福建省泉州市惠安县2023-2024学年九年级上学期数学期末考试卷（解析版）

福建省泉州市惠安县2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.化简的结果正确的是（）A.3B.C.4D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次根式的性质和二次根式的乘法法则，根据二次根式的乘法法则得到，然后利用二次根式的性质化简即可．【详解】解：．故选：B．2.关于x的方程是一元二次方程，则的取值范围是（）A.B.C.D.为任意实数【答案】B【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟记一元二次方程的定义是解题的关键．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程，根据一元二次方程的定义得出即可．【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程，∴．故选：B．3.下列计算正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．第21页/共21页 【详解】解：A．不是同类项，不能合并，原运算错误；B．，原运算错误；C．，原运算错误；D．，运算正确．故选：D．4.下列事件中，属于随机事件的是（）A.太阳从东边升起B.从地面向上抛的硬币会落下C.射击运动员射击一次，命中环D.小明跑步速度是米秒【答案】C【解析】【分析】本题考查了随机事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，根据随机事件的定义判断即可，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的定义是解题的关键．【详解】解：、太阳从东边升起，是必然事件，故不符合题意；、从地面向上抛的硬币会落下，是必然事件，故不符合题意；、射击运动员射击一次，命中环，是随机事件，故符合题意；、小明跑步速度是米/秒，是不可能事件，故不符合题意；故选：．5.中，，，已知与相似的三角形的最长边是16，则其最短边是（）A.8B.10C.D.12【答案】A【解析】【分析】此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出对应边成比例是解题关键．直接利用相似三角形的性质对应边成比例，进而得出答案．【详解】解：∵中，，∴设其最短边是x，则，解得：．故选：A．6.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C第21页/共21页 都在横线上．若线段，则线段的长是（）A.B.1C.D.2【答案】C【解析】【分析】过点作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于、，根据题意得，然后利用平行线分线段成比例定理即可求解．【详解】解：过点作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于、，根据题意得，∵，∴，又∵，∴故选：C【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的应用，作出适当的辅助线是解题的关键．7.某数学兴趣小组开展“元旦祝福”活动，要求小组每位成员给同组的其他人各写一句祝福语，结果一共写了56份，则该小组共有（）人．A.5B.6C.7D.8第21页/共21页 【答案】D【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设该小组共有人，则每人需写份祝福语，根据“结果一共写了56份”，即可得出关于的一元二次方程，再解方程即可．【详解】解：设该小组共有人，则每人需写份祝福语，根据题意得，（不符合题意），．答：该小组共有8人．故选：D．8.如图，在中，，于D，若，则的值是（）A.2B.C.D.【答案】B【解析】【分析】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握锐角的正切定义．由余角的性质推出，得到，因此，由，求出，于是得到．【详解】解：∵，于D，∴，∴，∴，∴，∵，∴，第21页/共21页 ∴，∴．故选：B．9.若m，n为方程的两根，则的值为（）A.0B.1C.10D.15【答案】A【解析】【分析】由方程的解得定义可得，再根据根与系数的关系可得，然后对变形即可解答．本题主要考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系等知识点，根据题意得到和是解答本题的关键．【详解】解：∵m，n为方程的两根，∴，即；，∴，．故选：A．10.如图，在平面直角坐标系中，矩形的一个顶点O在坐标原点，且，反比例函数的图象经过点B和点C，则k的值是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，设点坐标为第21页/共21页 根据等角的余角相等，可得，依据点坐标，可得，再利用平移性质，可得点坐标，点、同在反比例函数图象上，建立关于的方程，联立方程组得、值，值即可算出．正确表示点的坐标是解题的关键．【详解】解：过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，，，设点，，，四边形是矩形，点可看作是由点平移得到的，点可看作是点向左平移1个单位长度，再向上平移个单位长度，，点、都反比例函数图象上，，即，，，，，第21页/共21页 ．故选：．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11.计算：（+1）（﹣1）=________．【答案】1【解析】【分析】利用平方差公式进行计算即可．【详解】解：（+1）（﹣1）=（）2﹣12=2﹣1=1，故答案为：1．【点睛】本题考查了二次根式的乘法、平方差公式，熟记平方差公式是解答的关键．12.要使二次根式有意义，则x的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数解答即可．【详解】解：∵二次根式有意义，∴，解得：．故答案为：．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件．掌握被开方数为非负数是解题关键．13.某商场为吸引顾客设计了如图所示的自由转盘，当指针指向阴影部分（含边界）时，该顾客可获奖品一份，那么该顾客获奖的概率是__________________．第21页/共21页 【答案】【解析】【分析】本题主要考查几何概率，该顾客获奖的概率等于阴影部分面积与圆面积的比．先求出在整个转盘中所占面积的比值，此比值即为获奖的概率．【详解】解：∵阴影部分占，∴其占整个圆面积的，即该顾客获奖概率为．故答案为：．14.如图，，分别是的中点，连结交于点O，的长为_____________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了三角形的重心、勾股定理逆定理、直角三角形的性质等，根据边长之间的关系以及勾股定理的逆定理可得到，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可以得到，再根据重心的概念可得到结果，熟练掌握知识点是解题的关键．【详解】解：由题意，∵，∴，∴，又D是的中点，∴，∵分别是的中点，第21页/共21页 ∴O是的重心，∴，故答案为：．15.对于任意实数，求点所在直线的解析式为____________．【答案】##【解析】【分析】此题主要考查了一次函数的知识，解题的关键是理解并掌握一次函数图像上点的坐标特征．由点的坐标得出，，由此消去可得一次函数的解析式．【详解】解：∵点，∴，，由，可得，将代入，得，整理得，∴对于任意实数，点所在直线的解析式为．故答案为：．16.如图，在，过点D作，交的延长线于点H．则______________．【答案】##【解析】【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理和三角形相似的判定与性质．先根据平行线分线段成比例定理求出的长度，即可得出的长，再根据两角分别相等的两个三角形相似证得第21页/共21页 ，再根据相似三角形的对应边成比例得出，即可求出的长．【详解】解：∵，，，即，，，，，∵，，，，又为公共角，，，即，．故答案为：．三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算：．【答案】【解析】【分析】先利用完全平方公式、二次根式的除法法则和绝对值的意义计算，然后化简二次根式后合并即可．本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．第21页/共21页 【详解】解：．18.解方程：．【答案】，【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．【详解】解：，因式分解得：，∴或，解得：，．19.如图是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成底面积是的一个无盖长方体纸盒，求剪去的正方形的边长．【答案】【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设剪去的正方形边长为，那么长方体纸盒的底面长为，宽为，根据底面积是列出方程，解方程，舍去不合题意的解，问题得解．【详解】解：设剪去的正方形边长为，依题意得，解得：．当时，，不合题意，舍去，∴．第21页/共21页 答：减去的正方形的边长为．20.为丰富校园文化生活，某校举办了中学生“棋类大比拼”活动，棋类项目有四项：A．象棋；B．跳棋；C．飞行棋：D．五子棋．比赛形式分为“单人组”和“双人组”．（1）小华参加“单人组”比赛，从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“飞行棋”的概率是．（2）小明和小红组合参加“双人组”比赛，其比赛规则是：同一组合的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次．求恰好小明和小红都没有抽到“跳棋”的概率．请用画树状图或列表的方法进行说明．【答案】（1）（2），见解析【解析】【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好小明和小红都没有抽到“跳棋”的结果数，再利用概率公式可得出答案．本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．【小问1详解】由题意可知，从中恰好抽中“飞行棋”的概率是．故答案为：．【小问2详解】画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中恰好小明和小红都没有抽到“跳棋”的结果有：共6种，∴恰好小明和小红都没有抽到“跳棋”的概率为．21.“为了安全，请勿超速”．如图，在某直线路段限速60千米/小时，一条公路建成通车，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知，米，此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：第21页/共21页 ，）【答案】没有超速，理由见解析【解析】【分析】此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系的应用，得出的长是解题关键．根据题意结合锐角三角函数关系得出，，再根据等腰三角形的性质求出，得出的长，求出汽车的速度，进而得出答案．【详解】解：此车没有超速．理由：过C作于点H，如图所示：∵，米，∴（米），（米），∵，∴为等腰直角三角形，∴米，∴（米），∵60千米/小时米/秒，∴，∴此车没有超速．22.如图，在中，，，，将沿方移a个单位得到．第21页/共21页 （1）求点C到的距离；（2）连接，当时，求a的值【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题主要考查了勾股定理，平移规律：（1）先设点C到的距离为h，利用勾股定理求出，再根据的面积，求出h即可；（2）先根据平移规律求出，从而求出，再利用已知条件和勾股定理，列出关于a的方程，解方程即可；解题关键是熟练应用勾股定理和平移规律．【小问1详解】解：设点C到的距离为h，∵，，，∴，∵，∴，则，∴点C到的距离为；小问2详解】解：将沿方移a个单位得到，∴，∵，，第21页/共21页 ∴，∵，∴，∵，∴在中，，即，化简得：，移项得：，解得：．23.如图，在中，．（1）延长至点N，使得；过点N作，与的延长线交于点D（要求：尺规作图，不写作法，要保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，延长至点M，使得，求证三点共线．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】本题考查作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．（1）根据要求画出图形；（2）假设的延长线交的延长线于点，利用同一法证明．【小问1详解】图形如图所示：【小问2详解】第21页/共21页 假设的延长线交的延长线于点．∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴M，重合，∴M，D，N共线．24.（1）如图1，是的中线，点E是边上一点，交于F，交于G．证明：平分．（2）如图2，是的中线，点M是的中点，求的值．（3）如图3，若，，求的值．【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）由是中线，得，由证明，，得，则，从而得到，即可求证；（2）作交于点G，由是的中线，点M是的中点，得，从而得到，则，即可求解；（3）作交于点H，则，可得，由，可得，，可求得，即可求得．第21页/共21页 【详解】（1）证明：如图1，∵是的中线，∴，∵交AC于F，交于G，∴，，∴，∴，∴，∴，∴平分．（2）解：如图，作交于点G，∵是的中线，点M是的中点，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：如图，作交于点H，∵，∴，第21页/共21页 ∴，∵，，∴，∴∴，∴，∴，∴．【点睛】此题重点考查三角形的中线的定义、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．25.如图，，已知直线上的两点于点B（1）如图1，若，过点C作，与直线交于点E①判断线段满足的数量关系，并说明理由；②若，求的长．（2）如图2，若，试探究线段之间的数量关系．【答案】（1）①，理由见解析；②（2）【解析】【分析】（1）①证明得出，，结合，得出是等腰直角三角形，即可得出；②过点A作，由①可得，，则，，设第21页/共21页 ，则，根据即可求出x，进而求出；（2）过点C作，先证明，根据相似比即可得到，，即可得出．小问1详解】①，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∴是等腰直角三角形，∴，∴；②过点A作，由①可得，，∵，∴，设，则，∴，解得：第21页/共21页 ∴；【小问2详解】．过点C作，连接，∵，，∴，，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．第21页/共21页 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题关键．第21页/共21页