贵州省六盘水市纽绅中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题（Word版附解析）

六盘水市纽绅中学2023~2024学年度高二（上）10月月考数学试卷考生注意：1．满分150分，考试时间120分钟．2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．3．本卷命题范围：人教A版必修第二册、必修第二册，选择性必修第二册第一章．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用并集运算计算出，再求其补集即可.【详解】解：因为，则，故.故选：D.2.以的虚部为实部，以的实部为虚部的复数是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据复数的基本概念即得.【详解】设所求复数为，由题意知复数的虚部为7，所以，复数的实部为，所以，故． 故选：A.3.已知向量，则与同向共线的单位向量（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求得的模，再根据与同向共线的单位向量求解.【详解】因为向量，所以，所以与同向共线的单位向量为：，故选：C.4.在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了800次试验，发现正面朝上出现了440次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（）A.0.55，0.55B.0.55，0.5C.0.5，0.5D.0.5，0.55【答案】B【解析】【分析】根据频率的计算公式可求得频率，结合概率的含义可确定概率，即得答案.【详解】某同学用一枚质地均匀的硬币做了800次试验，发现正面朝上出现了440次，那么出现正面朝上的频率为,由于每次抛硬币时，正面朝上和反面朝上的机会相等，都是,故出现正面朝上的概率为,故选︰B．5.已知空间向量，，不共面，且，则x，y，z的值分别是（）A.2，1，2B.2，1， C.1，，3D.l，，3【答案】C【解析】【分析】根据空间向量基本定理，不共面向量的线性表达式中对应向量的系数相等，即可求x，y，z的值.【详解】由题设知：，解得.故选：C6.已知，则向量在上的投影向量的坐标是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据点的坐标求和坐标,再求,最后应用投影向量公式求解即可.【详解】已知,可得,,又因为向量在上的投影向量为.故选:A.7.出租车司机老王从饭店到火车站途中经过六个交通岗，已知各交通岗信号灯相互独立.假设老王在各交通岗遇到红灯的概率都是，则他遇到红灯前已经通过了两个交通岗的概率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案.【详解】因为司机老王在第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯之间是相互独立的，且遇到红灯的概率都是， 所以未遇到红灯的概率都是，所以遇到红灯前已经通过了两个交通岗概率为.故选：B8.如图，平行六面体所有棱长都为1，底面为正方形，．则对角线的长度为（）AB.C.2D.【答案】B【解析】【分析】利用基底法求解即可.【详解】由题知，所以，所以，即.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9.下列关于概率的命题，正确的是（）A.对于任意事件A，都有B.必然事件的概率为1C.如果事件A与事件B对立，那么一定有D.若A，B是一个随机试验中的两个事件，则【答案】BCD 【解析】【分析】A选项，根据得到A错误；B选项，根据必然事件的定义得到B正确；C选项，根据对立事件的性质得到C正确；D选项，由概率性质得到D正确.【详解】对于A，对于任意事件A，都有，故A错误；对于B，必然事件的概率为1，显然正确，故B正确；对于C，如果事件A与事件B对立，那么一定有，故C正确；对于D，若A，B是一个随机试验中的两个事件，则，故D正确．故选：BCD．10.给出下列命题，其中正确的有（）A.空间任意三个向量都可以作为一个基底B.已知向量，则、与任何向量都不能构成空间的一个基底C.已知是空间向量的一个基底，则也是空间向量的一个基底D.A、B、M、N是空间四点，若、、不能构成空间的一个基底，则A、B、M、N共面【答案】BCD【解析】【分析】根据空间向量基底的概念，结合向量的共面定理，空间点共面的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】对于A项，空间任意的三个不共面的向量才可以作为一个基底，故A错误；对于B项，若，则、与任何向量都共面，故不能构成空间的一个基底，故B正确；对于C项，若共面，则，则共面，这与为空间的一个基底相矛盾，故可以构成空间向量的一个基底，故C正确；对于D项，若不能构成空间的一个基底，则共面，又过相同的点B，则A、B、M、N四点共面，故D正确．故选：BCD.11.定义运算：，将函数的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则ω的可能取值是（） A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】由定义运算结合辅助角公式，得函数解析式，再求平移后的函数解析式，由此函数为偶函数，求出ω的值，对照选项进行判断.【详解】将函数的图像向左平移个单位，可得的图像，再根据所得图像对应的函数为偶函数，可得，求得，令，可得；令，求得.故选：BC.12.如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，是棱的中点，是的延长线与的延长线的交点.若点在直线上，则下列结论错误的是()A.当为线段的中点时，平面B.当为线段的三等分点时，平面C.在线段的延长线上，存在一点，使得平面D.不存在点，使与平面垂直【答案】ABC【解析】【分析】通过建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，设 ，表示出向量，再利用，建立关系式，从而判断出无解，即不存在这样的点，进而判断出选项ABC不正确，选项D正确.【详解】如图，以坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，易知，，，，，，，所以，，，设平面的一个法向量为，则，取，则，，所以平面的一个法向量为.假设平面，且，则.因为也是平面的法向量，所以与共线，所以成立，但此方程关于无解，因此不存在点，使与平面垂直，所以选项ABC不正确，选项D正确.故选：ABC. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.设向量，且，则__________．【答案】##【解析】【分析】根据平面向量共线的坐标公式计算即可.【详解】，解得．故答案为：.14.在中，，则外接圆的半径为__________．【答案】2【解析】【分析】正弦定理的直接求解.【详解】因为，可得，由正弦定理得外接圆的半径．故答案为：2.15.已知平面的法向量为，点，，且，，则点到平面的距离为______．【答案】【解析】【分析】直接由点面距离的向量公式即可求解.【详解】解：依题意，且平面的法向量为，所以由点到面距离的向量公式可得，点到平面的距离为.故答案为：.16.若函数零点为，函数零点为，则___________. 【答案】2【解析】【分析】根据零点的定义及反函数的图像特征，判断出A、B两点关于y=x对称，即可求出.【详解】令，得：；令，得：；所以分别为和与的图像交点的横坐标，如图所示：所以，.因为和互为反函数，所以和的图像关于y=x对称，所以A、B两点关于y=x对称.又A、B两点均在的图像上，所以，所以2.故答案为：2四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17.已知空间三点．（1）若，且分别与，垂直，求的坐标；（2）求的值．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）设，由题意得到方程组，求出；（2）计算出，利用模长公式求出答案. 【小问1详解】设，,由题意得，解得或故或．【小问2详解】，故．18.已知函数是定义在R上的奇函数（其中e是自然对数的底数）．（1）求实数m的值；（2）若，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质得到即可求出实数的值.（2）首先根据为奇函数得到，再根据函数的单调性解不等式即可.【详解】（1）是定义在的奇函数，，即.（2）∵函数为奇函数，所以..又因为，都为上增函数，所以在上单调递增，，即， .【点睛】本题第一问考查根据函数的奇偶性求参数，第二问考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，属于简单题.19.第19届亚运会在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障．某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．（1）求a，b的值；（2）估计这100名候选者面试成绩的众数和分位数（百分位数精确到0.1）；（3）在第四、第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率．【答案】（1），（2）众数为70，分位数为（3）【解析】【分析】（1）由频率分布直方图列方程组即能求出的值；（2）观察频率分布直方图即可得众数，根据加权平均数的求解公式可得平均值，先确定第分位数在65-75之间，然后列式求解即可；（3）根据分层抽样，在和中分别选取4人和1人，列举出这5人中选出2人的总的基本事件数，和选出的两人来自不同组的基本事件数，利用古典概型的概率公式求解即可.【小问1详解】由题意可知：，， 解得，；【小问2详解】由频率分布直方图得众数为，前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，第分位数等于；【小问3详解】根据分层抽样，和的频率比为，故在和中分别选取4人和1人，分别设为和，则在这5人中随机抽取两个的样本空间包含的样本点有共10个，即，记事件“两人来自不同组”，则事件包含的样本点有共4个，即，所以.20.如图，在菱形ABCD中，，点P是菱形ABCD所在平面外一点，，平面ABCD．平面PCD与平面PAB交于直线l．（1）求证：平面ABCD；（2）求点D到平面PAB的距离．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】 【分析】（1）用线平行于面性质定理即可；（2）用等体积法即可.【小问1详解】证明：因为四边形ABCD是菱形，所以，平面PAB，平面PAB，所以平面PAB，又平面平面，所以．又平面ABCD，平面ABCD，所以平面ABCD．【小问2详解】解：设点D到平面PAB的距离为d，因为，因为四边形ABCD为菱形，且，所以，又，所以．21.在锐角中，内角、、所对的边分别为、、，已知.（1）求的值；（2）若，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理化简已知条件，由此求得的值.（2）利用余弦定理以及三角恒等变换的知识判断出三角形的形状，由此求得的面积.【小问1详解】依题意，，由余弦定理得，整理得， 由于三角形是锐角三角形，所以，则.【小问2详解】由，得，，当且仅当时等号成立，则，所以，由于为锐角，所以，此时，所以三角形是等边三角形，所以.22.如图，在四棱锥中，已知底面ABCD，，异面直线PA和CD所成角等于．（1）求直线CD和平面PAD所成角的正弦值；（2）在棱PA上是否存在一点E，使得平面PAB与平面BDE夹角的正切值为？若存在，指出点E在棱PA上的位置；若不存在，说明理由．【答案】（1）（2）存在这样的E点，E为棱PA上靠近A的三等分点【解析】【分析】（1）以B为原点，BA，BC，BP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．利用空间向量法求解；（2）先假设棱PA上存在一点E，求出平面PAB与平面BDE的法向量，进而求得二面角的正切值为，求出E点坐标.【小问1详解】 如图，以B为原点，BA，BC，BP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．已知底面ABCD，底面ABCD，所以又，，平面，所以平面，平面，所以，，是等腰直角三角形，．设，则．则，异面直线PA和CD所成角等于，，即，解得，．设平面PAD的一个法向量为则由得,所以可取．．∴直线CD和平面PAD所成角的正弦值为．【小问2详解】 假设存在，设，且，则，，设平面DEB的一个法向量为，则由得,取，又有平面PAB的法向量，由平面PAB与平面BDE夹角的正切值为，可知余弦值为，由，得，解得或（不合题意）．