福建省南平第一中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试卷（Word版附解析）

2023-2024学年高二第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知空间的直线，m，n和平面，，，下列命题正确的是（）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则【答案】C【详解】选项A中，当，时，与有可能相交、平行、异面，所以A错误；选项B中，当，时，平面，有可能相交，所以B错误；选项C中，当，时，由线面垂直的性质可知，所以C正确.选项D中，当，时，与有可能相交、异面，所以D不正确；故选：C.2.两直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为（）A.4B.C.D.【答案】D【详解】因为两直线平行，所以，解得m=2，将6x+2y+1=0化为3x+y+=0，由两条平行线间的距离公式得d==，故选：D.3．设双曲线与椭圆：有公共焦点，.若双曲线经过点，设为双曲线与椭圆的一个交点，则的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】A【详解】由题得，双曲线中，所以，双曲线方程为： ，假设在第一象限，根据椭圆和双曲线的定义可得：，解得：，，所以根据余弦定理，故选：A4．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CC1，P是A1C1的中点，则异面直线BC与AP所成角的余弦值为（）A．0B．C．D．4．D【详解】如图，取的中点Q，连接.因为，所以即异面直线与所成的角或其补角.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,设，则，在三角形APQ中，由余弦定理得：.故选：D5．已知椭圆，，分别为椭圆的左､右顶点，若在椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．5．A【详解】由题意，椭圆，可得，， 设，代入椭圆的方程，可得，则，即，即.又因为，所以.故选：A.6．在中，，，，点在该三角形的内切圆上运动，当最大时，则的值为（    ）A．B．C．D．【答案】A【详解】在中，因为，，，所以，所以为直角三角形，其中.以B为原点，分别为轴正方向建立直角坐标系，则,,.所以直线.设的内切圆.因为点在该三角形的内切圆上运动，所以.，（当且仅当时等号成立）此时.所以，而,所以. 故选：A7.如图，内角所对的边分别为，且，延长至，是是以为底边的等腰三角形，，当时，边（）A.B.C.D.【解析】：已知且，则由余弦定理代入，化简得：，又由，所以∠，∠，∠，根据等腰三角形的性质，设，所以有整理得故，故选A.8．在直角坐标系xOy中，F1(-c，0)，F2(c，0)分别是双曲线C：的左、右焦点，位于第一象限上的点P(x0,y0)是双曲线C上的一点，△PF1F2的外心M的坐标为，△PF1F2的面积为2a2，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y＝±xB．y＝xC．y＝xD．y＝±x8．D【详解】由△PF1F2的外心M，知：，∴在△中，，即，故∠F1PF2＝，在△中，，而，∴，即， ∴，而，∴由题意知：，故双曲线的渐近线方程为：．故选：D．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．若双曲线：与圆：有4个交点，则的渐近线方程可能为（）A．B．C．D．【答案】ABD【详解】因双曲线：与圆：有4个交点，则有双曲线的顶点在圆内，于是有，从而得，而双曲线的渐近线方程为，所以双曲线的渐近线方程可能为A，B，D，不可能为C.故选：ABD10．已知圆C：，直线l：.下列说法正确的是（）A．直线l恒过定点B．圆C被y轴截得的弦长为C．直线l被圆C截得弦长存在最大值，此时直线l的方程为D．直线l被圆C截得弦长存在最小值，此时直线l的方程为10．BD【详解】将直线l的方程整理为，由，解得. 则无论m为何值，直线l恒过定点，故A不正确；令，则，解得，故圆C被y轴截得的弦长为，故B正确；无论m为何值，直线l不过圆心，即直线l被圆C截得的弦长不存在最大值，故C错误；当截得的弦长最短时，此时直线l垂直于圆心与定点的连线，则直线l的斜率为，此时直线l的方程为，即，故D正确.故选：BD.11．已知正方体的棱长为，下列四个结论中正确的是（）A．直线与直线所成的角为B．直线与平面所成角的余弦值为C．平面D．点到平面的距离为.【详解】如图以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，， 对于A：，，因为，所以，即，直线与直线所成的角为，故选项A正确；对于C：因为，，，所以，，所以，，因为，所以平面，故选项C正确；对于B：由选项C知：平面，所以平面的一个法向量，因为，所以，即直线与平面所成角的正弦值为，所以直线与平面所成角的余弦值为，故选项B正确；对于D：因为，平面的一个法向量，所以点到平面的距离为，故选项D不正确故选：ABC.12．已知是椭圆（）和双曲线（）的公共焦点，是他们的一个公共点，且，则以下结论正确的是（　　）A．B．C．D．的最小值为12．BD【分析】根据椭圆与双曲线有相同的焦点可判断A，根据椭圆与双曲线的定义及余弦定理可判断B；由分析B中所得结论可判断C；利用“1”的变形及均值不等式即可判断D. 【详解】由题意可得，所以错误；可设是第一象限的点，，，由椭圆的定义可得，，解得，，又，因为，在△中，由余弦定理可得，化为，则，故正确；由，可得，即有，故错误；由，当且仅当，取得等号，即有的最小值为，故正确．故选：三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知直线：，：，若，则m的值为【答案】-1或2【详解】：因为，所以解得：或14.已知点在圆上，点、，当最大时，则线段的长度为.【详解】圆的圆心为，半径为，直线的方程为，即，如下图所示：当最大时，与圆相切，连接、，可知，，，由勾股定理可得，15.已知点、、、、，如果直线、 的斜率之积为，记，，则___________.【答案】【解析】由题意，化简可得，在椭圆中，，，，所以，、为椭圆的两个焦点，因此，.故答案为：.16.已知三棱锥满足底面，在中，，，，是线段上一点，且．球为三棱锥的外接球，过点作球的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为，则球的表面积为.【解析】将三棱锥补成直三棱柱，且三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球，记三角形的中心为，设球的半径为，，则球心到平面的距离为，即，连接，则，∴，在中，取的中点为，连接，，则，，∴．在中，，由题意得到当截面与直线垂直时，截面面积最小， 设此时截面圆的半径为，则，所以最小截面圆的面积为，当截面过球心时，截面面积最大为，∴，，球的表面积为．(或将三棱锥补成长四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，已知P为平面内的一个动点，三角形周长为定值.（1）求动点P的轨迹方程；（2）若P的轨迹上有一点满足，求的值.解：（1）依题可知，，所以，故动点P的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆（除去两点），由，，所以，即动点P的轨迹方程为．（2）因为点满足，则有，且，，，即①，而点在椭圆C上，则②，取立①②消去，得，所以.18.（12分）已知分别为内角的对边，若同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③；④．（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？（2）请在（1）所有组合中任选一组，求对应的面积． 【答案】（1）序号组合为①②③，①②④（2）答案不唯一，具体见解析【解析】（1）对于③，；对于④，，即，且，则，故③，④不能同时存在，则满足有解三角形的序号组合为①②③，①②④．（2）选①②③：时，由余弦定理：，整理得：且，则，的面积为．选①②④：时，由余弦定理：，整理得：，则，的面积．19（12分）．已知圆C经过点A(1,3)、B(2,2)，并且直线m：3x－2y＝0平分圆C.（1）求圆C的方程；（2）过点D(0,1)，且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M、N，且·＝12，求k的值．[解析]　(1)线段AB的中点E，kAB＝＝－1，故线段AB的中垂线方程为y－＝x－，即x－y＋1＝0…………………………………………….1分因为圆C经过A、B两点，故圆心在线段AB的中垂线上． 又因为直线m：3x－2y＝0平分圆C，所以直线m经过圆心．由即x－y＋1＝0与3x－2y＝0的交点即圆心所以圆心的坐标为C(2,3)…………………………………..2分而圆的半径r＝1………………………………………………3分………………………………….5(2)直线l的方程为y＝kx＋1.圆心C到直线l的距离d＝，—————6分d＝<1，两边平方整理得：3k2－8k＋3<0，解之得：<k<…………………………………7分将直线l的方程与圆C的方程组成方程组得，将①代入②得：(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0，设M(x1，y1)、N(x2，y2)，则由根与系数的关系可得：x1＋x2＝，x1x2＝，—————9分而y1y2＝(kx1＋1)·(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1，所以·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝(1＋k2)·＋k·＋1＝＋8，……………………………………………………..11分故有＋8＝12，整理k(1＋k)＝1＋k2，解得k＝1.此时有Δ>0，所以k值为1………………………………………….12分20．（12分）已知双曲线E：的离心率为2，点在E上.（1）求E的方程：（2）过点的直线交E于不同的两点A，B（均异于点P），求直线PA，PB的斜率之和.20．（1）；（2）.【详解】（1）由已知可得，∴，解得①又∵点在E上，∴②由①②可得，.∴双曲线E的方程为........3分（2）过点的直线l斜率显然存在， 设l的方程为：，，，将l的方程代入双曲线E的方程并整理得，.......5分依题意，且，所以且，......6分因此，可得，........7分∴........12分21．（12分）如图，四棱锥中，底面为正方形，△为等边三角形，平面底面，为的中点．（1）求证：；（2）在线段（不包括端点）上是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．21．（1）证明见解析；（2）存在；点为靠近点的三等份点． 【详解】（1）取的中点连，∵，∴，又面面，面面，面，∴面，.......2分法一：面，则，在正方形内，分别为的中点，∴，则有，又，∴，∴，，∴平面，.......4分又平面，∴．.......5分法二：取的中点，连，则两两垂直，∴分别以，，所在的直线为轴，轴，轴建立如图空间直角坐标系．设，则，，，，.......3分∴，，则有，∴．.......5分 （2）由（1）中法二，所得空间直角坐标系，易知，，，，设，则，.......6分设面的法向量为，则，即，令，则．.......8分设直线与平面所成角的为，，......9分∴整理得：.......10分，即．.......11分∴在上存在点，使得直线与平面成角的正弦值为，此时点为靠近点的三等份点，即．.......12分22．（12分）已知椭圆经过点，且其右焦点为（1,0），过点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点．（1）求椭圆的方程；（2）设为坐标原点，线段上是否存在点，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由； （3）过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称点为，试证明：直线过定点．22．（1）；（2）存在，；（3）证明见解析．【详解】（1）椭圆右焦点，且经过点，，解得，椭圆的方程为：．.......2分（2）设直线的方程为：，，代入，得：，恒成立．设，，，，线段的中点为，，则，，.......4分由，得：，直线为直线的垂直平分线，直线的方程为：，.......5分令得：点的横坐标，......6分，，．线段上存在点，使得，其中．.......7分（3）证明：设直线的方程为：，，代入，得：，过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，由，得：， 设，，，，，，则，，.......9分则直线的方程为，令得：.......10分．直线过定点．.......12分22．（12分）在平面直角坐标系中，已知点到点的距离与到直线的距离之比为．（1）求点的轨迹的方程；（2）过点且斜率为的直线与交于A，B两点，与轴交于点，线段AB的垂直平分线与轴交于点，求的取值范围．解：（1）设，由题意，因为，所以，即，两边平方并整理得．故点的轨迹的方程为．.........................4 （2）设直线方程为，联立，消并整理得，，设，，则，，又，可得线段中点坐标为，..............6所以线段中垂线的方程为，令，可得，对于直线，令，可得，...........8所以又，所以，................10令，则，因为在上单调递增，所以，故．.................12