重庆市南开中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（Word版附解析）

重庆南开中学高2025级高二（上）期中考试数学试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．第I卷（选择题共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求，请将答案填写在答题卡相应的位置上．1.直线的倾斜角为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由直线方程，结合斜率与倾斜角关系求倾斜角的大小.【详解】由直线方程为，即斜率为，若倾斜角，则，故.故选：B2.若直线与互相垂直，则（）A.B.6C.D.【答案】B【解析】【分析】根据两直线垂直的充要条件得到方程，解得即可.【详解】因为直线与互相垂直，所有，解得．故选：B.3.抛物线的准线方程是A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由抛物线x2＝y可得：2p＝1，即可得出抛物线的准线方程． 【详解】由抛物线x2＝y可得：2p＝1，∴，因此抛物线的准线方程是y．故选A．【点睛】本题考查了抛物线的标准方程及其准线方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.若双曲线C以两条坐标轴为对称轴，是其一条渐近线，则双曲线C的离心率为（）A.B.C.或D.或【答案】D【解析】【分析】讨论双曲线焦点位置，结合已知渐近线确定双曲线参数关系，进而求离心率.【详解】若双曲线焦点在轴上，则一条渐近线为，所以；若双曲线焦点在轴上，则一条渐近线为，所以；所以双曲线C的离心率为或.故选：D5.若直线与相离，则点与圆的位置关系为（）A.点在圆内B.点在圆上C.点在圆外D.无法确定【答案】A【解析】【分析】由题设及点线距离公式有，进而可得即可判断位置关系.【详解】由题设与直线的距离，即， 所以点在圆内.故选：A6.设、分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得，，则该双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用双曲线的定义结合已知条件可得出，可求得，再由公式可求得双曲线的离心率的值.【详解】由双曲线的定义得，又，，即，因此，即，则，解得，（舍去），因此，该双曲线的离心率为.故选：B.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，解题的关键就是利用双曲线的定义建立、所满足的齐次等式，考查计算能力，属于中等题.7.若F为椭圆的左焦点，P为椭圆C上一动点，，则周长的最大值为（）A.B.C.7D.10【答案】D【解析】 【分析】利用椭圆的定义及三角形三边关系有，即可求最大值，注意取值条件.【详解】若为椭圆右焦点，如下图示，，周长为，且，所以，而，故，当且仅当共线且在两侧时等号成立，所以周长的最大值为10.故选：D8.椭圆与双曲线有相同的焦点、，记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则下列关系式一定正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由椭圆、双曲线共焦点，结合对应方程得，根据离心率公式判断各项的正误.【详解】由椭圆与双曲线焦点相同，即参数相同，而，，又，由，所以. 当，则，此时不合要求；当，则，不合要求；当，则，，不一定成立；综上，A、B不成立，C不一定成立，D一定成立.故选：D二、多项选择题：本题共4小题、每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．9.已知椭圆的中心为坐标原点，焦点、在轴上，短轴长等于，焦距为，过焦点作轴的垂线交椭圆于、两点，则下列说法正确的是（）A.椭圆的方程为B.椭圆的离心率为C.D.【答案】AD【解析】【分析】求出、、的值，可判断AB选项的正误；设点为椭圆的左焦点，将代入椭圆方程，可求得的长，可判断C选项的正误；利用椭圆的定义可判断D选项的正误.【详解】对于椭圆，由已知可得，则，，.对于A选项，因为椭圆的焦点在轴上，故椭圆的方程为，A对；对于B选项，椭圆离心率为，B错；对于C选项，设点为椭圆的左焦点，易知点，将代入椭圆方程可得，故，C错； 对于D选项，，故，D对.故选：AD.10.已知圆，．则下列说法正确的是（）A.当时，圆与圆有4条公切线B.当时，是圆与圆的一条公切线C.当时，圆与圆相交D.当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为【答案】ABD【解析】【分析】根据圆心距与半径间的关系判断各项圆与圆的位置关系，结合点线距离与半径大小判断直线与圆的关系，相交情况下两圆作差求公共弦方程.【详解】由题设且半径，且半径，故，当时，，即两圆相离，故有4条公切线，A对；当时，是圆切线，又到的距离为，即是圆的切线，B对；当时，，即两圆相离，C错；当时，，即两圆相交，故有公共弦，将两圆方程作差得，整理得，即为，D对.故选：ABD11.已知双曲线：的左、右焦点分别为、，过向的一条渐近线作垂线，垂足为，交另一条渐近线于，则下列说法正确的是（）A.为线段的中点B.点在直线上C.D.【答案】BCD【解析】【分析】选项A：根据图像和双曲线的几何性质可得； 选项B：先求渐近线和直线的方程，联立可得；选项C：根据点坐标，利用数量积的坐标运算可得；选项D：根据双曲线距离公式可得.【详解】因为双曲线：，所以，，，则，，根据双曲线的对称性，不妨取渐近线方程，选项A：由题意，故A错误；选项B：直线的斜率为，直线方程为，联立得，所以正确；选项C：由，，，则，，故，故C正确；选项D：，故D正确，故选：BCD12.如图，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，过y轴左侧一点P作抛物线C的两条切线，切点为A、B，、分别交y轴于M、N两点，则下列结论一定正确的是（） A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】求得过点的切线方程，得到，得出和，可判断A正确；当点在准线上，求得，可判定B错误；由，求得，可判定C错误；分别求得和，可判定D正确.【详解】设抛物线上一点，则，过点的切线方程为，联立方程组，整理的，令，解得，即过抛物线上一点的切线的斜率为，对于A中，设，则过点的切线方程为，令，可得，即，又由抛物线的焦点为，所以， 则，所以，即，同理可得，则四点共圆，所以，所以A正确；对于B中，若点在准线上，可直线的方程为，此时直线过焦点，则，所以，所以B错误；对于C中，由，，可得，，若，可得，则，所以，此时直线过焦点，设直线，代入抛物线，可得，设方程的两根为，可得，即当直线过抛物线焦点时，两交点的纵坐标之积为，而直线不一定过抛物线的交点，所以C错误；对于D中，由，可得，联立方程组，解得，即,则，所以，所以D正确.故选：AD 【点睛】方法点睛：解决抛物线问题的方法与策略：1、涉及抛物线的定义问题：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．2、涉及直线与抛物线的综合问题：通常设出直线方程，与抛物线方程联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时注意向量、基本不等式、函数及导数在解答中的应用.第II卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填写在答题卡相应位置上．13.已知双曲线，则的右焦点的坐标为________.【答案】【解析】【分析】根据双曲线方程，直接求焦点坐标.【详解】由双曲线方程可知，，则，则，并且焦点在轴，双曲线的右焦点的坐标为.故答案为：14.若为圆的弦的中点，则直线的方程为__________．【答案】【解析】 【分析】根据圆的性质知：，由两条直线垂直，若斜率都存在，则斜率乘积为，求出直线的斜率，根据直线的点斜式写出直线方程即可.【详解】因为圆，所以圆心坐标为，半径为，因为是弦的中点，由圆的性质知：，因为，且，所以，因为在直线上，所以直线的方程为，即：.故答案为：15.若P是椭圆上一动点，，则的最大值为__________．【答案】4【解析】【分析】令，应用两点距离公式有，结合椭圆的有界性求最大值.【详解】令，则，又，所以，又，当时，的最大值为4.故答案为：416.设椭圆的焦点为，，P是椭圆上一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当时，椭圆的离心率为______．【答案】##0.6【解析】【分析】由正弦定理得到，再根据三角形面积公式和余弦定理得到，从而根据得到方程，求出离心率.【详解】由题意得， 由正弦定理得，故，由椭圆定义可知，，故，又，由余弦定理得，即，解得，故，解得，因为，所以，解得.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填写在答题卡相应的位置上． 17.已知双曲线的方程是．（1）求双曲线的渐近线方程；（2）设和是双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，求的大小．【答案】（1）；（2）2.【解析】【分析】（1）由双曲线方程直接写出渐近线方程；（2）由双曲线定义有，结合已知求即可.【小问1详解】由双曲线方程知：其渐近线方程为；【小问2详解】由双曲线定义，又，所以，可得（负值舍），所以的大小为2.18.已知圆．（1）求实数的取值范围；（2）若直线被圆C所截得的弦长为，求实数m的值．【答案】（1）；（2）4.【解析】 【分析】（1）利用方程表示圆的充要条件，列式求解即得.（2）借助直线被圆所截的弦长公式，列式计算即得.【小问1详解】圆，则(-2)2+42-4m>0，解得，所以实数的取值范围是.【小问2详解】由（1）知，，圆的圆心，半径，则点到直线的距离，依题意，，即2=2(5-m)2-(22)2，解得，所以实数m的值为4.19.已知抛物线与直线相交于A、B两点，O为坐标原点．（1）求证：；（2）当时，求的值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）令，联立抛物线与直线并应用韦达定理得，进而可得，再由即可证结论；（2）利用点线距离公式和弦长公式求到的距离、，结合已知列方程求参数.【小问1详解】令，联立抛物线与直线得，且，则，故，又，则，即，得证.【小问2详解】由到的距离， 又，所以，则.20.已知圆，A是圆C上一动点，点，M为线段的中点．（1）求动点M的轨迹方程；（2）记M的轨迹为曲线E，过点的点线l与曲线E有且只有一个交点，求直线l的方程．【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）令，由题设得，代入已知圆方程整理即可得动点M的轨迹方程；（2）讨论直线l斜率存在性，设直线方程，结合点线距离公式及直线与圆的交点个数列方程求参数，即可得直线方程.【小问1详解】令，由M为线段的中点，，则，而A是圆C上一动点，故，整理得，即，所以动点M的轨迹方程为. 【小问2详解】由（1）知：曲线E圆心为，半径，且点N在曲线E外，若直线l斜率不存在，即，显然与曲线E相切，满足；若直线l斜率存在，设，则到直线l的距离，所以，此时；综上，直线l的方程为或.21.如图，椭圆离心率为，其长轴的两个端点与短轴的一个端点构成的三角形的面积为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点的直线l交C于A、B两点，交直线于点P．若，，证明：为定值，并求出这个定值．【答案】（1）；（2）证明见解析，定值为0.【解析】 【分析】（1）由已知得，结合椭圆参数关系求得，即可得椭圆方程；（2）令，，，联立椭圆方程并应用韦达定理得，，再由向量数量关系的坐标表示得到关于参数k的表达式，将韦达公式代入化简即可证.【小问1详解】由题设，又，则，所以椭圆C的标准方程为.【小问2详解】由题设，直线l斜率一定存在，令，且在椭圆C内，联立直线与椭圆并整理得，且，令，而，则，由，则且，得，同理由，则且，得，所以又，，则.所以为定值0. 22.如图，双曲线，过原点O的直线与双曲线分别交于A、C、B、D四点，且．（1）若，P为双曲线的右顶点，记直线、、、的斜率分别为、、、，求的值；（2）求四边形面积的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意可设，则，结合直线与双曲线都有两交点得，再联立双曲线求各交点坐标，应用两点式求、、、，即可求结果；（2）由题设且同（1）得，联立直线与双曲线，应用韦达定理和弦长公式求，根据及换元法求其取值范围即可. 【小问1详解】由题设，的斜率都存在且不为0，令，则，所以，即，联立与双曲线，得，不妨令，同理，由，则、、、，所以.【小问2详解】由题设且同（1）得，联立，则，所以，联立，同理可得，所以四边形面积， 则，令，所以，而且，故，，当时，，当趋向于时，趋向于0，即趋向于正无穷，所以四边形面积的取值范围是.【点睛】关键点点睛：第二问，先求得，联立直线与双曲线求四边形对角线长度为关键.