福建省福州市城门中学2023-2024学年高一上学期数学期末考试卷（解析版）

高一数学上册期末复习试题（含答案）一、选择题U{1,2,3,4,5}A={2,4}B{3,4}AðUB1.已知全集，集合，，则（）A.{2，3，4}B.{1，2，4，5}C.{2，5}D.{2}【答案】B【解析】【分析】根据补集的定义求出ðUB，再利用并集的定义求解即可.【详解】因为全集U{1,2,3,4,5}，B{3,4}，所以ðUB{1,2,5}，又因为集合A={2,4}，所以AðUB{1,2,4,5}，故选：B.2.sin1080（）1A.B.1C.0D.﹣12【答案】C【解析】【分析】直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数求解即可．【详解】sin(1080)sin33600sin00．故选：C．3.命题“xR，2xx10”的否定为（）A.xR，22xx10B.xR，xx10C.xR，22xx10D.xR，xx10【答案】C【解析】第1页/共21页学科网（北京）股份有限公司 【分析】由全称命题的否定是特称命题可得答案.【详解】根据全称命题的否定是特称命题，所以“xR，22xx10”的否定为“xR，xx10”.故选：C.4.已知alge，bln0.8，0.1c2，则（）A.abcB.bacC.c<a<bD.b<c<a【答案】B【解析】【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出a,b,c的取值范围，从而可得结果【详解】因为0lg1lgelg101，0a1，ln0.8ln10，b0，0.10c221，所以bac．故选：B．【点睛】本题考查了指数对数的比较大小的问题，比较大小的方法有：（1）根据单调性比较大小；（2）作差法比较大小；（3）作商法比较大小；（4）中间量法比较大小.15.已知集合Ay∣ylog2x,x2，By∣yx,x2，则AB（）2111A.0,B.(0,1)C.,D.,1444【答案】D【解析】【分析】第2页/共21页学科网（北京）股份有限公司 利用对数函数与指数函数的性质化简集合A,B，再根据集合交集的定义求解即可．x11【详解】因为x2log2x1，x2，24所以Ay∣ylog2x,x2{y|y1}，11By∣y,x2y|y，x2411则ABy|y1,1，44故选：D．26.已知幂函数yf(x)的图像过点2,，则下列关于f(x)说法正确的是（）2A.奇函数B.偶函数C.定义域为[0,)D.在(0,)单调递减【答案】D【解析】【分析】设出幂函数的解析式，将所过点坐标代入，即可求出该函数.再根据幂函数的性质的结论，选出正确选项.2【详解】设幂函数为fxx,R，因为函数过点2,，2121所以222，则，221所以fxx2，该函数定义域为(0,)，则其既不是奇函数也不是偶函数，1且由0可知，该幂函数在(0,)单调递减.2故选：D.x3x7.已知函数f(x)log3x3x，g(x)33x，h(x)x3x的零点分别x1，x2，3，则x1，x2，x3的大小关系为（）A.x2x3x1B.x1x2x3C.x2x1x3D.x3x2x1第3页/共21页学科网（北京）股份有限公司 【答案】A【解析】【分析】先判断出三个函数的单调性，再分别判断三个函数函数值的正负情况，得出零点的值或范围，即可得到答案．x3【详解】解：因为函数f(x)log3x3x，g(x)33x，h(x)x3x，所以函数f(x)，g(x)，h(x)均为增函数，xx0当x0时，g(x)33x0恒成立，故g(x)的零点小于0，即2，11当x1时，f(x)log3x3x0恒成立，当x时，f(x)0，所以x1，33当x0时，h(x)0，故x30，故x2x3x1．故选：A．28.“不等式mxxm0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是（）11A.mB.0m1C.mD.m124【答案】C【解析】【分析】先计算已知条件的等价范围，再利用充分条件和必要条件的定义逐一判断即可.2【详解】因为“不等式mx+xm0在R上恒成立”，所以当m0时，原不等式为x>0在R上不是恒成立的，所以m0，m>012m.所以“不等式mx+xm0在R上恒成立”，等价于2，解得14m02A选项是充要条件，不成立；1B选项中，m不可推导出0m1，B不成立；2111111C选项中，m可推导m，且m不可推导m，故m是m的必要不充分条件，正确；244242111D选项中，m1可推导m>，且m>不可推导m1，故m>1是m的充分不必要条件，D不正222确.第4页/共21页学科网（北京）股份有限公司 故选：C.【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p是q的必要不充分条件，则q对应集合是p对应集合的真子集；（2）p是q的充分不必要条件，则p对应集合是q对应集合的真子集；（3）p是q的充分必要条件，则p对应集合与q对应集合相等；（4）p是q的既不充分又不必要条件，q对的集合与p对应集合互不包含．二、多选题9.下列四个命题中正确的命题是（）1A.cos48022B.函数fx2x2x3在0,上单调递增C.44cossincos2baD.当ab0时恒有2ab【答案】BC【解析】【分析】根据特殊角对应的三角函数值，以及诱导公式，可判断A错；根据二次函数的性质，可判断B正确；根据二倍角的余弦公式，可判断C正确；根据特殊值法，可判断D错.1【详解】A选项，cos480cos360120cos120，故A错；221B选项，函数fx2x2x3是开口向上，且对称轴为x的二次函数，所以其在0,上单调2递增；故B正确；44222222C选项，cossincossincossincossincos2，故C正确；baD选项，当a1，b=-1时，满足ab0，但此时2，故D错.ab故选：BC.10.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学(一个数学分支)里一个非常重要的定理，简单的讲就是对于满足一定条件的图象为连续不断的函数fx，存在一个点x0，使得fx0x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（）第5页/共21页学科网（北京）股份有限公司 1A.fxx1B.fxx，x0xC.fxx2x3D.fxlog1x2【答案】BD【解析】【分析】对于ABC：通过解方程fx0x0可得答案；对于D，通过作出两个函数的图象可得答案.【详解】四个选项中的函数的图象显然都是连续不断的，对于A：当x01x0时，该方程无解，故A不满足；12对于B：当x0x0，x00时，解得x，故B满足；x02022对于C：当x0x03x0，即x0120时，无实数根，故C不满足；对于D；画出fxlog1x与yx的图象显然有交点，即存在一个点x0，使得fx0x0，故D满足；2综上，BD均满足.故选：BD【点睛】关键点点睛：利用“不动点”函数的定义求解是解题关键.11.已知函数fxAsinxA0,0,0的最小正周期为4，其图象的一个最高点为1A,2，下列结论正确的是（）34A.yfx图象的一个对称中心为,03B.yfx的图象关于x1对称C.若fx1fx24，则x1x2的最小值为211D.将fx图象上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到hx图象；再将hx图象向右平移个26第6页/共21页学科网（北京）股份有限公司 单位长度，得到函数y2sinx的图象6【答案】ACD【解析】【分析】根据函数的周期，求出，再由函数的最高点求出A和，得到fx2sinx；根据正弦函数23的对称性，由选项代入验证，可判断A正确，B错；根据函数周期性，可判断C正确；根据三角函数图象变换的原则，可判断D正确.21【详解】由已知4，，A2，2sin2，2k，kZ，又0，2233∴，∴fx2sinx.3232对于A，令xk，则x2k，kZ，23344当k1时，x，故函数图象的一个对称中心为,0，故A正确.335对于B，在fx中，令x1，xk，kZ，B错.2362对于C，因为fxmax2，fxmin2，又因为fx1fx24，所以x1x2的最小值为半个周期，即2，故C正确.1对于D，将fx图象上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得hx2sinx，再将hx2311图象向右平移个单位长度，得图象的解析式为y2sinx2sinx，D正确.6636故选：ACD.logx,0x9312.已知函数fx，若fafbfcfd，且abcd，2sinx,9x1744则（）A.ab1第7页/共21页学科网（北京）股份有限公司 B.cd26C.abcd的取值范围是153,165316D.abcd的取值范围是28,9【答案】ACD【解析】【分析】作出函数fx的图象，利用对数的运算性质可判断A选项的正误，利用正弦型函数的对称性可判断B选项的正误；利用二次函数的基本性质可判断C选项的正误；利用双勾函数的单调性可判断D选项的正误.1【详解】由log3x2可得2log3x2，解得x9.9作出函数fx的图象如下图所示：1由图象可得a1b9c1115d17，9由log3alog3b，可得log3alog3b，即log3alog3blog3ab0，得ab1，A选项正确；x令kkZ，解得x4k1kZ，442当x9,17时，令94k117，解得2k4，由于kZ，k3，x所以，函数y2sinx9,17的图象关于直线x13对称，44则点c,fc、d,fd关于直线x13对称，可得cd26，B选项错误；2abcdc26cc13169153,165，C选项正确；11abcda26，下面证明函数yx在0,1上为减函数，ax任取x1、x20,1且x1x2，则第8页/共21页学科网（北京）股份有限公司 1111x2x1x1x2x1x21y1y2x1x2x1x2x1x2，xxxxxxxx121212120xx1，则xx0，0xx1，所以，yy，121212121所以，函数yx在0,1上为减函数，x11316a1，则abcda2628,，D选项正确.9a9故选：ACD.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.三、填空题13.已知5a3b，32则log510ab___________.【答案】1【解析】【分析】先把a、b用对数表示出来，再借助于换底公式计算ab，然后计算log510ab即可．【详解】∵5a3，∴alog53，同理blog32．log25∴ablog53log32log53log52，log3510∴log10ab=log10log2=log=log5=1．555552故答案为：1．【点睛】对数运算技巧：(1)应用常用对数值；(2)灵活应用对数的运算性质；(3)逆用法则、公式；(4)应用换底公式，化为同底结构．第9页/共21页学科网（北京）股份有限公司 414.当=___________时，函数fxsinx在区间,上单调(写出一个值即可).335【答案】（集合{2k或2k,kZ}中的任何一个值都行）666【解析】【分析】4由函数的周期，和区间长度可以确定和是单调区间的端点值，由此列式，求值.3344【详解】fx的周期是2，而区间,的长度是个单位长度，则,一个周期内完整的3333一个单调增区间或减区间，44当x时，x，33332k325所以，解得：2k,kZ，42k6322k32或，解得：2k，kZ，432k632所以其中一个，65故答案为：（集合{2k或2k,kZ}中的任何一个值都行）6664【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的性质，求参数的取值范围，本题的关键是确定和是单调33区间的端点值，列式后就比较容易求解.15.某单位要租地建仓库，已知每月土地费用与仓库到码头的距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到码头的距离成正比.经测算，若在距离码头10km处建仓库，则每月的土地费用和运输费用分别为2万元和8万元.那么两项费用之和的最小值是___________万元.【答案】8【解析】【分析】由题意求出土地费用与运输费用，作和求出总费用与距离的函数解析式，利用基本不等式可求得两项费用第10页/共21页学科网（北京）股份有限公司 之和的最小值.ky，运输费用为y，于是1【详解】设仓库与车站距离为x，土地费用为12y1,y2k2x,xk12410，解得k20,k，12810k52204204x204x设总费用为y，则yx28，当且仅当即x5时取等号，x5x5x5两项费用之和的最小值是8万元.故答案为：812x,0x1,x16.已知函数fx若方程fxaaR有两个不同的实根x1,x2，且满足3x3,x>1.2212xx，则实数a的取值范围为___________.12239【答案】,2【解析】【分析】首先画出函数图象，结合函数图象可得a22，对a3和a3分类讨论，当a3时，ya分别与12xa11331x1y2x、yx有交点，设x1x2，则0x1,x21由消去a得x22233xa222233122x11x1x2x10，再根据x1x2，即可求出x1的取值范围，从而求出fx1的取值范围，2223即可求出参数a的取值范围；12x,0x1,x【详解】解：因为fx，函数图象如下所示：3x3,x>1.22第11页/共21页学科网（北京）股份有限公司 112当0x1时，fx2x，由图可知当2x即x时，函数取得最小值fx22，又minxx21f13，f32当a22时，方程fxaaR才有两个不同的实根，当a3时，方程fxaaR有两个不112xa2xx，不符题意，同的实根，即有两个解，即2xax10有两个根，此时12x212xa11331x1当a3时，ya分别与y2x、yx有交点，设x1x2，则0x1,x21由x22233xa22223342212消去a得2x1xxx0，所以xxxx，因为xx，所以1121121112223323142221111xx，解得0x，或x1，又因为0x，所以0x，由函数图11111123334224119象可知fx在0,上单调递减，又f44299所以fx1,，故a,229故答案为：,2第12页/共21页学科网（北京）股份有限公司 【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．四、解答题17.设函数fx2sin2x，xR．3（1）求函数fx的最小正周期；（2）求使函数fx取最大值时自变量x的集合．【答案】（1）；（2）xxk,kZ.12【解析】【分析】（1）利用周期公式即可求出f（x）的最小正周期；（2）根据正弦函数的性质确定出f（x）的最大值，以及此时x的值即可．2【详解】（1）fx的最小正周期为T；2（2）依题意得，2x2k，kZ，解得xk，kZ．3212所以函数fx取最大值时自变量x的集合xxk,kZ．1218.在①AB，②AðRBA，③ABA这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并求解下列问题：已知集合Ax|a1x2a3，Bx|7x4，若________，求实数a的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】答案见解析【解析】【分析】若选择①，AB，则当A，构造不等式，解得a的范围；若选择②，AðRBA，得到A是ðRB的子集，构造不等式，解得a的范围；若选择③，ABA．可得AB，构造不等式，第13页/共21页学科网（北京）股份有限公司 解得a的范围.【详解】若选择①，AB，则当A，满足AB，即a12a3，解得a4，满足题意；当a4时，a4，a4，应满足或2a37，a14，解得a5．综上，实数a的取值范围是，45，．若选择②，AðRBA，则A是ðRB的子集，ðRB，74，.当a12a3，即a4时，A，满足题意；当a4时，a4，a4，满足或2a37，a14，解得a5.综上，实数a的取值范围是，45，．若选择③，ABA．则AB，当a12a3，即a4时，A，满足题意；a17，当a4时，应满足2a34，1解得6a2.1综上，实数a的取值范围是，．2ax1,x019.已知函数fx．logx,x02第14页/共21页学科网（北京）股份有限公司 （1）当a2时，在给定的平面直角坐标系中作出函数fx的图象，并写出它的单调递减区间；（2）若fx02，求实数x0．11【答案】（1）图像见解析，,0和0,1；（2）当a0时，x04或x0；当a<0时，x0或x044a1或x.04【解析】【分析】（1）将a2代入，由对数函数图象以及一次函数图象即可作出fx的图象，结合图象写出单调区间即可.（2）根据分段函数，讨论x0、a的取值，解方程即可求解.2x1,x0【详解】（1）当a2时，fx，图象如下图所示，logx,x02由图可知fx的单调递减区间为,0和0,1.（2）依题意，当x00时，ax012，即ax01，第15页/共21页学科网（北京）股份有限公司 1若a0，方程无解；若a<0，得x；0a1当x00时，log2x2，即log2x02，解得x04或x0.41综上所述，当a0时，x04或x0；411当a<0时，x0或x04或x0.a4220已知函数fxax2x3aR..（1）当a1时，求不等式fx0的解集；（2）解不等式fx0.【答案】（1）x|1x3（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解法解出即可；（2）分类讨论，分a0,a0,a0三种情况讨论求出解集.【小问1详解】2当a1时，fxx2x3．∵fx0，即2x2x30，2∴x2x30.设方程2x，x，则x3x10，x2x30的两根分别为12解得x11，x23，∴不等式的解为1x3，∴函数fx0的解集为x|1x3．【小问2详解】由题意，得2ax2x30，3①当a0时，不等式化为2x30，解得x；2②当a0时，开口向上，此时412a，第16页/共21页学科网（北京）股份有限公司 1a时，方程2（i）Δ0，即ax2x30无解，不等式解集为R；31a时，方程2（ii）Δ0，即ax2x30有唯一解x3，3不等式解集为x|x3；10a时，方程2（iii）Δ0，即ax2x30有两解，3113a113ax，x，且x1x2，12aa113a113a则不等式解集为{x|x或x}．aa③a<0时，开口向下，此时412a，2显然0，方程ax2x30有两解，113a113ax，x，且x1x2，12aa113a113a不等式解集为x|x．aa综上所述，113a113a当a<0时，不等式解集为x|x；aa3当a0时，不等式解集为xx；21113a113a当0a时，不等式解集为{x|x或x}；3aa1当a时，不等式解集为x|x3；31当a时，不等式解集为R．321.生物学家认为，睡眠中的恒温动物依然会消耗体内能量，主要是为了保持体温．脉搏率f是单位时间心跳的次数，医学研究发现，动物的体重W（单位：g）与脉搏率f存在着一定的关系．表1给出一些动物体重与脉搏率对应的数据，图1画出了体重W与脉搏率f的散点图，图2画出了lgW与lgf的散点图．动物名体重脉搏率第17页/共21页学科网（北京）股份有限公司 鼠25670大鼠200420豚鼠300300兔2000200小狗5000120大狗3000085羊5000070表1为了较好地描述体重和脉搏率的关系，现有以下两种模型供选择：①fkWb②lgfklgWb（1）选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；（2）不妨取表1中豚鼠和兔的体重脉搏率数据代入所选函数模型，求出f关于W的函数解析式；第18页/共21页学科网（北京）股份有限公司 （3）若马的体重是兔的256倍，根据（2）的结论，预计马的脉搏率．（参考数据：lg20.3，lg30.5．）251【答案】（1）模型②lgfklgWb最符合实际，理由见解析；（2）f108W4；（3）50.【解析】【分析】（1）由散点图呈现的图形特征与两个模型代表的曲线形状的匹配程度，得解；（2）将表1中的豚鼠和兔的数据分别代入（1）中得到模型，解出k，b的值，即可得解；W1（3）设马的体重和脉搏率分别为W1，f1，设兔的体重和脉搏率为W2，f2，先写出的值，再结合指数W2f1运算求出的值，即可.f2【详解】（1）模型②lgfklgWb最符合实际根据散点图的特征，图2基本上呈直线形式，所以可以选择一次函数来刻画lgW和lgf的关系.lg300klg300b（2）由题意知，lg200klg2000b因为lg200lg222.3，lg2000lg233.3，lg300lg322.5.1k4lgW25解得，即lgf，b25488251所以f关于W的函数解析式为f108W4.W1（3）设马的体重和脉搏率为W1，f1，设兔的体重和脉搏率为W2，f2，由题意256，W2114411f1W1W184125642，1fW4242W2因为f2200，则f150，即马的脉搏率为50.【点睛】思路点睛：一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．第19页/共21页学科网（北京）股份有限公司 xx22.已知函数fxeae，其中e是自然对数的底数，aR．（1）若函数yfx在区间1,内有零点，求a的取值范围；x（2）当a4时，x0,，mfxe3m，求实数m的取值范围．24【答案】（1）,e；（2）,.7【解析】【分析】（1）解法①：讨论a0或a<0，判断函数的单调性，利用零点存在性定理即可求解；解法②：将xx2x问题转化为eae0在区间1,上有解，即eae有解，讨论a0或a<0解方程即可求解.xxexe（2）解法①：分离参数可得m，令et，t1,，求出的最大值即可xxxxe4e3e4e32xxx求解；解法②：不等式转化为me3me4m10恒成立，令et，t1,，可得函数2ftmt3mt4m1，t1,，讨论m0或m0即可求解.xxx【详解】（1）解法①：当a0时，fxeaee0，没有零点；当a<0时，函数yfx是增函数，a则需要f1e0，解得2ae.elnalna2flnaeaea1e0，满足零点存在定理f1flna0.因此函数yfx在区间1,内有一个零点2综上所述，a的取值范围为,e.xx解法②：yfx的零点就是方程eae0的解，xx即eae0在区间1,上有解xx2x方程eae0变形得ea，当a0时，方程无解，lnalna2当a<0时，解为x，则1，解得ae，22第20页/共21页学科网（北京）股份有限公司 2综上所述，a的取值范围为,exxxxxx（2）解法①由题意知，me4ee3m，即me4e3exe因为ex4ex32ex4ex31，则m，xxe4e3xe1又，xx2xxe4e3e3e4x令et，t1,，11142xx223则e3e4t3t4377（当且仅当t时等号成立），t22444所以m，即m的取值范围是,.77解法②由题意知，mex4exex3m，即2xxme3me4m10，x2令et，t1,，即mt3mt4m10，当m0时，显然不成立，因此m0.2对于函数ftmt3mt4m1，t1,，37mftf1，min247m44则10，解得m，即mm的取值范围是,.477第21页/共21页学科网（北京）股份有限公司