四川省 2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题（Word版附解析）

苍溪中学校高2022级高二上学期第一次学段考试数学试卷一、单选题（每小题5分，共40分）1.在空间直角坐标系中，已知点，，则线段的中点坐标是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用中点坐标公式直接求解.【详解】因为点，，所以线段的中点坐标是，即.故选：D2.已知直线过点，且与直线平行，则的方程是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先设直线方程为，再把点代入即可求解【详解】设直线的方程为，由点在直线上得：，解得，因此直线的方程为，故选：D．3.若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则（）A.l∥αB.l⊥α C.l⊂αD.l与α斜交【答案】B【解析】【分析】根据已知可推得，即可得出答案.【详解】由已知可得，，所以，，所以.故选：B.4.如图，空间四边形中，，，，点在线段上，且，点为中点，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意结合图形，直接利用，即可求解.【详解】因为空间四边形中，，，，点在线段上，且，点为中点，所以，所以.故选：A5.已知直线：，则下列结论正确的是（    ） A.直线的倾斜角为B.过点与直线平行的直线方程为C.向量是直线的一个方向向量D.若直线：，则【答案】D【解析】【分析】求出直线的斜率可求得倾斜角，即可判断A，由直线平行可设所求直线为，代点即可判断B，由直线的方向向量可判断C，由直线方程，得出直线的斜率，再由直线垂直时有，从而可判断D.【详解】对于A：的斜率为，所以直线的倾斜角为，故A错误；对于B：因为与直线平行的直线方程可设为，又直线过点，有，解得，故所求直线方程，故B错误；对于C：因为直线的方向向量可为或，所以直线的方向向量可为或，故C错误；对于D：因为直线：与直线：的斜率分别为，，所以有，所以，故D正确；故选：D.6.如图，在长方体中，，，点在线段上，且，则异面直线与所成角的余弦值为（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】构建空间直角坐标系，求，的坐标，应用空间向量夹角的坐标表示求与所成角的余弦值即可.【详解】如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，，，，∴，.∴，∴异面直线与所成角的余弦值为.故选：B7.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开关两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】先求点关于直线对称的点，再根据两点之间线段最短，即可得解.【详解】如图，设关于直线对称的点为，则有，可得，可得，依题意可得“将军饮马”的最短总路程为，此时，故选：B.8.已知直线和直线，则当与间的距离最短时，t的值为（）A.1B.C.D.2【答案】B【解析】【分析】利用平行线之间的距离公式可求出关于的二次函数解析式，再利用二次函数的单调性即可求解.【详解】解：∵直线即为直线，∴直线直线．∴与间的距离，当且仅当时取等号． ∴当与间的距离最短时，t的值为．故答案选：B二、多选题（每小题5分，共20分，漏选得2分，错选多选得0分）9.已知向量，则下列结论正确的是（）A.B.C.向量，的夹角为D.在方向上的投影是【答案】AC【解析】【分析】根据坐标运算法则，依次求解各个选项，即可得到结果.【详解】A.∵∴，A正确；B.，，错误；C.，所以夹角为；D.在方向上的投影为.故选：AC.10.设直线，，其中实数，满足，则（）A.与平行B.与相交C.与的交点在圆上D.与的交点在圆外【答案】BC【解析】【分析】根据直线的斜截式方程知两斜率相乘为是两直线互相垂直，即相交，再利用联立两直线求出交点坐标，在找到关系即可得到答案.【详解】与不可能相等，，故与垂直即相交，故B正确；与的交点为 ，故与的交点在圆上.故选：BC.11.已知点，，直线l的方程为，且与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值可以为（）A.-1B.0C.1D.2【答案】CD【解析】【分析】首先判断出直线经过定点，根据两点间的斜率公式，再结合图形即可求出斜率的取值范围，进而选出答案.【详解】因为，所以，由解得，所以直线经过定点，又因点，，在坐标系中画出图形，结合图形可知直线与线段AB有公共点，则或，，，所以或，所以值可以为1，2 故选：CD12.在四面体中，以下说法正确的有（）A.若，则可知B.若Q为△的重心，则C.若四面体各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则D.若，，则【答案】ABD【解析】【分析】A：令，利用平面向量基本定理及向量加减、数乘的几何意义，求之间含的线性关系，结合已知即可求；B：根据线段的空间位置及空间向量的加减、数乘运算，求的线性关系；C：由正四面体性质求的长度即可；D：由题设有，利用空间向量数量积的运算律及空间向量的加减几何含义求证结论.【详解】A：由，则在线段上，又，若，则，又，故，所以，即，正确；B：若为的中点，，又，而，所以，又，则，整理得，正确； C：由题设知：，即，且，故，错误；D：若，，则，又，所以，整理得，故，正确.故选：ABD三、填空题（每小题5分，共20分）13.已知空间向量，且与垂直，则等于______.【答案】4【解析】【分析】由与垂直，得到，由此能求出的值.【详解】因为，且与垂直，所以，解得，故答案为：414.写出截距相等且过点直线方程________.【答案】或 【解析】【分析】分直线过原点与不过原点两种情况讨论，过原点时，直接求出直线斜率即可得直线方程；不过原点时，设出直线方程，把点坐标代入即可求得直线方程【详解】当直线过原点时，则直线的斜率，故直线的方程为；当直线不过原点时，设直线方程为，把点代入，得，解得，所以直线的方程为；综上所述，直线的方程为或.故答案为：或.15.在棱长为2的正方体中，O为平面的中心，E为BC的中点，则点O到直线的距离为________.【答案】【解析】【分析】如图，以为原点建系，利用向量法即可求出答案.【详解】解：如图，以为原点建系，则，则，则，又，所以，所以点O到直线的距离为.故答案为：. 16.已知直线与圆交于A、B两点，直线垂直平分弦AB，则a的值为______．【答案】4【解析】【分析】由题意可得直线与垂直，可求出的值，再由直线垂直平分弦AB，可得直线过圆心，可求出.【详解】因为直线与垂直，所以，得，由，得，则圆心为，因为直线垂直平分弦AB，所以直线过圆心，所以，解得，故答案为：4四、解答题（共70分）17.已知空间向量，，．（1）若，求； （2）若与相互垂直，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据空间向量共线公式列式求参即可；（2）根据空间向量垂直数量积为0列式求参即可.【小问1详解】，，，即，且，，解得；【小问2详解】，，又，解得．18.已知三个顶点是（1）求边上的垂直平分线的直线方程；（2）求的面积【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题意可得BC的中点和BC的斜率，由垂直关系可得垂直平分线的斜率，由点斜式可得方程，化为一般式即可；（2）由（1）得BC的方程，可得A到BC的距离，再求得BC的长度，代入三角形的面积公式可得答案．【详解】（1），，则所求直线的斜率为：又的中点的坐标为，所以边的上的中垂线所在的直线方程为：；（2）直线的方程为：，则点到直线 的距离为：，，.【点睛】本题考查直线的一般式方程和三角形的面积，及点到直线的距离，属于基础题．19.已知圆经过点和，且圆心在直线上．（1）求圆的方程；（2）过点作圆的切线，求切线方程．【答案】（1）；（2）和【解析】【分析】（1）设圆心，由半径可构造方程求得，由此得到圆心和半径，进而得到圆的方程；（2）当切线斜率存在时，假设切线方程，利用圆心到直线距离可构造方程求得，由此可得切线方程；当过直线斜率不存在时，是圆的切线；综合可得切线方程.【小问1详解】圆心在直线上，可设圆心，，解得：，则圆心，圆的半径，圆的方程为；【小问2详解】当切线的斜率存在时，设过点的切线方程为，即，圆心到直线的距离，解得：，切线方程为，即；当直线斜率不存在时，直线方程为：，圆心到直线的距离是，是圆的切线；综上所述：过点的圆的切线方程为和. 20.平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为.（1）求的长；（2）求异面直线与夹角的余弦值.【答案】（1）AC1的长为；（2）AC与BD1夹角的余弦值为．【解析】【详解】试题分析：（1）记＝a，＝b，＝c，并将其作为一组基底，利用空间向量的基本定理表示出，然后利用向量的模长计算公式及数量积的运算律即可求解；（2）利用向量夹角求两条异面直线夹角，但注意向量夹角为锐角或直角时两者相等，当向量夹角为钝角时，两者互补．试题解析：（1）记＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，∴a·b＝b·c＝c·a＝．||2＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（a·b＋b·c＋c·a）＝1＋1＋1＋2×＝6，∴||＝，即AC1的长为．（2）＝b＋c－a，＝a＋b，∴||＝，||＝，·＝（b＋c－a）·（a＋b）＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1．∴cos〈，〉＝＝．∴AC与BD1夹角的余弦值为．考点：利用向量作为工具求线段长及异面直线的夹角问题．21.如图，在直三棱柱中，.（1）若为中点，求证：平面平面； （2）若二面角的大小为60°，求的长.【答案】（1）证明详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量证明平面，根据面面垂直的判定即可得到结果；（2）根据二面角的大小，求出两个平面的法向量，用夹角公式解决.【详解】（1）如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系.则，，，，，即，；又，∴平面. 又平面，根据面面垂直的判定定理，∴平面平面.（2）设，则，，设平面的法向量为.则由取，得又平面的法向量为，则由，解得，于是22.已知直线与圆交于两点．（1）求出直线恒过定点的坐标（2）求直线的斜率的取值范围（3）若为坐标原点，直线的斜率分别为，试问是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）为定值.【解析】【分析】（1）将直线方程整理后可得方程组，解方程组可求得定点坐标；（2）设直线方程，利用圆心到直线距离小于半径可构造不等式求得结果；（3）可设直线方程，与圆方程联立得到韦达定理的形式，由整理可得定值.【详解】（1）将直线方程整理为：，令，解得：，直线恒过定点； （2）设直线斜率为，由（1）可知：直线方程可设为：，即；圆方程可整理为，则其圆心，半径，直线与圆交于两点，圆心到直线距离，即，解得：，即直线斜率的取值范围为；（3）设，当时，与圆仅有一个交点，不合题意，，则直线，可设直线方程为，由得：，由（2）知：；，，，为定值.【点睛】思路点睛：本题考查直线与圆中的定值问题的求解，解题关键是能够将所求量表示成韦达定理的形式，通过韦达定理代入整理，消去变量即可得到定值.