福建省福州城门中学2023-2024学年高二上学期期末模拟数学试卷（解析版）

福州城门中学2023-2024学年上学期1月高二数学模拟考（命题：林艳校对：许美金审核：严季隆组长）姓名班级座号成绩一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据已知条件，结合直线的倾斜角与斜率的关系，即可求解．【详解】设直线的倾斜角为，，直线可化为，所以直线的斜率，，故选：D．2.向量，，若，则（）A.，B.，C.，D.【答案】B【解析】【分析】由向量平行的坐标表示列方程求参数即可.【详解】由题设，故.故选：B3.已知数列是等差数列，是其前n项和，，则（）A.160B.253C.180D.190【答案】B 【解析】【分析】根据条件，求出等差数列的首项，再利用等差数列的前项和公式即可求出结果.【详解】设数列的首项为，公差为，因为，所以，解得，所以，故选：B.4.已知表示的曲线是圆，则的值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】方程配方后得，根据圆的半径大于0求解.【详解】由方程可得，所以当时表示圆，解得.故选：C.5.已知直线l过定点，且方向向量为，则点到l的距离为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先计算与的夹角的余弦值得出直线与直线的夹角的正弦值，再计算点到直线的距离．【详解】由题意得，所以，又直线的方向向量为，则，所以，设直线与直线所成的角为， 则，则，所以点到直线的距离为．故选：A．6.已知抛物线的焦点到其准线的距离为是抛物线上一点，若，则的最小值为（）A.8B.6C.5D.4【答案】D【解析】【分析】由抛物线的焦点坐标求得，设在准线上的射影为，利用抛物线的定义进行转化后易得最小值．【详解】由焦点到其准线的距离为得；设在准线上的射影为如图,则，当且仅当共线时取得等号．所以所求最小值是4．故选：D．7.若,则的值为()A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】因为,所以,即可求得答案.【详解】,解得:故选:B.【点睛】本题考查了求导数值,解题关键是掌握常见函数的导数求法,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.8.等比数列中，，数列，的前n项和为，则满足的n的最小值为（）A.6B.7C.8D.9【答案】A【解析】【分析】根据等比数列通项公式得到，之后代入题中式子求得，利用裂项相消法求和，之后求得所满足的条件，最后确定出的最小值.【详解】由题意得，所以，所以，令，整理得，解得，故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知直线，其中，下列说法正确的是（）A.当时，直线与直线垂直B.若直线与直线平行，则C.直线过定点D.当时，直线在两坐标轴上的截距相等 【答案】AC【解析】【分析】当时，利用直线的斜率关系可判断A选项；利用两直线平行求出实数的值，可判断B选项；求出直线所过定点的坐标，可判断C选项；利用截距式方程可判断D选项.【详解】对于A选项，当时，直线的方程为，直线的斜率为，直线的斜率为，因为，此时，直线与直线垂直，A对；对于B选项，若直线与直线平行，则，解得或，B错；对于C选项，对于直线，由可得，所以，直线过定点，C对；对于D选项，当时，直线的方程为，即，此时，直线在两坐标轴上的截距不相等，D错.故选：AC.10.已知在等比数列中，满足，，是的前项和，则下列说法正确的是（    ）．A.数列是等比数列B.数列是递增数列C.数列是等差数列D.数列中，，，仍成等比数列【答案】AC【解析】【分析】先求出等比数列的和，根据等比数列的定义判断A；根据数列单调性的定义判断B；根据等差数列的定义判断C；根据等比中项的定义判断D.【详解】等比数列，且，，，， 对于A，，，是等比数列，故A正确；对于B，，，，且，是递减数列，故B错误；对于C，设，则，是等差数列，故C正确；对于D，，，，因为，故数列{}中，，，不成等比数列，故D错误.故选：AC.11.已知在棱长为1的正方体中，点分别是，，的中点，下列结论中正确的是（）A.平面B.平面C.三棱锥的体积为D.直线与所成的角为【答案】ABD【解析】【分析】根据线面平行的判定定理判断A；利用空间向量的数量积的运算，证明线面位置关系判断B；根据割补法求得三棱锥的体积判断C；利用空间角的向量求法求得直线与所成的角判断D.【详解】对于A，在正方体中，,平面，平面，故平面，A正确；对于B，以D为坐标原点，以为轴，建立空间直角坐标系， 连接，，则,则，，则，，故，即,而平面，故平面，B正确；对于C，连接，三棱锥的体积，C错误；对于D，连接EF，，则，故，即，由于异面直线所成角大于小于等于，故直线与所成的角为，D正确，故选：ABD12.已知抛物线的焦点为，点为抛物线上两个位于第一象限的动点，且有．直线与准线分别交于两点，则下列说法正确的是（） A.当时，B.当时，C.当时，D.当时，延长交准线于【答案】ACD【解析】【分析】易得抛物线的焦点为，准线为，则，，求出的坐标即可判断A；根据即可判断B；结合B选项即可判断C；结合A选项，求出，即可判断D.【详解】抛物线的焦点为，准线为，则，由，得，对于A，当时，，则，，故A正确；对于B，当时，可得，，则，设直线，把代入，可得，令，则，同理，则，因为，所以， 所以，故B错误；对于C，由B选项知，，故C正确；对于D，当时，，则，，，由选项A知，，，，故D正确．故选：ACD．【点睛】思路点睛：求三角形面积的比值可转化为边长的比值，进而可转化为相似比问题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线在点处的切线方程为_______.【答案】【解析】【分析】根据题意，结合导数的几何意义，即可求解.【详解】由函数，可得，则，故曲线在点处的切线方程为：，即.故答案为：. 14.以为圆心，且与直线相切的圆的标准方程是______.【答案】【解析】【分析】由相切关系得圆的半径，得圆的标准方程.【详解】圆心到切线的距离，所以圆的半径，所以圆的标准方程为.故答案为：.15.已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】两个向量的夹角为钝角等价于且与不共线.【详解】由；由.综上：且.故答案为：.16.已知椭圆：的离心率为，左顶点是，左、右焦点分别是，，是在第一象限上的一点，直线与的另一个交点为．若，且的周长为，则直线的斜率为_______．【答案】【解析】【分析】由平行关系得出对应线段成比例，结合椭圆定义，表示出长度，利用余弦定理求出，即可得出结果. 【详解】由题知，离心率，则，又，即，则，可得，所以，又因为，可得，又，所以，在中，由余弦定理得，可知为锐角，则，所以，即斜率为.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知点和直线．（1）若直线经过点P，且，求直线的方程； （2）若直线过原点，且点P到直线，l的距离相等，求直线的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根据两直线垂直可求出直线的斜率为2，然后利用点斜式即可求解；(2)先求出点P到直线l的距离，然后分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论即可求解.【小问1详解】由直线l的方程可知它的斜率为，因为，所以直线的斜率为2．又直线经过点，所以直线的方程为：，即．【小问2详解】点P到直线l的距离为：，①当直线的斜率不存在时，的方程为：，点P到直线的距离为2，与已知矛盾；②当直线的斜率存在时，可设直线的方程为：，则，解得．所以，直线的方程为：．18.已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，.（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和.【答案】（Ⅰ）..（Ⅱ）.【解析】 【详解】试题分析：根据等差数列和等比数列通项公式及前项和公式列方程求出等差数列首项和公差及等比数列的公比，写出等差数列和等比孰劣的通项公式，利用错位相减法求出数列的和，要求计算要准确.试题解析：（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.由已知，得，而，所以.又因为，解得.所以，.由，可得.由，可得，联立①②，解得，由此可得.所以，的通项公式为，的通项公式为.（Ⅱ）解：设数列的前项和为，由，有，，上述两式相减，得得.所以，数列的前项和为.【考点】等差数列、等比数列、数列求和【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法和分组求和法等，本题考查错位相减法求和.19.（1）已知函数．若曲线在点（x0，f（x0））处的切线斜率为，求x0的值；（2）若函数f（x）满足，求的值【答案】（1），（2）.【解析】 分析】（1）由可解出答案；（2）求出，然后令可得答案.【详解】（1）函数f（x）的定义域为R，求导得，因为曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线斜率为，所以，即，解得；（2）因为，所以，令x＝1，则，所以.20.在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上．（1）求圆的方程；（2）若圆与圆相交于A、B两点，求弦长．【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）写出曲线与坐标轴的交点坐标，利用圆心的几何特征设出圆心坐标，构造关于圆心坐标的方程，通过解方程确定出圆心坐标，进而算出半径，写出圆的方程；（2）根据圆与圆相交得相交直线所在方程，利用直线与圆求相交弦长即可.【小问1详解】曲线与轴的交点为，与轴的交点为,，,．可知圆心在直线上，故可设该圆的圆心为，则有，解得， 故圆的半径为，所以圆的方程为；【小问2详解】的方程为．即圆D：，即两圆方程相减，得相交弦AB所在直线方程为圆C的圆心到直线距离为，所以.21.平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点.（1）求证：.（2）求与平面所成角的正弦值.（3）在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，.【解析】【分析】（1）取中点，连接，可由线面垂直证明线线垂直得证；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角；（3）求出平面CNM的一个法向量，根据平面垂直可得法向量数量积为0求解即可.【小问1详解】取中点，连接，如图， 又为的中点，，由，则，又为等腰直角三角形，，,，又，平面，平面，又平面，【小问2详解】由（1）知，，又平面平面，是交线，平面，所以平面，即两两互相垂直，故以为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，如图，设，则，，，，设为平面的一个法向量，则，令，即，设与平面所成角为，，即与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】若存在N使得平面平面，且，，则，解得，又，则，，设是平面CNM的一个法向量，则，令b=l，则，，解得，故存N使得平面平面，此时.22.已知双曲线经过点，双曲线的右焦点到其渐近线的距离为2.（1）求双曲线的方程；（2）已知为的中点，作的平行线与双曲线交于不同的两点，直线与双曲线交于另一点，直线与双曲线交于另一点，证明：三点共线.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式求解；（2）利用韦达定理以及斜率公式证明三点共线.【小问1详解】因为双曲线的渐近线方程为，所以双曲线的右焦点到其渐近线的距离为.因为双曲线经过点，所以，解得.故双曲线的方程为.【小问2详解】 证明：因为为的中点，所以.设直线的方程为，所以，直线的方程为，直线方程为.联立,可得，所以又因为，所以，则.同理可得.,， 所以.故三点共线.