重庆市南开中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析）

重庆南开中学高2026级高一（上）期中考试数学试题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷和第Ⅱ卷都答在答题卷上．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题：本题共8小题．每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将答案填写在答题卡相应的位置上．1.设全集小于10的正整数，，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】用列举法求出全集，再利用补集、交集的定义求解即得.【详解】依题意，全集，而，则，又，所以.故选：A2.命题“，”的否定是（）A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】【分析】根据特称命题的否定为全称命题即可求解.【详解】命题“，”的否定是:，,故选：B3.若函数，则的定义域为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】由具体函数的定义域求解即可.【详解】函数的定义域为：，所以且.故的定义域为.故选：C.4.已知，则“”是“”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】B【解析】【分析】利用分式不等式的解法，结合必要非充分条件定义即可进行判断．【详解】，由可得，解得：或，所以“”不能推出“”；当时，可得：，所以“”可以推出“”“”是“”的必要非充分条件．故选：B．5.下列函数既是奇函数又在单调递增的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据基本函数的单调性，结合奇偶性的定义即可逐一求解.【详解】对于A,函数在单调递减，故不符合要求， 对于B，在单调递减，故不符合要求，对于D,为对勾函数，故在单调递增，在单调递减，故不符合要求，对于C，由于的定义域为，关于原点对称，且故为奇函数，且函数均为上的单调递增函数，所以为上的单调递增函数，符合要求，故选：C6.已知函数为定义在上的奇函数，若在单调递减，且，则不等式的解集为（）A.B.CD.【答案】D【解析】【分析】根据函数的奇偶性及单调性，以及分类讨论即可解决.【详解】因为函数为定义在上的奇函数，则，因为在上单调递减，所以在上单调递减，不等式的解集等价于：或，即或，所以不等式的解集为： 或或，故选：D.7.已知，，，若恒成立，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先将恒成立问题转化为求函数最值，再利用基本不等式求函数最值，最后解关于实数的不等式即可.【详解】因为恒成立，所以.又因为，，，所以，当且仅当，即时等号成立，所以，即，所以.故选：A.8.已知函数，若关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】分析给定分段函数的性质，变形方程并结合图形求出的范围即可.【详解】当时，函数单调递增，函数取值集合是，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，函数取值集合是， 方程，化为，解得或，如图，观察图象知，的解，即函数的图象与直线交点的横坐标，显然方程只有一个解，要原方程有四个不同实数根，当且仅当有3个不同的实根，因此直线与函数的图象有3个公共点，则，所以实数的取值范围为.故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．9.已知实数，则下列说法正确的有（）A.若，则B.若，，则C.若，则D.若，则【答案】ABC【解析】【分析】利用不等式性质及特殊值逐项分析即可.【详解】选项A：因为，所以，故A正确；选项B：因为，，所以，故B正确；选项C：因为，所以，所以，故C正确；选项D：，取，故D错误； 故选：ABC.10.在同一坐标系下，函数与在其定义域内的图像可能是（）A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】根据幂函数以及一次函数的性质即可求解.【详解】若，则直线和函数均为上的单调递减函数，故可排除CD；当，此时，满足图象B,若，则直线和函数均为上的单调递增函数，比如时，此时A选项中的图象满足，故选：AB11.若函数在上单调递增，则实数可能的值有（）A.B.C.D.0【答案】BC【解析】【分析】利用分段函数在上的单调性，求出的范围即判断得解.【详解】由函数在上单调递增，得，解得，所以实数的取值范围是，即可能的值有，. 故选：BC12.定义在上的偶函数满足：，且对于任意，，若函数，则下列说法正确的是（）A.在单调递增B.C.在单调递减D.若正数满足，则【答案】ABD【解析】【分析】根据函数的单调性判断、的单调性判断AC，根据单调性比较大小判断B，根据单调性解不等式判断D.【详解】对于任意，，所以，所以在单调递增，故选项A正确；因为的定义域为，所以，所以为奇函数，所以，由在单调递增，所以，故选项B正确；对于任意，，因为，，所以，所以，所以在单调递增，故选项C错误；，即，又，所以，因为在单调递增，所以，解得，即，故选项D正确. 故选：ABD第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡相应位置上．13.若函数为奇函数，则实数__________．【答案】0【解析】【分析】利用奇函数定义，列式求解即得.【详解】函数的定义域为R，由为奇函数，得，，因此，解得，所以实数.故答案为：014.已知，则___________.【答案】【解析】【分析】换元令再代入求解即可.【详解】令，则，故.故答案为：15.求函数，的最小值__________．【答案】【解析】【分析】根据题意，由条件可得，再结合基本不等式的，代入计算，即可得到结果.【详解】因为，且，当且仅当时，即 时，等号成立，所以函数的最小值为.故答案为：16.已知函数，若，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】【分析】令，分段解不等式得的取值范围，再分段解关于的不等式即得.【详解】函数，令，由，得或，解得或，即，因此，即，于是或，解得或，所以实数的取值范围为.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填写在答题卡相应的位置上．17.已知集合，．（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】 【分析】（1）解分式不等式化简集合A，把代入求出集合B，再利用交集定义求解即得.（2）由（1）的信息，利用集合的包含关系列式求解即得.【小问1详解】由，得，解得，即，当时，，所以.【小问2详解】由（1）知，，而，由，得，解得，所以实数的取值范围是.18.已知幂函数，且在上单调递增．（1）求实数的值；（2）求函数，的值域．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)直接利用幂函数的定义和在上单调递增求出.(2)先分离常数确定函数的单调性，再求值域.【小问1详解】因为是幂函数，所以，解得或，又在上单调递增，所以；【小问2详解】 由函数的单调性可知在上是单调递增的，所以所以，值域为19.为定义在上的函数，且对任意实数均满足．（1）求的解析式；（2）若存在使得不等式成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意可得，联立方程即可求出的解析式；（2）由题意可得存在，使得，令，即，求解在的最大值即可得出答案.【小问1详解】因为①，所以②，所以②①得：.【小问2详解】存在使得不等式成立，即存在使得不等式成立，即，令，所以，， 因为在上单调递增，所以，故.故实数的取值范围为．20.重庆南开中学作为高中新课程新教材实施国家级示范校，校本选修课是南开中学课程创新中的重要一环，学校为了支持生物选修课程开展，计划利用学校面积为的矩形空地建造试验田，试验田为三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔，三块矩形区域的前、后与空地边沿各保留宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右边沿保留宽的通道，如图．设矩形空地长为，三块种植植物的矩形区域（如下图中阴影部分所示）的总面积为．（1）求关于的函数关系式；（2）求的最大值，及此时长的值．【答案】（1）（2）；【解析】【分析】（1）根据题意表示出空地宽为，再表示出关于的函数式；（2）利用基本不等式直接求解即可.【小问1详解】由题知，空地宽为，则【小问2详解】 由（1）知，，因为，当且仅当，即时，等号成立，此时，故的最大值为，此时长的值为.21.已知为定义在上不恒为的函数，对定义域内任意，满足：，．且当时，．（1）证明：；（2）证明：在单调递减；（3）解关于的不等式：．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）当时，，可知，可得，即可得证；（2）利用定义法证明函数单调性，（3）根据函数的定义可知，再根据函数的定义域与单调性解不等式.【小问1详解】当时，成立，当时，成立，当时，，且， 所以，所以，解得，综上所述，当时，.【小问2详解】由（1）得当时，，任取，，且，则，，，，所以，所以，即，所以函数在上单调递减；【小问3详解】由（2）得函数在上单调递减，又，所以，所以，解得，所以不等式的解集为.22.已知函数．（1）若方程恰有两个不同的正根，求实数的取值范围； （2）若①求在上的最大值；②若，对有：恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）①；②．【解析】【分析】（1）设出方程的两根分别为，根据即可解出；（2）①根据分类讨论函数的单调性，即可求出；②由①求出，即可解不等式求出.【小问1详解】设方程两根分别为，因为等价于，依题意可得，，解得：，故实数的取值范围为．【小问2详解】①设，，当时，，易知，；当时，，根据对勾函数的单调性易知，在上递减，在上递增，而， 所以，，即．当时，根据函数单调性的运算可知，在上单调递增，即，所以，，因为，所以，，综上，.②根据①可知，，所以依题可得，恒成立，解得：或，即实数的取值范围为．补证：函数在上递减，在上递增．设，则，因为，所以，即，所以函数在上递减，同理可证，函数在上递增． 【点睛】本题第二问的解题关键是分类讨论，判断函数的单调性以及取最大值的位置，即可得解．