福建省 2021-2022学年高一上学期数学期末考试卷（解析版）

高一数学试卷试卷120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列函数中，周期为的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】对于A、B：直接求出周期；对于C：先用二倍角公式化简，再求其周期；对于D：不是周期函数，即可判断.【详解】对于A：的周期为，故A错误；对于B：的周期为，故B错误；对于C：，所以其周期为，故C正确；对于D：不是周期函数，没有最小正周期，故D错误.故选：C2.函数的单调递增区间为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】 由解出范围即可.【详解】由，可得，所以函数的单调递增区间为，故选C.3.函数的部分图象如图所示，则可能是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先根据函数图象，求出和，进而求出，代入特殊点坐标，求出，，得到正确答案.【详解】由图象可知：，且，所以，不妨设：，将代入得：，即，，解得：，，当时，，故A正确，其他选项均不合要求.故选：A4.已知角的终边在射线上，则的值为（）A.B. C.D.【答案】A【解析】【分析】求三角函数值不妨作图说明，直截了当.【详解】依题意，作图如下：假设直线的倾斜角为，则角的终边为射线OA，在第四象限，，，，用同角关系：，得；∴；故选：A.5.函数的图象大致是（）A.B. C.D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性和正负性，运用排除法进行判断即可.【详解】因为，所以函数是偶函数，其图象关于纵轴对称，故排除C、D两个选项；显然，故排除A，故选：B6.已知，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式及正弦函数的单调性可判断的大小，利用正切函数的单调性可判断的范围，从而可得正确的选项.【详解】，，因为，故，而，因为，故，故，综上，，故选：A 7.已知，则（）A.B.C.2D.【答案】B【解析】【分析】先求出，再求出，最后可求.【详解】因为，故，因为，故，而，故，所以，故，所以，故选：B8.我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法“三斜求积术”，即的面积，其中分别为的内角的对边，若，且，则的面积的最大值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先根据求出关系，代入面积公式，利用二次函数的知识求解最值.【详解】因为，所以， 即；由正弦定理可得，所以；当时，取到最大值.故选：A.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.下列说法正确的有（）A.若，则为第二象限角B.经过60分钟，钟表的分针转过弧度C.D.终边在轴上的角的集合是【答案】ABD【解析】【分析】根据三角函数的定义可判断A的正误，根据角的概念可判断BD的正误，根据两角和的正弦可判断C的正误.【详解】因，则为第二象限角，故A正确.经过60分钟，钟表的分针顺时针转一周，故对应的角为弧度，故B正确.，故C错误.终边在轴上的角的集合是，故D正确.故选：ABD.10.已知，则（） A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】结合三角恒等变换化简已知条件，然后对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】依题意，，，，，所以或，，或，（舍去），或，所以，，.所以A选项错误，BCD选项正确.故选：BCD11.若将函数图象先向右平移个单位长度，再将所得的图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则（）A.的最小正周期为B.图象的一个对称中心为 C.的值域为D.图象的一条对称轴方程为【答案】BD【解析】【分析】先求得的解析式，然后对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】将函数的图象先向右平移个单位长度得到，再将所得的图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数.所以的最小正周期为，A选项错误.，B选项正确.的值域为，C选项错误.，D选项正确.故选：BD12.定义：实数满足，则称比远离.已知函数的定义域为，任取等于和中远离0的那个值，则（）A.是偶函数B.的值域为C.在上单调递增D.在上单调递减 【答案】AD【解析】【分析】先求得的解析式，然后对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】依题意函数的定义域为，，，两边平方并化简得，，由于，所以，，解得或，解得，或，或，或.同理，由解得或.设，设，，由于则；则，，故，所以为偶函数，A选项正确.由于，所以、，所以B选项错误.由上述分析可知，，，而， 所以在区间不是单调函数，C选项错误.，，区间上递减，D选项正确.故选：AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若扇形的面积为，半径为1，则扇形的圆心角为___________.【答案】【解析】【分析】直接根据扇形的面积公式计算可得答案．【详解】设扇形的圆心角为，因为扇形的面积为，半径为1，所以．解得，故答案为：．14.已知，则__________.【答案】##【解析】【分析】首先根据同角三角函数的基本关系求出，再利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得；【详解】解：因为，所以，所以 故答案为：15.若在内有两个不同的实数值满足等式，则实数k的取值范围是_______．【答案】【解析】【分析】讨论函数在的单调性即可得解.【详解】函数，时，单调递增，时，单调递减，，，，所以在内有两个不同的实数值满足等式，则，所以.故答案为：16.在平面四边形中，，若，则__________.【答案】##1.5【解析】【分析】设，在中，可知，在中，可得，由正弦定理，可得答案. 【详解】设，在中，，，，在中，，，，，由正弦定理得：，得，.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边经过点，且.（1）求实数的值；（2）若，求的值.【答案】（1）或（2） 【解析】【分析】（1）利用三角函数定义可求的值.（2）利用诱导公式可求三角函数式的值.【小问1详解】由题意可得，所以，整理得，解得或.【小问2详解】因为，所以由（1）可得，所以，所以.18.设函数.（1）求的单调增区间；（2）求在上的最大值与最小值.【答案】（1）（2）最大值为2，最小值为【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简可得，根据正弦型函数的单调性计算即可得出结果.（2）由得，利用正弦函数的图像和性质计算即可得出结果.【小问1详解】 令，得，所以的单调增区间为【小问2详解】由得，所以当，即时，取最大值2；当，即时，取最小值.19.设在区间单调，且都有（1）求的解析式；（2）用“五点法”作出在的简图，并写出函数在的所有零点之和.【答案】（1）（2）图象见解析，所有零点之和为 【解析】【分析】（1）依题意在时取最大值，在时取最小值，再根据函数在单调，即可得到，即可求出，再根据函数在取得最大值求出，即可求出函数解析式；（2）列出表格画出函数图象，再根据函数的对称性求出零点和；【小问1详解】解：依题意在时取最大值，在时取最小值，又函数在区间单调，所以，即，又，所以，由得，即，又因为，所以，，所以.【小问2详解】解：列表如下0001所以函数图象如下所示： 由图知的一条对称轴为有两个实数根，记为，则由对称性知，所以所有实根之和为.20.在①；②.请在上述两个条件中任选一个，补充在下面题目中，然后解答补充完整的问题.在中，角所对的边分别为，__________.（1）求角；（2）求的取值范围.【答案】（1）条件选择见解析，（2）【解析】【分析】（1）若选①，由正弦定理得，即可求出；若选②，由正弦定理得，即可求出.（2）用正弦定理得表示出，，得到，利用三角函数求出的取值范围.【小问1详解】若选①，则由正弦定理得，因为，所以，所以，所以，又因为，所以，所以，即.若选②，则由正弦定理得，所以，所以， 因为，所以，所以，又因为，所以.【小问2详解】由正弦定理得，所以，同理，由，故，所以由，所以，所以，所以的取值范围是.21.某兴趣小组要测量钟楼的高度（单位：）.如示意图，垂直放置的标杆的高度为，仰角. （1）该小组已测得一组的值，算出了，请据此算出的值（精确到）；（2）该小组分析测得的数据后，认为适当调整标杆到钟楼的距离（单位：），使与之差较大，可以提高测量精度.若钟楼的实际高度为，试问为多少时，最大？【答案】（1）约为（2）为时，最大【解析】【分析】（1）运用正切三角函数建立等式，再结合题中数据可求解；（2）由，得到，再运用基本不等式求解.【小问1详解】由得，同理，.因为，所以，解得.因此，算出钟楼的高度约为.【小问2详解】由题设知，得， 又，当且仅当时，取等号，故当时，最大.因为，则，所以当时，最大，故所求的是.22.英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，此公式有广泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：当时，，.（1）证明：当时，；（2）设，若区间满足当定义域为时，值域也为，则称为的“和谐区间”.（i）时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由；（ii）时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）（i）不存在“和谐区间”，理由见解析（ii）存在，有唯一的“和谐区间” 【解析】【分析】（1）利用来证得结论成立.（2）（i）通过证明方程只有一个实根来判断出此时不存在“和谐区间”.（ii）对的取值进行分类讨论，结合的单调性以及（1）的结论求得唯一的“和谐区间”.【小问1详解】由已知当时，，得，所以当时，.【小问2详解】（i）时，假设存在，则由知，注意到，故，所以在单调递增，于是，即是方程的两个不等实根，易知不是方程的根，由已知，当时，，令，则有时，，即，故方程只有一个实根0，故不存在“和谐区间”.（ii）时，假设存在，则由知若，则由，知，与值域是矛盾，故不存在“和谐区间”，同理，时，也不存在，下面讨论， 若，则，故最小值为，于是，所以，所以最大值为2，故，此时的定义域为，值域为，符合题意.若，当时，同理可得，舍去，当时，在上单调递减，所以，于是，若即，则，故，与矛盾；若，同理，矛盾，所以，即，由（1）知当时，，因为，所以，从而，，从而，矛盾，综上所述，有唯一的“和谐区间”.【点睛】对于“新定义”的题目，关键是要运用新定义的知识以及原有的数学知识来进行求解.本题有两个“新定义”，一个是泰勒发现的公式，另一个是“和谐区间”.泰勒发现的公式可以直接用于证明，“和谐区间”可转化为函数的单调性来求解.