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福建省 2021-2022学年高一上学期数学期末考试卷(解析版)
福建省 2021-2022学年高一上学期数学期末考试卷(解析版)
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高一数学试卷试卷120分钟满分:150分一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.下列函数中,周期为的是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】对于A、B:直接求出周期;对于C:先用二倍角公式化简,再求其周期;对于D:不是周期函数,即可判断.【详解】对于A:的周期为,故A错误;对于B:的周期为,故B错误;对于C:,所以其周期为,故C正确;对于D:不是周期函数,没有最小正周期,故D错误.故选:C2.函数的单调递增区间为()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】 由解出范围即可.【详解】由,可得,所以函数的单调递增区间为,故选C.3.函数的部分图象如图所示,则可能是()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先根据函数图象,求出和,进而求出,代入特殊点坐标,求出,,得到正确答案.【详解】由图象可知:,且,所以,不妨设:,将代入得:,即,,解得:,,当时,,故A正确,其他选项均不合要求.故选:A4.已知角的终边在射线上,则的值为()A.B. C.D.【答案】A【解析】【分析】求三角函数值不妨作图说明,直截了当.【详解】依题意,作图如下:假设直线的倾斜角为,则角的终边为射线OA,在第四象限,,,,用同角关系:,得;∴;故选:A.5.函数的图象大致是()A.B. C.D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性和正负性,运用排除法进行判断即可.【详解】因为,所以函数是偶函数,其图象关于纵轴对称,故排除C、D两个选项;显然,故排除A,故选:B6.已知,则()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式及正弦函数的单调性可判断的大小,利用正切函数的单调性可判断的范围,从而可得正确的选项.【详解】,,因为,故,而,因为,故,故,综上,,故选:A 7.已知,则()A.B.C.2D.【答案】B【解析】【分析】先求出,再求出,最后可求.【详解】因为,故,因为,故,而,故,所以,故,所以,故选:B8.我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法“三斜求积术”,即的面积,其中分别为的内角的对边,若,且,则的面积的最大值为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先根据求出关系,代入面积公式,利用二次函数的知识求解最值.【详解】因为,所以, 即;由正弦定理可得,所以;当时,取到最大值.故选:A.二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.9.下列说法正确的有()A.若,则为第二象限角B.经过60分钟,钟表的分针转过弧度C.D.终边在轴上的角的集合是【答案】ABD【解析】【分析】根据三角函数的定义可判断A的正误,根据角的概念可判断BD的正误,根据两角和的正弦可判断C的正误.【详解】因,则为第二象限角,故A正确.经过60分钟,钟表的分针顺时针转一周,故对应的角为弧度,故B正确.,故C错误.终边在轴上的角的集合是,故D正确.故选:ABD.10.已知,则() A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】结合三角恒等变换化简已知条件,然后对选项进行分析,从而确定正确选项.【详解】依题意,,,,,所以或,,或,(舍去),或,所以,,.所以A选项错误,BCD选项正确.故选:BCD11.若将函数图象先向右平移个单位长度,再将所得的图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),得到函数的图象,则()A.的最小正周期为B.图象的一个对称中心为 C.的值域为D.图象的一条对称轴方程为【答案】BD【解析】【分析】先求得的解析式,然后对选项进行分析,从而确定正确选项.【详解】将函数的图象先向右平移个单位长度得到,再将所得的图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),得到函数.所以的最小正周期为,A选项错误.,B选项正确.的值域为,C选项错误.,D选项正确.故选:BD12.定义:实数满足,则称比远离.已知函数的定义域为,任取等于和中远离0的那个值,则()A.是偶函数B.的值域为C.在上单调递增D.在上单调递减 【答案】AD【解析】【分析】先求得的解析式,然后对选项进行分析,从而确定正确选项.【详解】依题意函数的定义域为,,,两边平方并化简得,,由于,所以,,解得或,解得,或,或,或.同理,由解得或.设,设,,由于则;则,,故,所以为偶函数,A选项正确.由于,所以、,所以B选项错误.由上述分析可知,,,而, 所以在区间不是单调函数,C选项错误.,,区间上递减,D选项正确.故选:AD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若扇形的面积为,半径为1,则扇形的圆心角为___________.【答案】【解析】【分析】直接根据扇形的面积公式计算可得答案.【详解】设扇形的圆心角为,因为扇形的面积为,半径为1,所以.解得,故答案为:.14.已知,则__________.【答案】##【解析】【分析】首先根据同角三角函数的基本关系求出,再利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切,最后代入计算可得;【详解】解:因为,所以,所以 故答案为:15.若在内有两个不同的实数值满足等式,则实数k的取值范围是_______.【答案】【解析】【分析】讨论函数在的单调性即可得解.【详解】函数,时,单调递增,时,单调递减,,,,所以在内有两个不同的实数值满足等式,则,所以.故答案为:16.在平面四边形中,,若,则__________.【答案】##1.5【解析】【分析】设,在中,可知,在中,可得,由正弦定理,可得答案. 【详解】设,在中,,,,在中,,,,,由正弦定理得:,得,.故答案为:.四、解答题:本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.已知角的顶点为坐标原点,始边为轴的非负半轴,终边经过点,且.(1)求实数的值;(2)若,求的值.【答案】(1)或(2) 【解析】【分析】(1)利用三角函数定义可求的值.(2)利用诱导公式可求三角函数式的值.【小问1详解】由题意可得,所以,整理得,解得或.【小问2详解】因为,所以由(1)可得,所以,所以.18.设函数.(1)求的单调增区间;(2)求在上的最大值与最小值.【答案】(1)(2)最大值为2,最小值为【解析】【分析】(1)利用三角恒等变换化简可得,根据正弦型函数的单调性计算即可得出结果.(2)由得,利用正弦函数的图像和性质计算即可得出结果.【小问1详解】 令,得,所以的单调增区间为【小问2详解】由得,所以当,即时,取最大值2;当,即时,取最小值.19.设在区间单调,且都有(1)求的解析式;(2)用“五点法”作出在的简图,并写出函数在的所有零点之和.【答案】(1)(2)图象见解析,所有零点之和为 【解析】【分析】(1)依题意在时取最大值,在时取最小值,再根据函数在单调,即可得到,即可求出,再根据函数在取得最大值求出,即可求出函数解析式;(2)列出表格画出函数图象,再根据函数的对称性求出零点和;【小问1详解】解:依题意在时取最大值,在时取最小值,又函数在区间单调,所以,即,又,所以,由得,即,又因为,所以,,所以.【小问2详解】解:列表如下0001所以函数图象如下所示: 由图知的一条对称轴为有两个实数根,记为,则由对称性知,所以所有实根之和为.20.在①;②.请在上述两个条件中任选一个,补充在下面题目中,然后解答补充完整的问题.在中,角所对的边分别为,__________.(1)求角;(2)求的取值范围.【答案】(1)条件选择见解析,(2)【解析】【分析】(1)若选①,由正弦定理得,即可求出;若选②,由正弦定理得,即可求出.(2)用正弦定理得表示出,,得到,利用三角函数求出的取值范围.【小问1详解】若选①,则由正弦定理得,因为,所以,所以,所以,又因为,所以,所以,即.若选②,则由正弦定理得,所以,所以, 因为,所以,所以,又因为,所以.【小问2详解】由正弦定理得,所以,同理,由,故,所以由,所以,所以,所以的取值范围是.21.某兴趣小组要测量钟楼的高度(单位:).如示意图,垂直放置的标杆的高度为,仰角. (1)该小组已测得一组的值,算出了,请据此算出的值(精确到);(2)该小组分析测得的数据后,认为适当调整标杆到钟楼的距离(单位:),使与之差较大,可以提高测量精度.若钟楼的实际高度为,试问为多少时,最大?【答案】(1)约为(2)为时,最大【解析】【分析】(1)运用正切三角函数建立等式,再结合题中数据可求解;(2)由,得到,再运用基本不等式求解.【小问1详解】由得,同理,.因为,所以,解得.因此,算出钟楼的高度约为.【小问2详解】由题设知,得, 又,当且仅当时,取等号,故当时,最大.因为,则,所以当时,最大,故所求的是.22.英国数学家泰勒发现了如下公式:,其中,此公式有广泛的用途,例如利用公式得到一些不等式:当时,,.(1)证明:当时,;(2)设,若区间满足当定义域为时,值域也为,则称为的“和谐区间”.(i)时,是否存在“和谐区间”?若存在,求出的所有“和谐区间”,若不存在,请说明理由;(ii)时,是否存在“和谐区间”?若存在,求出的所有“和谐区间”,若不存在,请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)(i)不存在“和谐区间”,理由见解析(ii)存在,有唯一的“和谐区间” 【解析】【分析】(1)利用来证得结论成立.(2)(i)通过证明方程只有一个实根来判断出此时不存在“和谐区间”.(ii)对的取值进行分类讨论,结合的单调性以及(1)的结论求得唯一的“和谐区间”.【小问1详解】由已知当时,,得,所以当时,.【小问2详解】(i)时,假设存在,则由知,注意到,故,所以在单调递增,于是,即是方程的两个不等实根,易知不是方程的根,由已知,当时,,令,则有时,,即,故方程只有一个实根0,故不存在“和谐区间”.(ii)时,假设存在,则由知若,则由,知,与值域是矛盾,故不存在“和谐区间”,同理,时,也不存在,下面讨论, 若,则,故最小值为,于是,所以,所以最大值为2,故,此时的定义域为,值域为,符合题意.若,当时,同理可得,舍去,当时,在上单调递减,所以,于是,若即,则,故,与矛盾;若,同理,矛盾,所以,即,由(1)知当时,,因为,所以,从而,,从而,矛盾,综上所述,有唯一的“和谐区间”.【点睛】对于“新定义”的题目,关键是要运用新定义的知识以及原有的数学知识来进行求解.本题有两个“新定义”,一个是泰勒发现的公式,另一个是“和谐区间”.泰勒发现的公式可以直接用于证明,“和谐区间”可转化为函数的单调性来求解.
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初中 - 数学
发布时间:2024-04-05 19:40:01
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