式及前项和公式的应用，以及向量共线定理的应用，其中解答中熟记数列中与的关系，求得数列的通项公式，以及共线向量的定理是解答的关键，着重考查推理与运算能力.7．【湖北省部分重点中学高三上学期第一次联考】点是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（）,A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】由向量的线性运算可得，即点在线段上，且,由三角形面积公式可得，得解.【详解】解：因为点是所在平面上一点，又，所以,即,即，则点在线段上，且,又，,又，即，所以点在线段上，且,，故选：C.【点睛】本题考查了向量的线性运算及三角形的面积公式，重点考查了运算能力，属中档题.8．【山东省烟台市高三适应性练习】窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境.从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等.如图，在平面直角坐标系中，为正八边形的中心，轴，现用如下方法等可能地确定点：点满足（其中且，），则点（异于点）落在坐标轴上的概率为（）,A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】写出所有可能结果，结合条件找到满足点（异于点）落在坐标轴上的结果，根据古典概率进行求解.【详解】由题意可知所有可能结果有：，共有28种；点（异于点）落在坐标轴上的结果有：，，共有8种；所以点（异于点）落在坐标轴上的概率为.故选：D.【点睛】本题主要考查古典概率的求解，求出所有基本事件及符合题意的基本事件是解题关键，侧重考查数学建模的核心素养.9．【黑龙江省哈尔滨市第三中学校高三第三次模拟】已知中，长为2的线段为,边上的高，满足：，且，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】分别在、上取点、，使得，连接、、，转化条件得，由平面向量加法的平行四边形法则可得，，结合平面几何的知识可得、分别为、的中点，，再由余弦定理即可得解.【详解】分别在、上取点、，使得，连接、、，如图所示：线段为边上的高，，，，，，由平面向量加法的平行四边形法则可得，，四边形为菱形，平分角，，，为的中点，、分别为、的中点，，又，点为的中点，即与点重合，在中，,.故选：D.【点睛】本题考查了平面向量数乘及加法的平行四边形法则的应用，考查了余弦定理的应用与运算求解能力，属于中档题.10．【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三下学期第三次模拟】已知M为的边的中点，N为内一点，且，则（）,A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】直接利用向量的线性运算的应用和三角形的面积公式的应用求出结果.【详解】因为，所以，所以∥，又因为M为边的中点，所以点到的距离等于点到的距离，所以,故选：B【点睛】本题考查向量的线性运算的应用，三角形的面积公式的运用，考查运算能力和转换能力，属于基础题.11．【福建省三明市高三毕业班质量检查测试】早在公元前十一世纪，周朝数学家商高就提出“勾三股四弦五”，《周髀算经》中曾有记载，大意为：“当直角三角形的两条直角边分别为（勾）和（股）时，径隅（弦）则为”，故勾股定理也称为商高定理.现有的三边满足“勾三股四弦五”，其中勾的长为，点在弦上的射影为点，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】,作出图形，计算出的值，然后利用平面向量数量积的定义可求得的值.【详解】如下图所示：由题意可知，，，则，，，所以，..故选：B.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面数量积定义的的应用，考查计算能力，属于基础题.12．【广东省广州市高三二模】如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E是BC的中点，F是AE上一点，2，则（　　）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】直接利用向量的三角形法则以及基本定理即可求得结论．【详解】由梯形ABCD中，ABCD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E是BC的中点，F是AE上一点，2，,则；故选：C【点睛】本题考查向量的三角法则、平面向量基本定理，属于基础题.13．【新疆普通高考高三第二次适应性检测】设M是所在平面上的一点，，D是的中点，，则实数t的值为（）A．B．C．2D．1【答案】B【解析】【分析】由D是的中点，可得，由于，从而得，所以，可求得t的值.【详解】解：因为D是的中点，所以，又因为，所以，所以，因为，所以，故选：B【点睛】此题考查了向量的平行四边形法则、向量形式的中点坐标公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.14．【河南省濮阳市高三第二次模拟考试】已知中，点M在线段上，,，且.若，则（）A．B．C．27D．18【答案】C【解析】【分析】依题意，得，而A，B，M三点共线，所以.以C为原点，为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设，，根据条件可得，，再由，可建立关于的方程，可求出，从而得出答案.【详解】依题意，得，而A，B，M三点共线，所以.以C为原点，为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设，，则，由，则，又，则.由于，即，所以解得所以，所以.故选：C,【点睛】本题考查三点共线的充要条件、平面向量的基本定理、向量的坐标表示，考查直观想象、数学建模的核心素养，属于中档题.15．已知向量和不共线，向量，，，若､､三点共线，则（）A．3B．2C．1D．【来源】百师联盟高三冲刺卷（二）新高考卷数学试题【答案】A【分析】根据A、B、D共线的条件得到，进而得到，根据平面向量基本定理中的分解唯一性，得到关于的方程组，求解即得.【详解】因为､､三点共线，所以存在实数λ，使得，，所以，∴，解得.故选：A.16．设，是两个不共线的平面向量，若，，且与共线，则实数的值为（）A．B．C．D．【来源】江苏省盐城中学高三下学期仿真模拟数学试题【答案】C【分析】由向量共线列方程，求出k.【详解】由与共线，即，,所以有=，所以，消去可得，则．故选：C．17．已知，是两个不共线的非零向量，若，则实数（）A．B．C．D．【来源】四川省成都市蓉城名校联盟高三第三次联考理科数学试题【答案】A【分析】根据向量共线定理可求出结果.【详解】因为，所以存在，使得，所以，又因为是两个不共线的非零向量，所以，解得故选：A18．在四边形中，，设(，).若，则（）A．B．C．D．【来源】陕西省西安中学高三高考模拟数学（文）试题（三）【答案】C【分析】根据共线向量的性质，结合平面向量加法的运算法则进行求解即可.【详解】解：∵，∴设，则，，∵，,∴，∵，∴，即，即，故选：C.19．在中，，是上一点，若，则实数的值为（）A．B．C．D．【来源】天一大联考高中毕业班阶段性测试（五）数学试卷（新高考版A卷）试题【答案】C【分析】由平面向量的线性运算法则和向量的基本定理，化简得，根据，，三点共线，列出方程，即可求解．【详解】由平面向量的线性运算法则和向量的基本定理，可得：，因为，，三点共线，所以，解得．故选：C.20.在三角形ABC中，E､F分别为AC､AB上的点，BE与CF交于点Q且，，AQ交BC于点D，，则的值为（）A．3B．4C．5D．6【来源】陕西省宝鸡市千阳中学高三下学期5月预测题数学（理）试题【答案】C【分析】由题得，，求出的值，再根据，共线，得解.【详解】,因为三点共线，所以,因为三点共线，所以,所以所以所以，因为共线，所以.故选：C【点睛】结论点睛：如果三点共线，则，要根据已知条件灵活运用这个结论解题.21.（多选）如图，已知点是上三个不同定点，Q为弦的中点，是劣弧上异于的一系列动点，连接交于，点满足，其中数列是首项为1的正项数列，是数列的前n项和，则下列结论正确的是（）A．数列是等比数列B．C．D．【来源】山东省济宁市任城区任兴高中联盟高三上学期1月联考数学试题【答案】AB【分析】,由平面向量线性运算和向量共线可得到，由此可确定递推关系式，得到，进而得数列是等比数列可判断A选项；利用等比数列通项公式求得，可确定BC正误；利用分组求和法，结合等比数列求和公式可求得，知D错误.【详解】解：因为Q为弦的中点，所以，所以，因为三点共线，所以，又因为，所以，所以，消去得，所以，即，所以数列是等比数列，公比为，首项为，故A选项正确；所以，故，所以，故B选项正确，C选项错误；此时数列的前n项和，故D选项错误.故选：AB【点睛】关键点点睛：本题考查数列与向量的综合应用问题，解题关键是能够根据平面向量的线性运算和向量共线的性质推导得到数列的递推关系式，由此构造出所需的等比数列进行求解.22．【江苏省高三下学期6月高考押题】如图，在平行四边形中，分别为的中点，与交于点.若，则的余弦值为____________.【答案】,【解析】【分析】设，，确定点位置，又，将其它向量全部用基底表示出来，再化简可得答案.【详解】设，，则，，得，，又，得，则，得，得，，设则，由，有得，得.故答案为：【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，向量共线的应用，平面向量数量积的运算，考查了学生分析能力，运算能力，难度较大.23.【山东省普通高等学校招生全国统一考试数学试题模拟卷】在中，，，，为边上的高．若，则________．【答案】【解析】【分析】根据题意画出图象，根据条件求出，从而可得出，根据向量加法的几何意义并进行向量的数乘运算得出，从而根据平面向量基本定理求出，的值，即可求得答案．【详解】,根据题意画出图象，如图为边上的高，，，则，，．又，，，故．故答案为：．【点睛】本题解题关键是掌握向量的线性表示，根据系数相等求参数的方法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题．24．设向量不共线，向量与平行，则实数__________．【来源】解密09平面向量（讲义）-【高频考点解密】高考数学（理）二轮复习讲义分层训练【答案】【分析】直接利用向量共线的条件列方程求值即可.【详解】∵与平行向量不共线，∴存在实数k使得=k（）=k+4k，,∴故答案为：．25．设是不共线的向量，若三点共线，则的值为__________．【答案】【分析】依题意可得可以作为平面内一组基底，根据三点共线，所以，即可求出参数的值；【详解】解：因为是不共线的向量，所以可以作为平面内一组基底，因为，所以，因为三点共线，所以，所以，解得故答案为：26．如图所示，在直角梯形ABCD中，已知，，，，M为BD的中点，设P、Q分别为线段AB、CD上的动点，若P、M、Q三点共线，则的最大值为__.【答案】【分析】建立直角坐标系，设，，由P、M、Q三点共线，设，求得，代入计算知，构造函数，，结合函数的单调性求得最值.【详解】如图所示，建立直角坐标系，则，，，，，又Q是线段CD上的动点，设，,则，可得设，，由P、M、Q三点共线，设利用向量相等消去可得：，令，，则在上单调递减，故当时，取得最大值故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查向量的坐标运算，求解向量坐标运算问题的一般思路：向量的坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算可用坐标进行，实现了向量坐标运算完全代数化，将数与形紧密的结合起来，建立直角坐标系，使几何问题转化为数数量运算，考查学生的逻辑思维与运算能力，属于较难题.27．已知向量，满足，．若，且，则的最大值为______．【来源】浙江省高三高考数学压轴卷试题【答案】【分析】令，，利用已知作出以为直径作直角三角形的外接圆，令，连接．设，由已知点在直线上，,【详解】令，，则，故，又，所以．以为直径作直角三角形的外接圆，进而得出当时，即取得最大值．令，连接．设，因为，所以点在直线上，又，所以，即，所以．结合图形可知，当时，即取得最大值，且．故答案为：28．已知的重心为G，过G点的直线与边AB和AC的交点分别为M和N，若，则与的面积之比为________.【来源】山西省太原市高三上学期期末数学（文）试题【答案】【分析】利用重心的性质，把AG用AM、AN表示，再由M，G，N三点共线求出与的关系，再由三角形面积公式即可求解.【详解】解：如图所示：设，G为的重心，,，又三点共线，，解得：，故，.故答案为：.29．如图，在平行四边形中，分别为的中点，与交于点.若，则的余弦值为____________.【答案】【分析】设，，确定点位置，又，将其它向量全部用基底表示出来，再化简可得答案.【详解】设，，则，，得，，又，得，则，得，得，，设则，由，,有得，得.故答案为：【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，向量共线的应用，平面向量数量积的运算，考查了学生分析能力，运算能力，难度较大.