福建省泉州市德化县2023-2024学年九年级上学期数学期末考试卷（解析版）

2023-2024学年福建省泉州市德化县九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项1.下列各数中最大的是（　　）A.3B.0C.D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较方法方法是解题的关键．根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较，绝对值大的反而小即可得出结果．详解】解：，，∵，∴，∴∴最大的数是3，故选：A．2.下列方程一定是一元二次方程的是（　　）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键在于熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．【详解】解：A、未知数的次数是1，不是一元二次方程，不符合题意；B、中，当时，原方程不是一元二次方程，不符合题意；C、中，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；D、是一元二次方程，符合题意．故选：D．3.下列事件中，属于必然事件的是（　　）A.抛掷硬币时，正面朝上B.太阳每天从西方升起第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 C.经过红绿灯路口，遇到绿灯D.负数小于正数【答案】D【解析】【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据事件发生的可能性大小判断．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．【详解】解：A、抛掷硬币时，正面朝上，是随机事件，不符合题意；B、太阳每天从西方升起，是不可能事件，不符合题意；C、经过红绿灯路口，遇到绿灯，是随机事件，不符合题意；D、负数小于正数，是必然事件，符合题意；故选：D．4.在中，，那么下列结论中错误的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】此题考查锐角三角函数的定义（锐角为自变量，以比值为函数值的函数），根据直角三角形中三角函数的求法得出答案．【详解】解：如图：、，则，故此选项结论错误，符合题意；、，则，故此选项结论正确，不符合题意；、，则，故此选项结论正确，不符合题意；、，则，故此选项结论正确，不符合题意．第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 故选：A．5.方程的左边配成一个完全平方式后，所得的方程是（　　）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】本题考查解一元二次方程的配方法，根据完全平方式的特点，进行配方，即可解题．【详解】解：，，，故选：B．6.已知，均为正数，如果：：，那么下列各式中一定正确的是(　　)A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】本题考查比例性质，根据内项之积=外项之积，可得结论．【详解】解：：：，，．故选：C．7.如图，是的中位线，若的面积为，则为四边形的面积(　　)A.8B.10C.12D.14【答案】C【解析】【分析】第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 本题主要考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的判定与性质求得的面积，再用的面积减去的面积即可．【详解】解：∵是的中位线，∴，．∴，∴，∴，∴，∴四边形的面积．故选：C．8.某服装原价元，连续两次涨价，每次都涨后的价格为元，则是(　　)A.20B.15C.10D.5【答案】C【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用该服装经过两次涨价后的价格=原价×(1+每次涨价的百分数)2，可列出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【详解】解：根据题意得：，解得：，(不符合题意，舍去)，∴的值为．故选：C．9.如图，在中，：：，平分交于点，交于点，则的值是(　　)A.B.C.D.【答案】A【解析】第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，由已知条件和平行四边形的性质易证是等腰三角形，再进而可求出：的值．【详解】解：四边形是平行四边形，，，平分交于点，，，，：：，：：，故选：A．10.在锐角中，于点，若，，则的度数是(　　)A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】本题考查解直角三角形,根据题意画出图形,令，勾股定理求得，根据等面积法求得，根据，即可求解．【详解】解：如图所示，，，则令，，．在中，第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 ，同理可得，．过点作的垂线，垂足为，则，．在中，，．故选：B．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.11.若有意义，则实数a的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】根据二次根式有意义则被开方数是非负数列式求解即可．【详解】解：∵式子有意义，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．12.投掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数是6的概率是__________________．【答案】【解析】【分析】第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．根据概率公式直接求解即可．【详解】解：投掷一枚质地均匀的正方体骰子共有6种等可能结果，其中向上一面的点数是6的只有1种结果，所以向上一面的点数是6的概率为．故答案为：．13.最简二次根式与是同类二次根式，则_____．【答案】【解析】【分析】本题考查的是同类二次根式，根据同类二次根式的定义解答即可．熟知一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，，解得．故答案为：．14.如图，，则的长为_____．【答案】6【解析】【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．详解】解：∵，∴，∴，解得，第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 ∴，故答案为：6．15.如图，正方形的两边、分别在x轴、y轴上，点在边上，则的余弦值是____________________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，解直角三角形，根据四边形是正方形，得，，由点在边上，得，，然后利用勾股定理求出，进而可得的余弦值．【详解】解：四边形是正方形，，，点在边上，，，，的余弦值是，故答案为：．16.在平面直角坐标系中，点A，B均在抛物线上，，且轴，已知，则____________________．【答案】或【解析】【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解直角三角形等，设与y轴的交点为D第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 ，由题意可知，，则，根据，得到，即，即可解题．【详解】解：设与y轴的交点为D，点A，B均在抛物线上，，且轴，，，，，，，，，，故答案为：或．三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.计算：．【答案】0【解析】【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先化简二次根式，求绝对值，求二次根式的除法，再算减法即可求解．【详解】解：原式18.如图，某滑雪场有一坡度为的滑雪道，滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为100米，求滑雪道长度．第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 【答案】滑雪道长度为260米【解析】【分析】本题考查的是直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．根据坡度的概念求出，再根据勾股定理求出．【详解】解：∵滑雪道的坡度为，∴，∵米，∴米，由勾股定理得：（米），答：滑雪道AC长度为260米．19.如图，在边长都是的小正方形组成的网格中，与是以点为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点处．（1）与的位似比是，请在图中标出位似中心的位置；（2）请以点为位似中心，并在点右侧的网格中画一个，使它与的相似比为．【答案】（1），图见解析（2）见解析【解析】【分析】本题考查作图﹣位似变换，（1）根据位似变换的性质判断，对应点连线的交点即为位似中心；第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 （2）根据要求画出位似图形即可．【小问1详解】解：与的位似比是，如图位似中心即为所求．故答案为：；【小问2详解】如图，即为所求．20.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为正整数，求此时方程的根．【答案】（1）（2），【解析】【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式及解一元二次方程．（1）根据方程有两个不相等的实数根得出，求出m的取值范围即可；（2）根据（1）中m的取值范围及m为正整数得出m的值，求出方程的根即可．第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 【小问1详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，解得；【小问2详解】∵，且m为正整数，∴，∴原方程为，即，∴或，∴，．21.在春节来临之际，某商场开展“庆新年”有奖酬宾活动：凡购物满200元，均可得到一次在不透明的纸盒里抽奖的机会，该纸盒里装有2个红球和3个白球，它们除颜色外其它都相同．（1）若抽奖者从该纸盒中一次摸出一个球，抽到红球的概率是多少？（2）该商场支持“在线支付”和“现金支付”两种付款方式，抽奖者从该纸盒中依次取出两个球（不放回），根据抽奖者的付款方式和球的颜色决定赠送相应券值的礼金券．（如表）线支付：球两红一红一白两白礼金券/元102010现金支付：球两红一红一白两白礼金券/元201020如果一个顾客当天在本商场购物满200元，他很想获得20元的礼金券，你推荐他采用哪种支付方式？并说明理由．【答案】（1）（2）选择在线支付，理由见解析【解析】【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 （1）直接利用概率公式可得答案．（2）列表可得出所有等可能的结果数以及抽到两个红球的结果数、抽到一个红球一个白球的结果数、抽到两个白球的结果数，再利用概率公式可求出采用在线支付获得20元的礼金券的概率和采用现金支付获得20元的礼金券的概率，进而可得结论．【小问1详解】由题意得，抽奖者从该纸盒中一次摸出一个球，抽到红球的概率是．【小问2详解】列表如下：红红白白白红（红，红）（红，白）（红，白）（红，白）红（红，红）（红，白）（红，白）（红，白）白（白，红）（白，红）（白，白）（白，白）白（白，红）（白，红）（白，白）（白，白）白（白，红）（白，红）（白，白）（白，白）共有20种等可能的结果，其中抽到两个红球的结果有2种，抽到一个红球一个白球的结果有12种，抽到两个白球的结果有6种，∴采用在线支付获得20元的礼金券的概率为，采用现金支付获得20元的礼金券的概率为．∵，∴选择在线支付．22.某商场将每件进价为元的某种商品按每件元出售，后来经过市场调查，发现这种商品售价x元与其一天的销量y的函数关系是，如图．（1）求该商场这种商品一天的销量y与售价x元的函数关系式；第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 （2）若商场经营该商品一天要获利润元，则每件商品售价应是多少元？【答案】（1）（2）每件商品售价应是或元【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是正确理解题意，找出等量关系．（1）将代入即可求解；（2）利用总利润每件商品的销售利润日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．【小问1详解】解：将代入得：解得：，∴该商场这种商品一天的销量y与售价x元的函数关系式为，当时，解得：，又∵该商品的进价为元，∴该商场这种商品一天的销量y与售价x元的函数关系式为：【小问2详解】解：根据题意得：，整理得：，解得：，答：每件商品售价应是或元．23.三国魏人刘徽，自撰《海岛算经》，专论测高望远，其中有一题是数学史上有名的测量问题，今译如下：如图1，为底部H不可到达的一座山峰，A为山峰的最高点，现要测量山峰的最大高度．立两根高三丈的标杆和，两竿相距步，D，B，H成一线，从退行123步到F点，人目着地观察A点，A，C，F三点共线；从退行127步到G点，从G点看A点，A，E，G三点也共线，试算出山峰的高度及的距离．（古制1步尺，1里=180丈尺第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 步，结果用步来表示）解：∵，∴，∴________，又∵，∴_______，∴，又∵，∴，即，∴（步）又∵，∴，（步）（1）上述的测量问题，刘徽利用的几何知识是_______．请补全上述求解过程中所缺的内容；（2）爱思考的小明想利用解直角三角形的知识，使用皮尺和自制测量仪（如图2，图3），通过测量长度、角度等几何量，测量一个海岛中的山峰高度．现已画出测量示意图如图4，请写出图中你认为小明应该测量的几何量（长度用字母a，b，c…表示，角度用…表示），并求出此座山峰的高度．工具说明：①如图2，皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）．②如图3，自制测角仪的功能是测量角的大小，即将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G．测量时，使支杆（高度为1．5米）、量角器刻度线与铅垂线相互重合，绕点O转动量角器，使观测目标P与量角器直径两端点A，B共线，此时目标P的仰角．第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 【答案】（1）相似三角形的对应边成比例；；；（2）需要测量，【解析】【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，相似三角形的应用举例：（1）根据求解过程可知，刘徽利用的几何知识是相似三角形的对应边成比例；先证明得到，再证明得到，进而推出，代值计算求出（步），再由进行求解即可；（2）需要测量，解得到，解得到，由，得到，则，则．【小问1详解】解：由题意得，刘徽利用的几何知识是相似三角形的对应边成比例∵，∴，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，即，∴（步）又∵，∴，（步）第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 故答案为：相似三角形的对应边成比例；；；【小问2详解】解：需要测量，在中，∵，∴，在中，∵，∴，∵，∴∴，∴．24.在中，，于点，点，关于直线对称，连接，，为的中点，连接交于点．（1）求证：；第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 （2）求证：；（3）若，，求的值．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【解析】【分析】本题主要考查了相似性综合题，（1）根据和相似直接证明即可；（2）根据对称的性质得出两个三角形的面积比等于：，在根据对称的性质以及中点的定义，将：转化为：即可；（3）根据相似得出，从而得出是直角三角形，然后用勾股定理求解即可．【小问1详解】解：证明：点，关于直线对称，，又，，，；【小问2详解】证明：由（1）知，，是的平分线，到的距离等于到的距离，，点，关于直线对称，，是的中点，，；第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 【小问3详解】解：由（1）知，，，由勾股定理得：，是中点，，，由（1）知，，，，，，即，由勾股定理的：．25.如图，在平面直角坐标系中中，抛物线交x轴两点，，且，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在直线下方的抛物线上．①若点P的横坐标为，点G也在该抛物线上，点F在该抛物线的对称轴上，四边形是平行四边形，求点G的坐标；②若交于点Q，求线段的最大值．第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 【答案】（1）（2）①点G的坐标为或；②取最大值【解析】【分析】（1）求点B的坐标，把代入，即可求出函数解析式；（2）①设，分是对角线，是对角线，是对角线三种情况求出点G的坐标；②过点P作直线垂直于x轴，过点Q作垂直于该直线，垂足为H，设，通过求出直线和的解析式，表示点Q的坐标，证明，根据相似三角形的性质得到，利用二次函数的性质求出最值．【小问1详解】解：∵，，且，∴点B的坐标为，把代入，得，解得，∴抛物线的解析式为；【小问2详解】解：①由抛物线的解析式为，得对称轴为直线，把代入，得，∴点P的坐标为，设，若是对角线，由平行四边形性质可得，与互相平分，第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 ∴，即，解得，∴点G的坐标为；若是对角线，由平行四边形性质可得，与互相平分，∴，即，解得，∴点G的坐标为；若是对角线，由平行四边形性质可得，与互相平分，∴，即，解得（与点P重合，舍去），综上所述，点G坐标为或；②过点P作直线垂直于x轴，过点Q作垂直于该直线，垂足为H，设，设直线的解析式为，把代入，得直线的解析式为，设直线的解析式为，把代入，第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 得直线的解析式为，由，设直线的解析式为，把点代入，得，得直线的解析式为，，解得，得点Q的坐标为，∴，∵，轴，，∴，∴，得，当，取最大值．【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，利用二次函数求最值，本题的关键是利用分类讨论思想解题，通过构造相似求线段的最值．第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司