福建省莆田市城厢区2022～2023学年九年级上学期数学期末考试卷（解析版）

莆田市城厢区2022～2023学年上学期期末质量检测卷九年级数学试卷注意事项：1．全卷满分150分，答题时间为120分钟．2．请将各题答案填写在答题卡上．一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合要求的．1.下列方程中，是一元二次方程的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次数为2次的整式方程，叫做一元二次方程，再逐一判断选项，即可．【详解】解：A．，是分式方程，故不是一元二次方程，不符合题意，B．，符合定义，是一元二次方程，符合题意，C．，是二元一次方程，故不是一元二次方程，不符合题意，D．，是一元一次方程，故不是一元二次方程，不符合题意，故选B．【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握“含有一个未知数，未知数的最高次数为2次的整式方程，叫做一元二次方程”，是解本题的关键．2.下列图形中，是中心对称图形的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转第22页/共22页 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；B、不中心对称图形，不符合题意；C、是中心对称图形，符合题意；D、不是中心对称图形，不符合题意；故选：C【点睛】本题考查中心对称图形的判断；解题的关键是掌握判断中心对称图形的方法．3.下列各点，在二次函数的图象上的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】将选项A，B，C，D中的点横坐标代入，计算出纵坐标，从而可判断点是否在二次函数的图象上．【详解】解：∵，当时，，当时，，当时，，当时，，∴B，C，D不符合题意；A符合题意；故选：A．【点睛】本题主要考查的是二次函数图象上点的坐标特点，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解本题的关键．4.如图，将绕点C顺时针旋转后得到，若，则的度数是（）．A.B.C.D.【答案】C第22页/共22页 【解析】【分析】利用旋转的性质求得，再结合即可求得的度数．【详解】解：∵将绕点C顺时针旋转后得到，∴，∵，∴，故选：C【点睛】本题考查了旋转的性质，理解掌握旋转前后的对应点的连线构成旋转角是解题的关键．5.已知是半径为4的圆中的一条弦，则的长不可能是（）A.8B.5C.4D.10【答案】D【解析】【分析】根据圆中最长的弦为直径求解．【详解】解：由题意知，该圆的直径为8，因为圆中最长的弦为直径，∴．观察选项，只有选项D符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了圆的认识，基本概念，掌握“圆中最长的弦是直径”是解本题的关键．6.若反比例函数的图象经过第二、四象限，则的值可能是（）A.7B.5C.3D.1【答案】D【解析】【分析】根据反比例函数的图象经过第二、四象限，可得，从而可得答案．【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限，∴，解得：．∴选项A，B，C不符合题意，选项D符合题意；第22页/共22页 故选D．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质：当反比例函数图象在一、三象限时，则；当反比例函数图象在第二、四象限时，则．7.已知两个非零实数m，n满足，则的值为（）AB.1C.D.5【答案】C【解析】【分析】由，可得，结合本题条件可得答案．【详解】解：∵两个非零实数m，n满足，∴，故选C．【点睛】本题考查的是比例的基本性质，熟记比例的基本性质是解本题的关键．8.两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（）A.抛一枚硬币，正面朝上概率B.掷一枚正六面体的骰子，出现点数是3的倍数的概率C.将一副新的扑克牌（54张）洗匀后，随机抽一张，抽出牌上的数字为“3”的概率D.从装有3个红球和1个蓝球（4个球除颜色外均相同）的不透明口袋中，任取一个球恰好是蓝球的概率【答案】B第22页/共22页 【解析】【分析】由折线统计图可知，试验结果在附近波动，最后稳定在附近，再分别计算四个选项的概率，约为者即为正确答案．【详解】解：A、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意；B、掷一枚正六面体的骰子，出现3的倍数的概率为，故此选项符合题意；C、将一副新的扑克牌（54张）洗匀后，随机抽一张，抽出牌上的数字为“3”的概率为，故此选项不符合题意；D、从装有3个红球和1个蓝球（4个球除颜色外均相同）的不透明口袋中，任取一个球恰好是蓝球的概率为，故此选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了利用频率估计概率，属于基础题型，明确大量反复试验下频率稳定值即概率是解答本题的关键．9.如图所示的是某家用晾衣架的侧面示意图，已知，根据图中数据，P，Q两点间的距离是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】证明，再根据相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比等于相似比即可得到结论．【详解】解：∵，∴，结合相似三角形对应高的比等于相似比得，，而，第22页/共22页 ∴故选A．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．10.已知点，，在抛物线（为常数且）上，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先求解抛物线的对称轴方程，再结合开口方向，判断最大值，再根据与对称轴的远近判断函数值的大小，从而可得答案．【详解】解：∵，∴抛物线的对称轴为直线，抛物线的开口向下，∴当时，函数取得最大值，即最大，同时距离对称轴越远，函数值越小，而，，∴，∴，综上：，故选：D．【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟练的利用抛物线的对称性及开口方向比较二次函数的函数值是大小是解本题的关键．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11.若的半径为2，M为平面内一点，，则点M在_________．（填“上”、“内部”或“外部”）【答案】外部【解析】【分析】根据点到圆心的距离和半径的关系即可判断点与圆的位置关系；距离大于半径点在圆的外部，距离等于半径点在圆上，距离小于半径点在圆内部．【详解】解：的半径为2，，点M到圆心的距离大于半径，第22页/共22页 点M在外部，故答案为：外部．【点睛】本题主要考查点与圆位置关系；掌握点到圆心的距离与半径的关系是解题的关键．12.若关于x的一元二次方程有一个根为，则另一根为_________．【答案】【解析】【分析】由方程的另一个根为，结合根与系数的关系可得出，从而可得答案．【详解】解：∵，方程的另一个根为，∴，∴．故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟记、是解本题的关键．13.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边，，测得边DF离地面的高度，，则树高为_________【答案】【解析】【分析】先证明，再利用相似三角形的性质求得的长，再加上即可求得树高．【详解】解：，，，第22页/共22页 ，∵，，，，，∵，故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的实际应用，解题的关键是从实际问题中抽象出相似三角形的模型，再利用相似三角形的性质．14.在一个不透明的口袋中有且仅有6个白球和14个红球，它们除颜色外其他完全相同，从口袋中随机摸出一个球，摸出红球的概率是_____________．【答案】##【解析】【分析】用红球的个数除以球的总个数即可；【详解】解：∵口袋中共有6个白球和14个红球，∴一共有球（个），∴．答：从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是；故答案为：．【点睛】本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．15.下面是小明同学采用因式分解法求解一元二次方程解题过程，等式左边去括号，得，①移项、合并同类项，得，②等式左边分解因式，得，③解得，．④以上解题过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是_____________．【答案】③第22页/共22页 【解析】【分析】将原式去括号、移项合并、提公因式然后求解，对比发现错误步骤即可．【详解】解：等式左边去括号，得，移项、合并同类项，得，提公因式，得，解得，．③开始出现错误，故答案为：③【点睛】本题考查了解一元二次方程；掌握解方程的步骤正确计算是解题的关键．16.如图，，分别是反比例函数和在第四象限内的图像，点在上，线段交于点A，作轴于点C，交于点B，延长OB交于点M，作轴于点F，下列结论：①；②与是位似图形，面积比为；③；④．其中正确的是____________．【答案】②③④【解析】【分析】由可判断①；结合已知易证第22页/共22页 ，根据面积比等于相似比的平方可判断②；过A作轴于点K，类比②，可求得，可判断③；由③可得到，从而得到可判断④．【详解】解：①，，，，①错误；②，，，∴，②正确；③，过A作轴于点K，，，，，∴同理，③正确；④，由③可知④正确；第22页/共22页 故答案为：②③④．【点睛】本题考查了反比例函数的图形和性质，相似三角形的判定和性质；解题的关键是灵活运用性质进行计算．三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.解方程：【答案】【解析】【分析】根据公式法即可求解.【详解】解：其中，得即或所以原方程的根是【点睛】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知公式法的运用.18.如图，绕点A逆时针旋转至，点D恰好在边上，求证：．【答案】见解析．【解析】【分析】由旋转可知，可得，在与中结合旋转和对顶角可得，等量代换即可求证．【详解】证明：由旋转可知，，在与中，第22页/共22页 ，．【点睛】本题考查了旋转的性质；解题的关键是根据旋转的性质找到相关角进行等量代换．19.如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，B两点，轴，垂足为C．（1）求双曲线的解析式，并直接写出点B的坐标．（2）求的面积．【答案】（1）；（2）4【解析】【分析】（1）将点代入直线得A坐标，再将点A代入双曲线即可得到k值，由A，B关于原点对称得到B点坐标；（2）先求出的长，再根据三角形面积公式即可求解．【小问1详解】解：将点代入直线得：，∴，将代入双曲线，得：，解得：，第22页/共22页 ∴双曲线的解析式为，根据题意得：点A，B关于原点中心对称，∴，【小问2详解】∵轴，，∴点，∴，∴．【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解本题的关键．20.如图，是的直径，弦平分，，过点D作的切线交的延长线于点E，连接．（1）求证：直线是的切线．（2）求证：．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）如图，连接，证明，可得，结合，可得，从而可得结论；（2）先证明，，可得，可得，证明，从而可得．【小问1详解】证明：如图，连接，第22页/共22页 ∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴是的切线；【小问2详解】∵为的直径，∴，∴，而，∴，∵过点D作的切线，∴，∴，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题考查的是角平分线的含义，平行线的判定与性质，切线的判定与性质，相似三角形的判定，熟练的利用几何图形的性质解决问题是解本题的关键．21.福建某公司经销一种红茶，每千克成本为40元．市场调查发现，在一段时间内，销售量（千克）随销售单价（元/千克）的变化而变化，其关系式为．设这段时间内，销售这种红茶总利润为（元）．第22页/共22页 （1）求与的函数关系式．（2）求这段时间内，销售这种红茶可获得的最大总利润．【答案】（1）（2）当时，销售利润y的值最大，最大值为为3700元．【解析】【分析】（1）由总利润等于每千克红茶的利润乘以销售量即可得到答案；（2）用配方法化简函数式求出y的最大值即可．【小问1详解】解：，∴y与x的关系式为：．【小问2详解】∵∴当时，销售利润y的值最大，最大值为为3700元．【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用．正确的理解题意列出二次函数关系式是解题的关键．22.如图，在中，．（1）求作，使圆心O落在边上，且经过A，B两点．（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）．（2）已知，求的半径．【答案】（1）见解析（2）2【解析】【分析】（1）分别以A，B为圆心，大于为半径在两侧作圆弧，连接圆弧的交点，与的交点为O，以O为圆心，为半径画圆即可；（2）连接，得，根据三角形外角与内角的关系求出，结合已知可得，运用第22页/共22页 角所对的直角边等于斜边的一半求出，最后由代入求解即可．【小问1详解】解：如图，小问2详解】由（1）可知，连接又故的半径为：2【点睛】本题考查了尺规作图，圆的基本性质，与三角形有关的角的计算以及“角所对的直角边等于斜边的一半”；利用线段垂直平分线的性质得出圆心是解题关键．23.为了解全校名同学对学校设置的体操、篮球、足球、跑步、舞蹈等课外活动项目的喜爱情况，在全校范围内随机抽取了若干名同学，对他们喜爱的项目（每人选一项）进行了问卷调查，将数据进行了统计，并绘制成了如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整），请回答下列问题：第22页/共22页 （1）参加问卷调查的同学共_________名，补全条形统计图．（2）在篮球社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀．现决定从这四人中任选两名参加篮球大赛，用树状图或列表法求恰好选中丙、丁两位同学的概率．【答案】（1），见解析；（2）．【解析】【分析】（1）根据条形图和扇形图中足球数据即可求出总人数，从而求出跑步的人数，补全条形统计图；（2）画树状图，结合树状图利用概率公式求解即可．【小问1详解】解：参加问卷调查的同学人数为：（名）参加跑步的人数为：（名）故答案为：，补全条形图如下，【小问2详解】解：画树状图如下，从这四人中任选两名参加篮球大赛，共有种可能；恰好选中丙、丁两位同学的可能有2种，第22页/共22页 则恰好选中丙、丁两位同学的概率为：．【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合应用，还考查了求随机抽样的概率；解题的关键是正确求出总人数及正确画树状图．24.如图1，线段上有一点，分别以，为直角边作等腰和等腰，．将绕点D顺时针旋转（如图2），连接，取的中点M，过点E作交射线于点N，与的交点为F．（1）求证：．（2）求证：．（3）求证：．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）证明，，再证明即可得到结论；（2），，可得，证明，可得，从而可得结论；（3）证明，，可得，结合，证明，可得结论．【小问1详解】证明：∵，∴，，∵的中点为M，∴，∴，第22页/共22页 ∴．【小问2详解】∵等腰和等腰，∴，，，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．【小问3详解】∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握“等腰直角三角形的判定与性质”是解本题的关键．25.如图，抛物线与y轴交于点A，与轴交于点，，P是线段下方抛物线上的一个动点，过点Р作轴的垂线，交轴于点H，交于点D．设点P的横坐标为．第22页/共22页 （1）求抛物线的解析式．（2）用含t的式子表示线段的长，并求线段长度的最大值．（3）连接，当与相似时，求点P的坐标．【答案】（1）；（2）；线段长度的最大值为．（3）或【解析】【分析】（1）把点，代入，再建立方程组求解即可；（2）先求解，再求解直线为，设点P的横坐标为．可得，，则，再利用二次函数的性质可得答案；（3）如图，连接，，而与相似，分两种情况讨论：当时，如图，当时，过作于，再求解即可．【小问1详解】解：∵抛物线与轴交于点，，∴，解得：，∴抛物线为：；【小问2详解】解：∵，当时，，第22页/共22页 ∴，设直线为，∴，解得：，∴直线为，设点P的横坐标为．∴，，∴，当时，的最大值为：．【小问3详解】解：如图，连接，∵，而与相似，∴分两种情况讨论：当时，∴，，∴轴，，∴，关于抛物线的对称轴对称，∵，，∴抛物线的对称轴为直线，而，∴；如图，当时，过作于，第22页/共22页 ∴，，设，∵，∴，∴，∴，由轴，可得，∴，∴，∴，即，∴，∴，解得：（舍去），∴．综上：或．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键．第22页/共22页