重庆市 2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题（Word版附解析）

重庆市开州中学高2025届2023秋季第一次质量检测（数学）试题一、单选题（每小题5分，共40分）1.直线的倾斜角为（）A.0B.C.D.不存在【答案】B【解析】【分析】利用倾斜角定义分析运算即可得解.【详解】解：直线即为轴，轴和轴垂直，又知倾斜角范围是，∴由定义可知直线倾斜角为.故选：B.2.若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则的值是（）A.－3B.－4C.3D.4【答案】A【解析】【分析】根据两平面平行得到两法向量平行，进而得到方程组，求出，得到答案.【详解】∵，∴，故存在实数，使得，即，故，解得，∴.故选：A 3.已知，则点A关于平面的对称点的坐标是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据坐标平面的对称性求解．【详解】点A关于平面的对称点的坐标是，故选：B．4.某节物理课上，物理老师讲解光线的入射、反射与折射，为了更好地解释光线的路径，物理老师将此问题坐标化如下：已知入射光线从射出，经过直线的点后第一次反射，若此反射光线经过直线上的点时再次反射，反射后经过点，则可以求得直线的斜率为（）A.B.C.4D.3【答案】D【解析】【分析】分别求出关于的对称点，关于的对称点，所求斜率即为的斜率，【详解】作出图形如图所示，分别作关于的对称点，以及关于直线的对称点，则.故选：D5.一次函数与为常数，且，它们在同一坐标系内的图象可能为（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据图象分析b、k取值符号进行判断即可．【详解】对于选项A中，直线的直线的∴A错；对于选项B中，直线的直线的，∴B错；对于选项C中，直线的直线的∴C对；对于选项D中，直线的直线的∴D错．故选：C．6.已知直线过点，直线的一个方向向量为，则到直线的距离等于（）A.B.C.D.5【答案】C【解析】【分析】根据点线距公式求得正确答案.【详解】，，，所以到直线的距离为. 故选：C7.如图，两条异面直线a，b所成角为，在直线a，b上分别取点，E和点A，F，使且．已知，，．则线段的长为（）A.2或B.4C.2或4D.4或【答案】C【解析】【分析】根据向量的线性运算可得，两边平方，利用向量的数量积运算，结合题意可得结果.【详解】由题意知，所以，展开得，异面直线，所成角为，代入得，所以或，故选：C.8.已知，，若，则（）A.B.C.或D.【答案】D【解析】【分析】都为平面内的点集，即两点集对应的几何图形无公共点，数形结合解决问题.【详解】集合 表示平面内一条直线，但不包含点；由，得，不论取何值，直线恒过，对于的每一个取值，集合都表示平面内过定点的一条直线.当时，集合表示的直线的方程为，此时直线与直线重合，有无数个公共点，即，不满足题意；当时，直线与直线不重合，相交于点，又，即，满足题意.故选：D.二、多选题（每小题至少两个选项正确，选不全得2分，选错得0分，共20分）9.下列命题正确的是（）A.任何直线方程都能表示为一般式B.两条直线相互平行的充要条件是它们的斜率相等C.直线与直线的交点坐标是D.直线方程可化为截距式为【答案】AC【解析】【分析】根据具体条件对相应选项作出判断即可. 【详解】对A：直线的一般是方程为：，当时，方程表示水平线，垂直轴；当时，方程表示铅锤线，垂直轴；当时，方程表示任意一条不垂直于轴和轴的直线；故A正确.对B：两条直线相互平行的充要条件是它们的斜率相等且不重合，故B错.对C：联立，解得，故C正确.对D：若或时，式子显然无意义，故D错.故选：AC.10.下列结论正确的是（）A.两个不同的平面的法向量分别是，则B.直线的方向向量，平面的法向量，则C.若，则点在平面内D.若是空间的一组基底，则向量也是空间一组基底【答案】ACD【解析】【分析】根据平面向量的法向量垂直判断A，根据直线与平面的关系判断B，根据空间中共面基本定理判断C，由空间向量基本定理判断D.【详解】因为，所以，故A正确；因为直线的方向向量，平面的法向量，不能确定直线是否在平面内，故B不正确；因为，所以，，共面，即点在平面内，故C正确；若是空间的一组基底，则对空间任意一个向量，存在唯一的实数组， 使得，于是，所以也是空间一组基底，故D正确.故选：ACD.11.如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，则下列说法正确的是（    ）A.四面体的体积为B.向量在方向上的投影向量为C.直线与直线垂直D.直线与平面所成角的正弦值为【答案】AB【解析】【分析】以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立空间坐标系，利用体积公式判断A；利用空间向量法判断BCD.【详解】以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立空间坐标系，如图所示： 则，，，，，，，对于A，因为，故正确；对于B，因，，所以，，，所以在方向上的投影向量为：，故正确；对于C，因为，，，所以与不垂直，即直线与直线不垂直，故错误；对于D，，在正方体中，易知平面，得平面，即平面的法向量，设直线与平面的夹角为，则，故错误.故选：AB12.已知点，，直线上存在点P满足，则直线可能为（    ）A.-2B.0C.1D.3【答案】CD【解析】【分析】变形后求出直线过定点，且斜率为，结合，故只需与线段有交点，结合，，求出，得到，得到答案.【详解】变形为，故直线过定点，且斜率为，又， 要想直线上存在点P满足，即与线段有交点，因为，，故，解得，故CD满足要求，AB错误.故选：CD三、填空题（每小题5分，共20分）13.直线过点，且斜率是倾斜角为的直线斜率的二倍，则直线的方程为_______【答案】【解析】【分析】根据倾斜角与斜率的关系，结合点斜式方程，可得答案.【详解】倾斜角为的直线的斜率，则直线的斜率，由点斜式方程可得，整理可得：.故答案为：.14.已知，则在上的投影向量为_______(用坐标表示) 【答案】【解析】【分析】根据投影向量的定义，结合数量积的坐标运算即可求解.【详解】由得，在上的投影向量为，故答案为：15.已知直线，，则直线与之间的距离最大值为______.【答案】5【解析】【分析】分别求出直线，过的定点，，当与两直线垂直时距离最大，且最大值为，由此即可求解．【详解】直线化简为：，令且，解得，，所以直线过定点，直线化简为：，令且，解得，，所以直线过定点，，当与直线，垂直时，直线，的距离最大，且最大值为，故答案为：5．16.棱长为的正方体中，分别是平面和平面内动点，，则的最小值为_______ 【答案】##【解析】【分析】利用对称将的最小值问题转化为求解点到平面的距离，再建立直角坐标系，利用法向量方法求解点面距.【详解】如图，取点关于平面的对称点，设点到平面的距离为,则，，以为坐标原点，以为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，则点是线段靠近的三等分点，又正方体棱长为，则，则，且，设平面的法向量为，则，取，则，则，则点到平面的距离 .【点睛】空间几何体中的距离之和的最值问题处理一般有以下方法：（1）借助参数表达，转化为函数最值求解；（2）利用展开图，将空间距离和转化为平面内距离和问题，再利用两点之间线段最短求解；（3）借助对称，化线（面）的同侧为线（面）的异侧，转化为点点（点线、点面）距离求解，等等.四、解答题（第17题10分，第18、19、20、21、22题每题12分，共70分）17.已知点，直线过点，（1）若A到直线距离为2，求直线方程；（2）若A、B到直线距离相等，求直线的方程.【答案】（1）或者（2）或者【解析】【分析】（1）先考虑斜率不存在的情况，再考虑斜率存在的情况，设出直线写出点到直线的距离公式求解即可；（2）先考虑斜率不存在情况，再考虑斜率存在的情况，设出直线分别写出两点到直线的距离，相等求解即可；【小问1详解】①若直线斜率不存在，此时过点的直线为直线，点到直线的距离为2，符合要求；②若直线斜率存在，设为，则直线方程为，所以点到直线的距离为，解得，直线为，即， 所以直线方程为或者；【小问2详解】①若直线斜率不存在，此时过点的直线为直线，点到直线的距离为2，点到直线的距离为0，不符合条件；②若直线斜率存在，设为，则直线方程为，此时点到直线的距离为，点到直线的距离为，又，所以，解得或者，所以直线为或者，即或者.18.已知向量．（1）若，求实数；（2）若向量与所成角为钝角，求实数的范围．【答案】（1）（2）且【解析】【分析】（1）根据空间向量平行的坐标运算求解即可得到答案.（2）根据题意得到，再结合（1）的情况即可得到答案.【小问1详解】，，因为，所以，即，所以.【小问2详解】 ，，因为向量与所成角为钝角，所以，即，解得.当与平行时，由（1）知：，所以向量与所成角为钝角，实数的范围且.19.如图，棱长为1的正四面体OABC中，，点M满足，点N为BC中点，（1）用表示；（2）求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据空间向量线性运算求解即可.（2）根据，再平方求解即可.【小问1详解】连接，如图所示： 因为，，所以.【小问2详解】因为正四面体的棱长为1，所以，所以，所以.20.已知直线，且，（1）求的值；（2）直线过点与交于，，求直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据直线与直线平行的充要条件，列出方程求解即可；（2）根据两平行线间距离可判断垂直，利用斜率关系即可求解直线的斜率，进而可求解方程.【小问1详解】因为，所以，整理得，解得或．当时，，，符合题意， 当时，，，与重合，不满足题意．综上，．【小问2详解】由（1）得，，所以两直线之间的距离为，而，所以直线与均垂直，由于，所以，故直线方程为21.如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点，且平面.（1）求平面与平面所成的角；（2）侧棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求出点的位置；若不存在，试说明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）连接，交于点，利用线面垂直判定可证得平面，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法可求得结果；（2）假设，满足平面，由线面平行的向量判定方法可构造方程求得的 值，由此可得结论.【小问1详解】连接，交于点，连接，四边形为正方形，为中点，；，，，，，平面，平面，以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，，，，，，，平面，平面，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，，即平面与平面所成角的余弦值为，平面与平面所成的角为.【小问2详解】假设在上存在一点，满足，使得平面， ，，，，又，，，平面的一个法向量为，，解得：，在上存在一点，满足，使得平面.22.如图，将一块直角三角形木板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角形木板内一点，现因三角形木板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线将三角形木板锯成，设直线的斜率为k.（1）用k表示出直线的方程，并求出M、N的坐标；（2）求锯成的的面积的最小值.【答案】（1），，. （2）.【解析】【分析】（1）利用待定系数法可求得直线的方程，再联立直线方程组即可求得M、N的坐标；（2）先由题意确定的范围，再利用（1）结论可得到与M到直线的距离，由此得到的面积关于的关系式，利用基本不等式即可求解.【小问1详解】设直线，因为直线过点，所以，即，所以，又因为，，易得直线，直线，联立，解得；联立，解得，故，.【小问2详解】因为，，所以，所以，因为，设M到直线的距离为d，则，所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以S的最小值为.