福建省莆田市荔城区2022-2023学年九年级上学期数学期末考试卷（解析版）

2023年荔城区质量监测九年级数学一、精心选一选（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园．六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用中心对称图形的定义直接判断．【详解】解：根据中心对称图形的定义，四个选项中，只有B选项的图形绕着某点旋转180°后能与原来的图形重合，故选B．【点睛】本题考查中心对称图形的判定，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．2.下列方程属于一元二次方程的是（　　）A.x3+x2+2＝0B.y＝5﹣xC.x+＝5D.x2+2x＝3【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数，逐一进行判断即可．【详解】A．未知数的最高次数是3，故本选项不符合题意；B．方程含有两个未知数，故本选项不符合题意；C．是分式方程，不是整式方程，故本选项不符合题意；D．符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．第24页/共24页 故选：D．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键．3.将抛物线向上平移3个单位长度得到的抛物线是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度得到的抛物线是．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，理解平移规律是解题的关键．4.“14人中至少有2人在同一个月过生日”这一事件发生的概率为P，则（　　）A.P＝0B.0＜P＜1C.P＝1D.P＞1【答案】C【解析】【分析】根据不可能事件的概率为，随机事件的概率大于而小于，必然事件的概率为1，即可判断．【详解】解：∵一年有12个月，14个人中有12个人在不同的月份过生日，剩下的两人不论哪个月生日，都和前12人中的一个人同一个月过生日∴“14人中至少有2人在同一个月过生日”必然事件，即这一事件发生概率为．故选：．【点睛】本题考查了概率的初步认识，确定此事件为必然事件是解题的关键．5.如图，在中，，则的值是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】第24页/共24页 【分析】根据相似三角形的判定定理得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．【详解】解：∴，∴，故选：B．【点睛】此题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．6.一个不透明的盒子中装有5个大小相同的乒乓球，做了1000次摸球实验，摸到黄球的频数为401，则估计其中的黄球个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】根据频率估计概率，掌握两者间的关系即可求解；【详解】解：，故估计其中的黄球个数为2．故选：B．【点睛】本题主要考查了根据频率估计概率，掌握该知识点是解题的关键．7.如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠BCD＝30°，则∠ABD的大小为（）A.60°B.50°C.40°D.20°【答案】A【解析】【分析】连接AD．利用圆周角定理求出∠ADB=90°，∠A=∠BCD=30°即可解决问题．【详解】解：连接AD．∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠A+∠ABD=90°，第24页/共24页 ∵∠A=∠BCD=30°，∴∠ABD=60°，故选：A．【点睛】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8.如图，为固定电线杆，在离地面高度为的A处引拉线，使拉线与地面上的的夹角为，则拉线的长度约为（　　）（结果精确到，参考数据：，，）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】在中，，利用正弦定义可得，代入求解即可．【详解】解：在中，，，，，（米），故选：C．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，准确理解题意，能够把实际问题转化为数学问题是解题的关键．9.第24页/共24页 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设这批椽的数量为x株，则一株椽的价钱为3（x−1）文，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：∵这批椽的数量为x株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，∴一株椽的价钱为3（x−1）文，依题意得：3（x−1）x＝6210，故选：A．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10.如图，在△ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据旋转的性质，对每个选项逐一判断即可．【详解】解：∵将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，∴△ABM≌△ACN，∴AB=AC，AM=AN，∴AB不一定等于AN，故选项A不符合题意；∵△ABM≌△ACN，∴∠ACN=∠B，第24页/共24页 而∠CAB不一定等于∠B，∴∠ACN不一定等于∠CAB，∴AB与CN不一定平行，故选项B不符合题意；∵△ABM≌△ACN，∴∠BAM=∠CAN，∠ACN=∠B，∴∠BAC=∠MAN，∵AM=AN，AB=AC，∴△ABC和△AMN都是等腰三角形，且顶角相等，∴∠B=∠AMN，∴∠AMN=∠ACN，故选项C符合题意；∵AM=AN，而AC不一定平分∠MAN，∴AC与MN不一定垂直，故选项D不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质．旋转变换是全等变换，利用旋转不变性是解题的关键．二、细心填一填（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11.在平面直角坐标系中，点（2，﹣1）关于原点对称的点的坐标是___________．【答案】（-2，1）【解析】【详解】解：点（2，―1）关于原点对称点的坐标是（―2，1）．故答案为（―2，1）．12.已知关于x的一元二次方程有一个根为1，则k的值是________．【答案】2【解析】【分析】将x=1代入一元二次方程x2+kx-3=0，即可求得k的值，本题得以解决．【详解】解：∵一元二次方程x2+kx-3=0有一个根为1，∴12+k×1-3=0，解得，k=2，故答案为：2．【点睛】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出k的值．13.在平面直角坐标系中，若点在反比例函数的图象上，则______（填“>”“=”或“<”）.第24页/共24页 【答案】＞【解析】【分析】根据反比例函数的性质，k>0，在每个象限内，y随x的增大而减小，进行判断即可．【详解】解：∵k>0，∴在每个象限内，y随x的增大而减小，，∴>．故答案为：>．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质是解决问题的关键．14.北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔的设计，体现了环保低碳理念．如图所示，它的主体形状呈正六边形．若点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点，则tan∠ABE＝_____．【答案】【解析】【分析】由正六边形的性质得AB＝BC＝AC，BE垂直平分AC，再由等边三角形的性质得∠ABC＝60°，则∠ABE＝∠ABC＝30°，即可得出结论．【详解】连接BC、AC，∵点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点，∴AB＝BC＝AC，BE垂直平分AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∵BE⊥AC，∴∠ABE＝∠ABC＝30°，∴tan∠ABE＝tan30°＝，第24页/共24页 故答案为：．【点睛】本题考查了正六边形的性质、等边三角形的判定与性质以及特殊角的锐角三角函数，熟练掌握正六边形的性质、等边三角形的判定与性质是本题的关键．15.如图，等边三角形ABC内接于，，则图中阴影部分面积是______．【答案】【解析】【分析】根据内接于圆O的等边三角形的性质可得，将阴影部分的面积转化为扇形的面积，利用扇形面积的公式计算可求解．【详解】解：∵等边三角形ABC内接于，∴点O为等边三角形ABC的中心，∴，∵，∴故答案为：【点睛】本题主要考查扇形面积的计算，等边三角形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．16.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点第24页/共24页 ，过点作轴的平行线交抛物线于点．为抛物线的顶点．若直线交直线于点，且为线段的中点，则的值为_____．【答案】2【解析】【分析】先根据抛物线解析式求出点坐标和其对称轴，再根据对称性求出点坐标，利用点为线段中点，得出点坐标；用含的式子表示出点坐标，写出直线的解析式，再将点坐标代入即可求解出的值．【详解】解：∵抛物线与轴交于点，∴，抛物线的对称轴为∴顶点坐标为，点坐标为∵点为线段的中点，∴点坐标为设直线解析式为（为常数，且）将点代入得∴将点代入得解得故答案2【点睛】考核知识点:抛物线与坐标轴交点问题.数形结合分析问题是关键.三、耐心做一做（本大题共9小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.第24页/共24页 解方程【答案】【解析】【分析】方程常数项移到右边，两边加上1，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解．【详解】解：移项得：，配方得：，即，开方得：，．【点睛】本题考查了一元二次方程求解，解题的关键是掌握配方法解一元二次方程．18.如图，在中，，E是边AC上一点，且，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：．【答案】见解析【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质得∠C=∠BEC，又由对顶角相等可证得∠AED=∠C，再由∠D=∠ABC=90°，即可得出结论．【详解】证明：∵∴∠C=∠BEC，∵∠BEC=∠AED，∴∠AED=∠C，∵AD⊥BD，∴∠D=90°，∵，∴∠D=∠ABC，∴．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理是解题的关键．19.已知关于x的一元二次方程．第24页/共24页 （1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根分别为，，且，求m的值．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式进行计算，得出，即可得证；（2）根据一元二次方程根与系数的关系得出，根据，代入进行计算即可求解．【小问1详解】解：在关于x的一元二次方程中，，，，，该方程总有两个不相等的实数根；【小问2详解】方程的两个实数根，，由根与系数关系可知，，，∴，即，解得．【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系．20.为扎实推进“五育并举”工作，某校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、围棋和足球四个社团活动，每个学生只选择一项活动参加．为了解活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，将调查结果绘成如下表格和扇形统计图．参加四个社团活动人数统计表社团活动舞蹈篮球围棋足球人数503080参加四个社团活动人数扇形统计图第24页/共24页 请根据以上信息，回答下列问题：（1）抽取的学生共有人，其中参加围棋社的有人；（2）若该校有3200人，估计全校参加篮球社的学生有多少人？（3）某班有3男2女共5名学生参加足球社，现从中随机抽取2名学生参加学校足球队，请用树状图或列表法说明恰好抽到一男一女的概率．【答案】（1）200，40（2）人（3）【解析】【分析】（1）用足球的人数除以足球所占的百分比，即可求得样本容量，进而求出参加围棋社的人数．（2）先求出参加篮球社的学生所占百分比，再乘以3200，即可得出答案．（3）用树状图表示3男2女共5名学生，现从中随机抽取2名学生参加学校足球队，所有可能出现的结果情况，进而求出答案即可．【小问1详解】抽取的学生共有：（人）,参加围棋社的有：（人）;【小问2详解】若该校有3200人，估计全校参加篮球社的学生共有（人）,【小问3详解】设事件为：恰好抽到一男一女第24页/共24页 所有等可能出现的结果总数为20个，事件所含的结果数为12个恰好抽到一男一女概率为．【点睛】本题主要考查了读统计表与扇形图的能力和利用图表获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必须认真观察，分析，研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，也考查了利用树状图或列表法求概率．21.如图，中，，将绕点C顺时针旋转得到，使得点B的对应点E落在边上（点E不与点B重合）．（1）求作（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）试判断线段、的位置关系，并证明．【答案】（1）见解析（2），证明见解析【解析】【分析】（1）作，在上截取，连接即可；（2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得出，再根据旋转的性质得出，可得结论．【小问1详解】解：如图，即为所求；第24页/共24页 【小问2详解】结论：理由：∵，∴，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题考查作图-旋转变换，平行线的判定，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．22.为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作社种植了“千亩桃园”．2022年该村桃子丰收，销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为4千元/吨时，每天可售出12吨，每吨涨1千元，每天销量将减少2吨，据测算，每吨平均投入成本2千元，为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于4千元，不高于5.5千元．请解答以下问题：（1）求每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）当批发价定为多少时，每天所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（1），（2）将批发价定为每吨5.5千元时，每天获得的利润最大，最大利润是31.5千元．【解析】【分析】（1）根据题意直接写出y与x之间的函数关系式和自变量的取值范围；（2）根据销售利润=销售量×（批发价－成本价），列出销售利润w（元）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．【小问1详解】解：根据题意得，所以每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，自变量x的取值范围是【小问2详解】解：设每天获得的利润为w千元，根据题意得，∵，第24页/共24页 ∴当，W随x的增大而增大．∵，∴当时，w有最大值，最大值为，∴将批发价定为每吨5.5千元时，每天获得的利润最大，最大利润是31.5千元．【点睛】本题考查二次函数应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．23.如图，在中，，点D是边的中点，点O在边上，经过点C且与边相切于点E，．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的半径．【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）连接，作，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，进而得出，再利用平行的性质得到，从而得到，推出平分，最后利用角平分线的性质得到，即可证明结论；（2）根据，可设，则，利用勾股定理求出，得到，，设的半径为，则，，根据得到，即可求出的半径．【小问1详解】证明：连接，过点O作交于点G，，点D是边的中点，，，第24页/共24页 ，，，平分，点O在边上，，，，是的半径，是的半径，是的切线；【小问2详解】解：，，，设，则，，在中，，，，，设的半径为，则，，，，，，，．【点睛】第24页/共24页 本题考查了圆的切线的性质和判定，直接三角形的性质，角平分线的判定和性质，勾股定理，三角函数，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆的切线的性质和判定是解题关键．24.如图1，已知和为等腰三角形，其中，，，点B、C、D在同一直线上，连接，过点D作交AC的延长线于点F，连接BF．（1）求证：；（2）若，求证：；（3）如图2，延长与相交于点M，若，求的值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）．【解析】【分析】（1）根据等边对等角得到，，由根据平行线的性质得到，，易证四边形是平行四边形，结合平行四边形的性质可证；（2）由（1）可知，四边形是平行四边形求得结合已知证得，利用相似三角形的性质可得即，结合可得结果；（3）连接，延长交于点N，由（1）可知四边形是平行四边形结合已知可得四边形是平行四边形，结合平行四边形性质可证，设，根据相似三角形性质可得，根据易证，根据相似三角形性质可得、第24页/共24页 ，用表示出、，代入中求解即可，最后化简得到结果．【小问1详解】证明：，，，，，，，，，即，，四边形是平行四边形，，，在与中，；【小问2详解】由（1）可知，，四边形是平行四边形，，，，，又，，，，，，，第24页/共24页 ；【小问3详解】连接，延长交于点N，由（1）可知四边形是平行四边形，，可得四边形是平行四边形，，设，，，，，，，，，，，，，第24页/共24页 整理得：，解得：或（不合题意，舍去），，．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、平行四边形的判定和性质、相似三角形的判定和性质；运用相关性质证明三角形相似，并灵活运用相似三角形的性质是解题的关键．25.已知抛物线经过，两点，与c轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．（1）求抛物线的解析式；（2）点C为第四象限抛物线上一动点，直线与y交于点D，连接．①如图1，若时，求点C的坐标；②如图2，直线与抛物线交于点E，连接．问：是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）（2）①；②是定值，定值为，理由见解析【解析】【分析】（1）利用待定系数法，将，代入，即可求解；（2）①解，求出A、B两点坐标；作轴于点H，证明第24页/共24页 ，得出，设，用含t的代数式表示出，，，代入求出t值即可；②利用待定系数法依次求出直线和的解析式，将直线的解析式与抛物线的解析式联立，求出点E的坐标，再根据，即可证明是定值．【小问1详解】解：抛物线经过，两点，，解得，抛物线的解析式为；【小问2详解】解：①由（1）知，令，则，解得，，点A在点B的左侧，，．如图，作轴于点H，若，则，轴，第24页/共24页 ，，又，，，，点C为在抛物线的第四象限上，设，，，，，化简得，解得，点C在第四象限上，，，此时，点C的坐标为；②是定值，定值为，理由如下：设直线的解析式为，第24页/共24页 将，代入，可得，解得，直线的解析式为，令，则，．设直线的解析式为，将，代入，可得，解得，直线的解析式为，联立，解得或，点E的横坐标为，点E的纵坐标为：，，，第24页/共24页 ．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质、求一次函数解析式、求抛物线与坐标轴的交点、求抛物线与直线的交点、利用坐标求三角形的面积等知识点，综合性较强，难度较大，解题的关键是能够综合运用上述知识，熟练运用数形结合思想．第24页/共24页