福建省福州高三上学期数学期中联考试卷含答案解析

高三上学期数学期中联考试卷一、单选题1．下面是关于复数（为虚数单位）的命题，其中真命题为（）A．B．复数在复平面内对应点在直线上C．的共轭复数为D．的虚部为-1如图，平行四边形ABCD中，点G在AC上，且满足（）B．C．在中，边分别为角A，B，C所对的边，如果，则角A的大小为（）B．C．，若，则D．，且D．4．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.观察以下四个图象的特征，试判断与函数相对应的图象是（）A．B．C．D．5．已知，是两条不同直线，，，是三个不同平面，则下列命题正确的是（）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则6．已知，为锐角，且，，则（）A．B．C．D．7．意大利数学家斐波那契（1770--1250），以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1､1､2､3､5､8､13､21在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿简等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛得应用.已知斐波那契数列满足：，若，则等于（）A．15B．14C．608D．3778．已知函数，若实数满足且，则的取值范围为（）A．（6，16）二、多选题9．下列命题为真命题的是（B．（6，18）C．（8，16）D．（8，18））A．命题“”的否定是“”；B．函数，与函数是同一个函数；为真命题”，则取值范围为”的充要条件是“”.C．已知命题“D．设a，，则“下列命题中正确的是（A．若，；不等式；或），若与所成的夹角为锐角，则实数的取值范围是B．若非零向量满足则与的夹角是.\nC．已知，且，则；D．若点G为内一点，满足，则点G是的底面是边长为2，侧棱长为4，E是的重心11．若正四棱柱的中点，则（）A．三棱锥的体积为B．C．三棱锥的外接球的半径是D．过点三点平面与该棱柱各个面的交线围成的平面图形面积为的定义域、值域都是，且满足12．已知函数（），则下列结论一定正确的是A．若，则B．C．D．三、填空题若一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为．设，若是与的等差中项，则的最小值为.为了参加校教职工运动会，某校高三年级组准备为本年级教师订制若干件文化衫，经与厂家协商，可按出厂价结算，同时厂家也承诺超过50件就可以每件比出厂价低22元给予优惠.如果按出厂价购买年级组总共应付元，但若再多买15件就可以达到优惠条件并恰好也是共付元（为整数），则的值为.16．已知数列满足，则.设为数列的前项和，若对任意恒成立，则实数取值范围是.四、解答题17．设数列的前项和均为正数递增数列，项和为，▲从①；②；③数列是各成等差数列；这三个条件中任选一个，，补充在上面的横线中，并解答以下两个问题.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和为18．已知函数（1）求函数的对称轴方程；（2）将函数图象先向左平移个单位长度，再将横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的单调区间19．如图在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD是矩形，AB=2BC=2，PC=PD，E为CD的中点，平面PCD⊥平面ABCD，（1）证明：PA⊥BE（2）若直线PA与平面ABCD所成角的正切值为，求二面角B-PD-C的平面角余弦值已知函数求函数在区间的极值；若函数在处切线与函数图象有两个交点，求实数的取值范围福建省平潭综合实验区澳前68小镇的猴研岛，是祖国大陆距宝岛台湾最近的地方，直线距离仅68海里.为了更好地完善硬件设施提升小镇旅游面貌，68小镇管理处在水泥路边安装路灯，路灯的设计如图所示，为地面，､为路灯灯杆，，，在处安装路灯，路灯采用可旋转灯口方向的锥形灯罩，灯罩的照明张角，已知，，（1）若，求此路灯在路面OM上的照明宽度；（2）为了控制的路灯照明效果，令，求此路灯在路面OM上的照明宽度的取值范围.22．已知函数（1）当时，讨论函数在区间的单调性（2）当时，若，都有成立，求答案解析部分的取值范围.\n1．【答案】C【解析】【解答】，所以，A不符合题意；不在直线上，B不符合题意；对应点坐标为共轭复数为，C符合题意；虚部为1，D不符合题意．故答案为：C．【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数模的概念即可得出答案。2．【答案】A【解析】【解答】因为．故答案为：A．【分析】由向量的加减运算法则整理化简，即可得出答案。3．【答案】C【解析】【解答】根据正弦定理，由可得，根据余弦定理知，又，C符合题意.故答案为：C.【分析】由已知条件结合正、余弦定理代入数值计算出cosC的取值，由此计算出角C的大小，结合已知条件即可得出三角形的形状，从而得出答案。4．【答案】D【解析】【解答】解：因为，所以，所以为奇函数，其图象关于原点中心对称，故排除A、B选项；又时，，故排除C选项；故答案为：D.【分析】根据题意由奇函数的图象和性质，即可排除选项A、B，再由结合函数的单调性即可排除选项C，由此即可得出答案。5．【答案】D【解析】【解答】对于A：若，，则，，异面或，相交，A不正确；对于B：若，，则或，相交，B不正确；对于C：若，，则或，相交，C不正确；对于D：若，，由线面垂直的性质可得，D符合题意；故答案为：D.【分析】根据题意由直线与平面、平面与平面的位置关系，对选项逐一判断即可得出答案。6．【答案】C【解析】【解答】解：依题意，为锐角，，，，又，为锐角，得，，；，得：，因此，，故答案为：C【分析】由已知条件结合角的取值范围，由同角三角函数的基本关系式代入计算出和\n，再把结果代入到两角和的余弦公式计算出结果即可。7．【答案】D【解析】【解答】根据递推公式计算到，到的值依次为：，其中，，．故答案为：D．【分析】根据题意由数列的递推公式，结合斐波那契数列的定义，代入数值计算出结果即可。8．【答案】B【解析】【解答】作出函数当时，由图可知，由，即因此，的图象如下图所示：，，即，解得，则，，即，可得，.故答案为：B【分析】根据题意由指数函数和一次函数的图象作出分段函数的解析式，利用数形结合法由指数幂的运算性质，计算出结果从而得出代数式的取值范围。9．【答案】A,C【解析】【解答】A：命题“”的否定是“B：函数的定义域为，函数的定义域为”.A符合题意；或，所以与不是同一个函数，B不符合题意；C：当时，恒成立，则恒成立，即，又(当且仅当时等号成立)，所以，C符合题意；D：若，则或；若则，”的充分不必要条件，D不符合题意.所以“”是“或故答案为：AC【分析】根据题意由利用全称命题的否定是特称命题结合题意即可得出选项A正确；根据判断两个函数是否是同一个函数的条件：定义域和对应法则相同，由此判断出选项B错误；由一元二次不等式的解法和一元二次方程之间的关系，即可求出a的取值范围由此判断出选项C正确；由充分和必要条件的定义即可判断出选项D错误，从而即可得出答案。10．【答案】B,D【解析】【解答】若与所成的夹角为锐角，则，解得：且，A不符合题意；不妨设，则，所以，，故所以，因为所以与的夹角是.B选项正确，即，则，推导不出，C不符合题意，取边中点M，则由向量的加法法则：，故，所以A、G、M三点共线，取中点N，中点Q，同理可得：B、G、N三点共线，C、G、Q三点共线，所以点G是三条中线的交点，点G是的重心，D符合题意故答案为：BD【分析】根据题意由数量积的坐标公式结合夹角的取值范围，由此即可求出m的取值范围，从而判断出选项A错误；结合夹角的数量积运算公式整理化简，由此判断出选项B正确；由数量积的运算性质即可判断出选项C错误；由已知条件结合向量的运算法则即可得出A、G、M三点共线，然后由三角形的几何性质以及重心的定义，即可判断出选项D正确；由此即可得出答案。\n11．【答案】A,C,D【解析】【解答】对于A：对于B：如图以为原点，则，A符合题意；为坐标轴建立坐标系，，，，因为，所以不成立，B不符合题意；对于C：，，所以，则由直角三角形的性质可知的中点到故三棱锥的外接球的半径是的距离相等，，C符合题意；对于D：取的中点，连接则易知，所以，，所以过点三点平面与该棱柱各个面的交线围成的平面图形为梯形，，设梯形的高为，则，所以，所以梯形的面积为，D符合题意；故答案为：ACD【分析】根据题意由等体积法代入数值计算出结果由此判断选项A正确；由已知条件建立直角坐标系，由此求出点和向量的坐标，结合数量积的坐标公式计算出结果由此判断出选项B错误；根据题意由长方体的几何性质结合中点的性质即可得出线线平行，从而得出过点三点平面与该棱柱各个面的交线围成的平面图形为梯形，利用梯形的面积公式代入数值计算出结果即可，由此即可判断出选项D正确，从而得出答案。12．【答案】A,B,D【解析】【解答】函数，则函数的定义域为，，所以，函数在上单调递增，对于A选项，，即，则，A对；对于B选项，，即，故，B对；对于C选项，，则，所以，，故，C不符合题意；对于D选项，构造函数，其中，则，所以，函数在上单调递增，故，即当时，，因为，即，由可得，则，\n所以，，故，D对.故答案为：ABD.【分析】根据题意构造函数对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可判断出选项A、B正确、C错误；同理构造函数，对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，结合函数的单调性即可判断出选项D正确，从而得出答案。13．【答案】2π【解析】【解答】因为圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，所以圆锥底面圆的半径，所以圆锥的侧面积为。，母线长【分析】利用圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，结合等边三角形的性质求出圆锥底面圆的半径和母线长，再利用圆锥的侧面积公式，进而求出这个圆锥的侧面积。14．【答案】9【解析】【解答】由已知所以，又，即，，所以，当且仅当，即时等号成立．所以最小值为9．故答案为：9．【分析】根据题意首先由对数的运算性质，整理化简由此得出，然后结合基本不等式即可求出代数式的最小值。），应付15．【答案】3960【解析】【解答】设按出厂价购买套（在过买15套，就可以按优惠价格计算，恰好也付元，元，出厂价为元，则有，则有，（其中），联立可得，所以，又由，可得，且为整数，套数也为整数且为的倍数，则有，则，可得.故答案为：3960.【分析】根据题意由已知条件即可得出，然后整理化简联立已知条件即可得出，结合题意由已知条件即可得出，从而计算出x与y的取值，由此计算出结果即可。16．【答案】2；[1，+∞)【解析】【解答】解：当当时，因为所以时，两式相减得到时，，，所以，，，，故，经检验适合此式，所以，所以，即，则，由于对任意恒成立，所以，所以实数故答案为：2；[1，+∞).取值范围是[1，+∞).\n【分析】首先由已知的条件，整理化简即可得出数列的通项公式，由此即可得出数列然后由裂项相消法计算出，结合已知条件从而得出t的取值范围。17．【答案】（1）解：选①：∵，当时，，解得.的通项公式，当时，，所以即.时，又时，∴数列是首项为2，公比为2的等比数列.故数列的通项公式为：；选②：∵∴当时，，.当时，，∴当时，依然成立.所以；选③：，∵数列是各项和均为正数递增数列，且∴数列是等比数列∵，成等差数列，则即，整理可得解得或（舍去）∴（2）解：∵∴∴【解析】【分析】(1)选①：根据题意由数列的通项公式和数列前n项和公式之间的关系求出数列的通项公式，由此即可判断出数列为等比数列，从而求出数列的通项公式即可；选②：根据题意由数列的通项公式和数列前n项和公式之间的关系求出数列的通项公式，由此即可判断出数列为等比数列，从而求出数列的通项公式即可；选③：结合数列的单调性，整理化简即可得出数列是等比数列，然后由得出数列项的性质代入整理计算出q的值，从而得出数列的通项公式。(2)由(1)的结论即可求出数列的通项公式，然后由裂项分解结合等差数列的前n项和公式以及等比数列的前n项和公式，代入数值计算出结果即可。18．【答案】（1）解：依题意得：函数由，得，∴函数的对称轴是直线（2）解：将函数的图像向左平移个单位长度，得到的图像.再将橫坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图像.当时，，由，可得由，可得∴函数的单调递增区间是，单调递减区间是【解析】【分析】(1)根据题意由数量积的坐标公式以及两角和的正弦公式整理化简，由此即可得出函数的解析式，再正弦函数的图象和性质结合主整体思想即可求出对称轴的方程。\n(2)由已知条件即可得出函数平移之后的函数解析式，再由正弦函数的图象和性质结合整体思想即可求出函数g(x)的单调区间。19．【答案】（1）证明：连结∵平面平面∴平面，平面，又为矩形且∴，又，，∵，为的中点，，平面平面，且平面，.，，，平面，∴平面.∵平面，∴（2）解：取得中点由（1）可知平面，分别以，，为，所成角为，轴建立空间直角坐标系，所以与平面，∵与平面所成角的正切值为，∴，，∴，∴，，，，，.显然，平面的一个法向量为.设平面的一个法向量为，则有：，∴，由图示，二面角为锐角，∴，∴二面角的余弦值为【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件作出辅助线，结合中点的性质即可得出线线垂直，再由面面垂直的性质定理即可得出线面垂直以及线线垂直，然后由线面垂直的判定定理和性质定理即可得证出结论。(2)由(1)的结论建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到二面角20．【答案】（1）解：，令，因为，所以，的法向量；结合空间数量积的运算公式代的余弦值。当时，，函数在区间单调递减；当时，，函数在区间单调递增；所以函数在区间的极小值为，无极大值（2）解：因为所以函数在点依题意可知：切线，，，所以切点坐标为，斜率为，处切线方程为，与函数图象有两个交点，有两个不同的实数解，等价于方程即方程有两个不同的实数解，即函数与函数，，有两个交点，令函数当，，单调递增；当，，单调递减；当时，函数有极大值，当时，函数，当时，函数，所以，即.【解析】【分析】(1)根据题意对函数求导，结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性结合极值的定义即可得出答案。(2)由已知条件即可得出切线的斜率值，从而得出切线的方程，根据题意方程有两个不同的实数解，即函数与函数有两个交点，构造函数，对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性结合极值的定义即可求出a的取值范围。\n21．【答案】（1）解：当时，∴由四边形的内角和为∴且如图1所示：过A作则，∴可知：，垂足为，因为（2）解：∵，∴由四边形可知：，如图2所示，的内角和为过作，垂足为，由（1）可知：点到地面的距离，∴∴在中，由正弦定理可知，，∴∴∴∴令，则，设函数∴，即，函数在区间上单调递增又∵∴，即∴【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件即可得出图象，然后由梯形以及三角形的几何性质，代入数值计算出结果即可。(2)由已知条件整理即可得出结合正弦定理整理化简，由此计算出CD=，结合正切函数的性质构造函数，对其求导整理化简即可得出，从而得出函数f(x)的单调性，利用函数的单调性即可得出，由此即可得出答案。22．【答案】（1）解：当时，函数当时，，，∴在单调递增当时，令①当时，即时，由得：由得：∴当时，函数在单调递增，在单调递减.②当时，即时，由得∴当时，函数在单调递增综上所述：当当时，函数（2）解：解法1：时，函数在单调递增；在单调递增，在单调递减当时，由题意可知：在上恒成立等价于在上恒成立，即\n令，令，∴函数在上单调递增，∴，∴存在唯一零点，使得且当时，，单调递减且当时，，单调递增∴，∵∴设函数，∴函数在上单调递增∴，∴∴，∴∴解法2：当时，由题意可知：在上恒成立等价于在上恒成立.即令，函数在上单调递增∵，∴存在唯一零点，使得即且当时，单调递减且当时，单调递增∴∴∴（，不合题意舍去）设函数，∴函数在上单调递增∴，∴，∴当且仅当时，即等号成立令∴函数在上单调递增，∴，∴由零点存在性定理可知存在唯一零点，，使∴解法3：当时，由题意可知：在上恒成立\n等价于在上恒成立.即令，，∴当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，∴（当且仅当时取等号）∵令当且仅当时等号成立令∴函数在上单调递增，∴，∴由零点存在性定理可知存在唯一零点，，使∴，解法4：当时，由题意可知：在上恒成立令，即，则原不等式等价于令，∴当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，∴（当且仅当时取等号）∵原不等式在恒成立，即在恒成立，∵恒成立（当且仅当时取等号）∴，∴【解析】【分析】(1)首先对函数求导，然后对m分情况讨论，结合已知条件即可得出导函数的正负，从而即可得出函数在不同区间的单调性。(2)解法1：由已知条件即可得出在上恒成立，即构造函数，对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，从而得出然后由零点的定义整理化简得出，由此即可得出函数g(x)的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最小值，由此即可得出m的取值范围；解法2：由已知条件即可得出在上恒成立，即构造函数，对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，从而得出，同理构造函数，结合零点存在性定理m进而得出m的取值范围；在上恒成立，从而得出解法3：由已知条件即可得出，构造函数，对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性即可得出，同理构造函数，结合零点存在性定理即可得出m的取值范围；解法4：根据题意即可得出原不等式等价于，令，对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出不等式，结合题意即可得出在恒成立，整理化简即可得出m的取值范围。