福建省莆田擢英中学2022-2023学年九年级上学期数学期末考试卷（解析版）

莆田擢英中学九年级上学期期末考试数学试卷命题：九年级数学备课组一．选择题1.下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A.戴口罩讲卫生B.勤洗手勤通风C.有症状早就医D.少出门少聚集【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：C．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，则sinA的值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】解：如图所示，∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，∴，第23页/共23页 ∴．故选：D3.已知一个几何体如图所示，则该几何体的俯视图是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据三视图进行判断即可，注意看得见的部分用实线，看不见的部分用虚线表示．【详解】解：从上面可看，是一个矩形，矩形的中间有一条纵向的实线，实线的两侧分别有一条纵向的虚线．∴俯视图是：故选：A．【点睛】本题考查了三视图的知识，掌握“俯视图是从物体的上面看到的视图”是解本题的关键．4.关于二次函数，下列说法正确的是（　　）A.有最大值1B.有最小值﹣1C.有最大值2D.有最小值﹣2【答案】D【解析】【分析】由二次函数的性质及函数的顶点式，可得顶点坐标，进而根据二次函数的性质得出答案．【详解】解：∵二次函数，∴抛物线开口向上，顶点坐标为（1，﹣2）．∴函数的最小值为﹣2．第23页/共23页 故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的最值，明确二次函数的性质及二次函数的顶点式是解题的关键．5.关于x的一元二次方程x2+2021x+2022＝0的根的情况是（　　）A.没有实数根B.只有一个实数根C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根【答案】D【解析】【分析】计算出根的判别式的值，再进行判断即可得到结论．【详解】解：∴方程有两个不相等的实数根故选：D【点睛】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac的关系是解答此题的关键．6.一个正多边形的半径与边长相等，则这个正多边形的边数为（　　）A.4B.5C.6D.8【答案】C【解析】【分析】如图（见解析），先根据等边三角形的判定与性质可得，再根据正多边形的中心角与边数的关系即可得．【详解】解：如图，由题意得：，是等边三角形，，则这个正多边形的边数为，故选：C．【点睛】本题考查了正多边形，熟练掌握正多边形的中心角与边数的关系是解题关键．7.二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）第23页/共23页 A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据二次函数图象开口向下得到a＜0，再根据对称轴确定出b，根据与y轴的交点确定出c＜0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．【详解】解：∵二次函数图象开口方向向下，∴a＜0，∵对称轴为直线＞0，∴b＞0，∵与y轴负半轴相交，∴c＜0，∴y=bx+c的图象经过第一、三、四象限，反比例函数y=图象在第二四象限，只有D选项图象符合．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标等确定出a、b、c的情况是解题的关键．8.如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DCB的面积比为（　　）第23页/共23页 A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥CD，根据相似三角形的判定得出△BEF∽△DCF，根据相似三角形的性质和三角形面积公式求出即可．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，E为AB的中点，∴AB=DC=2BE，AB∥CD，∴△BEF∽△DCF，∴==，∴DF=2BF，=()2=，∴=，∴S△BEF=S△DCF，S△DCB=S△DCF，∴==，故选D．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定和平行四边形的性质，能熟记相似三角形的性质是解此题的关键．9.如图，在△ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（）第23页/共23页 A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据旋转的性质，对每个选项逐一判断即可．【详解】解：∵将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，∴△ABM≌△ACN，∴AB=AC，AM=AN，∴AB不一定等于AN，故选项A不符合题意；∵△ABM≌△ACN，∴∠ACN=∠B，而∠CAB不一定等于∠B，∴∠ACN不一定等于∠CAB，∴AB与CN不一定平行，故选项B不符合题意；∵△ABM≌△ACN，∴∠BAM=∠CAN，∠ACN=∠B，∴∠BAC=∠MAN，∵AM=AN，AB=AC，∴△ABC和△AMN都是等腰三角形，且顶角相等，∴∠B=∠AMN，∴∠AMN=∠ACN，故选项C符合题意；∵AM=AN，而AC不一定平分∠MAN，∴AC与MN不一定垂直，故选项D不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质．旋转变换是全等变换，利用旋转不变性是解题的关键．10.已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表：…012…第23页/共23页 …755711…若点，都在该函数图象上，则和的大小关系是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由表中对应值可得到抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口向上，然后根据两点到对称轴的距离进行判断即可．【详解】解：∵时，；时，，∴抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口向上，∵点，在抛物线上，当时，，当时，，∴距离对称轴较远，距离对称轴较近，∴，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的增减性，熟练的利用增减性比较二次函数值的大小是解本题的关键．二．填空题11.计算：______．【答案】5【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【详解】解：．故答案为：5．第23页/共23页 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．12.圆心角为，半径为2的扇形的弧长是_______.【答案】【解析】【分析】利用弧长公式进行计算.【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查弧长的计算，掌握公式正确计算是本题的解题关键.13.六张卡片的正面分别写有，，，0，，这六个数，将卡片的正面朝下（反面完全相同）放在桌子上，从中任意抽取一张，卡片上的数字为无理数的可能性大小是______．【答案】【解析】【分析】明确无理数的个数，再根据等可能事件的概率公式即可知道无理数的可能性大小；【详解】解：在这六个数中，无理数有：，，所以从中任意抽取一张，卡片的数字为无理数的可能性大小是，故答案为：【点睛】本题考查了概率的公式及无理数的定义，用到的知识点为：等可能事件概率公式所求情况数与总情况数之比，无理数是无限不循环小数．14.如图，是半圆的直径，点，在半圆上．若，则的度数为______．【答案】##度【解析】【分析】根据直径所对的圆周角是直角，可得，从而求出第23页/共23页 ，再根据圆内接四边形对角互补，即可解答．【详解】解：是半圆的直径，，，，四边形是的内接四边形，故答案为：．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．15.如图，已知在电线杆上有一个光源，身高的小明站在与电线杆底部距离的点处，其影长，若他沿方向走到达点处，此时他的影长是______．（图中，均表示小明身高）【答案】3【解析】【分析】根据题意得到，得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：如图，连接，则经过点，连接并延长交于点H，∵，∴，∴，，∴，∴第23页/共23页 ∴，解得：，答：此时他的影长是，故答案为：3．【点睛】本题考查了中心投影，相似三角形的应用：利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比成比例求物体的高度．16.如图，点为双曲线在第二象限上的动点，的延长线与双曲线的另一个交点为，以为边的矩形满足，对角线，交于点，设的坐标为，则，满足的关系式为______．【答案】【解析】【分析】连接，分别过点、作轴的垂线，垂足为、，证明，然后利用相似三角形的性质分析求解．【详解】解：连接，分别过点、作轴的垂线，垂足为、，，四边形是矩形，，，，第23页/共23页 ，，，，，，，，，，点为双曲线在第二象限上的动点，设点的坐标为，，，的坐标为，，，故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义、相似三角形判定与性质和矩形的性质，恰当的构建相似三角形，利用面积比是相似比的平方是解题关键．三．解答题17.计算：．【答案】2．【解析】【分析】根据零次幂、算术平方根、负整数指数幂和绝对值性质化简，然后再进行计算．【详解】解：原式．【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．18.随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷，现有“微信”、“支付宝”、“银行卡”和“现金”四种支付方式．第23页/共23页 （1）若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”的概率是________；（2）在一次购物中，小嘉和小琪都想从“微信”、“支付宝”和“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率（用画树状图法或列表法求解）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据概率公式即可求解；（2）根据题意画出树状图，再根据概率公式即可求解．【小问1详解】若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”支付方式的概率为，故答案为；【小问2详解】树状图如图，由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，故P（两人恰好选择同一种支付方式）【点睛】此题主要考查概率的求解，解题的关键是根据题意画出树状图，再利用概率公式求解．19.先化简，再求值：，其中，．【答案】；【解析】【详解】解：第23页/共23页 当，时原式．【点睛】本题考查了整式的加减以及化简求值，正确的计算是解题的关键．20.如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于，两点，点的横坐标为．（1）求的值及点的坐标；（2）根据图象，当时，直接写出的取值范围．【答案】（1），（2）当时，自变量x的取值范围为或．【解析】【分析】（1）先求解A的坐标，再利用待定系数法求解反比例函数解析式即可；（2）由反比例函数图象在一次函数图象的上方可得时，自变量的取值范围．【小问1详解】解：∵一次函数过A点，且点A的横坐标为，∴，∴，又∵反比例函数的图象过A，B两点，第23页/共23页 ∴，∴反比例函数关系式为，由，解得或，∴；【小问2详解】由函数的图象可得，当时，自变量x的取值范围为或．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点坐标问题，利用图象法求解不等式的解集，熟悉数形结合的方法解题是关键．21.某市为了加快5G网络信号覆盖，在市区附近小山顶架设信号发射塔，如图所示．小军为了知道发射塔的高度，从地面上的一点A测得发射塔顶端P点的仰角是45°，向前走90米到达B点测得P点的仰角是60°，测得发射塔底部Q点的仰角是30°．请你帮小军计算出信号发射塔PQ的高度．（结果精确到1米，）【答案】142.0米．【解析】【分析】先根据题意得出AC=PC，BQ=PQ，CQ=BQ，设BQ=PQ=x，则CQ=BQ=x，根据勾股定理可得BC=x，根据AB+BC=PQ+QC即可得出关于x的方程求解即可．详解】解:∵∠PAC=45°，∠PCA=90°，∴AC=PC，∵∠PBC=60°，∠QBC=30°，∠PCA=90°，∴∠BPQ=∠PBQ=30°，∴BQ=PQ，CQ=BQsin30°=BQ，第23页/共23页 设BQ=PQ=x，则CQ=BQ=x，根据勾股定理可得BC==x，∴AB+BC=PQ+QC，即90+x=x+x，解得：x==90+=90+30×1.732=141.96≈142.0，∴PQ的高度为142.0米．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，勾股定理，锐角三角函数，二次根式化简，掌握等腰三角形的性质与判定，勾股定理，锐角三角函数，二次根式化简，利用等腰直角三角形两腰相等构造方程是解题关键．22.如图，在中，．（1）请作出经过A、B两点的圆，且该圆的圆心O落在线段AC上（尺规作图，保留作图痕迹，不写做法）；（2）在（1）的条件下，已知，将线段AB绕点A逆时针旋转后与⊙O交于点E．试证明：B、C、E三点共线．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）只需要作AB的垂直平分线，其与AC的交点即为圆心O，由此作图即可；（2）先由圆周角定理求出，再由旋转的性质求出，从而得到第23页/共23页 ，证明△OBC≌△OEC得到∠OCE=∠OCB=90°，则∠OCB+∠OCE=180°，即可证明B、C、E三点共线．【小问1详解】解：如图所示，圆O即为所求；【小问2详解】解：如图所示，连接CE，OE，∵，∴，由旋转的性质可知，∴，∴，在△OBC和△OEC中，，∴△OBC≌△OEC（SAS），∴∠OCE=∠OCB=90°，∴∠OCB+∠OCE=180°，∴B、C、E三点共线．第23页/共23页 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，画圆，圆周角定理，旋转的性质，全等三角形的性质与判定等等，熟知性格知识是解题的关键．23.某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示一次函数关系．（1）求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）（2）当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元．【解析】【分析】（1）直接用待定系数法，求出一次函数的关系式；（2）根据题意，列出w与x的关系式，然后利用二次函数的性质，即可求出答案．【小问1详解】设一次函数的关系式为，由题图可知，函数图象过点和点．把这两点的坐标代入一次函数，得，解得，∴一次函数的关系式为；【小问2详解】根据题意，则，整理得：；∵，∴当时，w有最大值，最大值为800；第23页/共23页 ∴当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值，解题的关键是理解掌握题意，正确的找出题目中的等量关系，列出方程或函数关系式，从而进行解题．24.已知如图1，在中，弦于点，，，．是的中点．（1）求的长；（2）求的长；（3）如图2，若，连接交于点，试说明的度数是否会发生变化，若不变请求出的度数，并说明理由．【答案】（1）（2）（3），不会发生变化，理由见解析【解析】【分析】（1）连接，证明，可得，代入数值求出的长，再用勾股定理即可求出的长；（2）连接，由（1）可知是等腰三角形，再由E是的中点，可得，则是圆O的直径，再由同弧所对的圆周角相等，可知，根据，即可求的长；（3）设与的交点为G，过点G作交于点H，证明，设，则，在中，由勾股定理求出，再由BP垂直平分，可得，则，又由，可得，进而可求出．【小问1详解】如图，连接．第23页/共23页 ∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；【小问2详解】连接，交的交点为，∵，∴是等腰三角形，∵E是的中点，∴，∴，∴是圆O的直径，∴．在中，，∴，∵，∴，∵，第23页/共23页 ∴，∴；【小问3详解】，不会发生变化，理由如下：设与的交点为G，过点G作交于点H，由（2）知，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，设，则，在中，，解得，∴，∵，∴垂直平分，∴，∴，∵，∴，第23页/共23页 ∴．【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握同弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键．25.已知抛物线，顶点为点，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点．（1）求抛物线的最大值；（2）若当时，抛物线函数有最大值3，求此时的值；（3）若直线交轴于点，求的值．【答案】（1）（2）的值是1或（3）【解析】【分析】（1）抛物线开口向下，在顶点时有最大值，根据顶点坐标公式可得结果；（2）利用配方法得：，得抛物线对称轴是，分两种情况：当对称轴在0与2之间时，最大值就是顶点坐标的纵坐标，当对称轴在点的右侧时，随的增大而增大，时有最大值，列式可得的值；（3）用待定系数法求出的解析式，再根据两点间的距离可得、、的长，在代入式子化简即可．【小问1详解】解：抛物线开口向下，在顶点时有最大值，由顶点坐标公式得，即抛物线最大值为；【小问2详解】解：，第23页/共23页 抛物线的对称轴是：，，，分两种情况：当时，即，当时，抛物线函数有最大值，即，，当时，即，随的增大而增大，当时，时有最大值3，，解得：，（舍），综上，的值是1或；【小问3详解】解：如图，，，，当时，，解得：，，第23页/共23页 ，，设的解析式为：，则，解得，的解析式为：，当时，，，．【点睛】本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，两点的距离，最值问题，难点在于（3）利用字母系数表示线段的长，并进行运算．第23页/共23页