福州四校教学联盟2023-2024学年九年级上学期期末联考数学试卷（解析版）

2023-2024学年第一学期福州市四校教学联盟期末学业联考九年级数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，有且只有一个选项是符合题目要求的．1.2023年10月12日，习近平总书记在进一步推动长江经济带高质量发展座谈会上强调：“要把产业绿色转型升级作为重中之重，加快培育壮大绿色低碳产业．”下列绿色图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；故选B．22.抛物线y=−−kx77x的图象和x轴有两个交点，则k的取值范围是（）77A.k≥−B.k>−4477C.k≥−且k≠0D.k>−且k≠044【答案】D【解析】【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，由于二次函数与x轴有两个交点，故二次函数对应的一元二次2方程kx−−=770x中，Δ>0，解不等式即可求出k的取值范围，由二次函数定义可知，k≠0．即可第1页/共28页学科网（北京）股份有限公司 得出结论．2【详解】解：∵二次函数y=−−kx77x的图象和x轴有两个交点，k≠0∴2，∆=b−4ac=4928+k>07∴k>−且k≠0．4故选：D．3.下列事件，是必然事件的是（）A.经过有信号灯的路口，遇到红灯B.打开电视频道，正在播体育新闻C.掷一次骰子，向上一面点数大于0D.射击运动员射击一次，命中十环【答案】C【解析】【分析】本题考查了必然事件的概念。解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．本题依据定义即可判断．【详解】Ａ、经过有信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，故选项不符合题意；Ｂ、打开电视频道，正在播体育新闻，遇到红灯是随机事件，故选项不符合题意；Ｃ、掷一次骰子，向上一面点数大于0，一定是1至6中的一个数一定大于0，是必然事件，故选项符合题意Ｄ、射击运动员射击一次，命中十环，是随机事件故选项不符合题意．故选：C4.将点(3,1)−绕原点逆时针旋转90°得到的点的坐标是（）A.(1,3)−B.(1,3)C.(3,1)−D.(3,1)−【答案】B【解析】【分析】根据题意作出图象，然后读出点的坐标即可，熟练掌握旋转图形的作法是解题关键．【详解】解：如图所示，点(3,1)−绕原点逆时针旋转90°得到点F，此时点F(1,3)，第2页/共28页学科网（北京）股份有限公司 故选：B．25.已知反比例函数y=，下列结论中，不正确的是（）xA.图象必经过点(12，)B.y随x的增大而增大C.图象在第一、三象限内D.若x>1，则02<<y【答案】B【解析】【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质用排除法解答．2【详解】解：A、把点(12，)代入反比例函数y=，得22=，故正确，不符合题意；xB、∵k=20>，∴在每一象限内y随x的增大而减小，故不正确，符合题意．C、∵k=20>，∴图象在第一、三象限内，故正确，不符合题意；D、若x＞1，则02<<y，故正确，不符合题意．故选：B．6.下列语句中：①平分弦的直径垂直于弦；②相等的圆心角所对的弧相等；③长度相等的两条弧是等弧；④圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等，不正确的有（）A.2个B.3个C.4个D.5个【答案】D【解析】【分析】根据垂径定理，圆的基本性质，弧、圆心角、圆周角的关系，逐项判断即可求解．【详解】解：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故①错误；②同圆（或等圆）中，相等的圆心角所对的弧相等，故②错误；③能够完全重合的两条弧是等弧，故③错误；④圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，故④错误；⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等或互补，故⑤错误；第3页/共28页学科网（北京）股份有限公司 所以不正确的有①②③④⑤，共5个．故选：D【点睛】本题考查垂径定理，圆的基本性质，弧、圆心角、圆周角的关系，熟练掌握垂径定理，圆的基本性质，弧、圆心角、圆周角的关系是解题的关键．7.在第十九届亚运会中国国家象棋队选拔赛的第一阶段中，采用分组单循环（每两人之间都只进行一场比赛）制，每组x人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意可列方程为（）11A.xx(−=1)15B.xx(+=1)15C.xx(−=1)15D.xx(+=1)1522【答案】A【解析】【分析】设一共邀请了x支球队参加比赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间都进行一场比赛），则每xx(−1)个队参加(x−1)场比赛，则共有场比赛，可以列出一元二次方程．2xx(−1)【详解】解：由题意得，=15．2故选：A．【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据比赛场数与参赛队之间的关系为：比赛场数二队数×(队数−÷1)2，进而得出方程是解题关键．8.如图所示，某同学作了一个圆内接正十二边形．若O的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为（）A.1B.3C.πD.2π【答案】B【解析】360°【分析】如图，过A作AC⊥OB于C，得到圆的内接正十二边形的圆心角为=30°，根据三角形的12面积公式即可得到结论．【详解】解：如图，过A作AC⊥OB于C，第4页/共28页学科网（北京）股份有限公司 360°∵圆的内接正十二边形的圆心角为=30°，OA=1，1211∴AC=OA=，22111∴S=××=1，OAB2241∴这个圆的内接正十二边形的面积为12×=3，4故选：B．【点睛】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，含30度角的直角三角形性质，正确的作出辅助线是解题的关键．ADAE19.如图，在ABC中，点D，E分别是边AB，AC上点，且==，若S△ADE=5，则四边形BDECABAC3的面积为（）A.45B.10C.40D.15【答案】C【解析】ADAE1【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，先根据==，∠=∠AA得到△ADE∽△ABC，ABAC3在根据相似三角形面积比等于相似比平方得到SABC，即可得到答案；ADAE1【详解】解：∵==，∠=∠AA，ABAC3∴△ADE∽△ABC，∵S△ADE=5，第5页/共28页学科网（北京）股份有限公司 ∴SABC=×=9545，∴SBDEC=−=45540，故选：C．10.如图，A，B两点分别为O与x轴，y轴的切点．AB=22，C为优弧AB的中点，反比例函数2kyx=(>0)的图象经过点C，则k的值为（）xA.322+B.8C.16D.32【答案】A【解析】【分析】连接OAOBOC,,，过点C作CD⊥x轴于点D，延长AO交CD于点E，根据切线的性质，等弧所对的圆心角相等，易得AOBCOE,为等腰直角三角形，四边形OABF为正方形，四边形BDEO为矩形，求出点C的坐标即可．【详解】解：连接OAOBOC,,，过点C作CD⊥x轴于点D，延长AO交CD于点E，则：OA=OB=OC，∵A，B两点分别为O与x轴，y轴的切点，∴OB⊥x轴，OA⊥y轴，第6页/共28页学科网（北京）股份有限公司 ∴OA∥x轴，∴OA⊥OB，∴四边形AOBF为正方形；∵AB=22，∴OA=OB=2，∴OC=2，BF=2；∵CD⊥x轴，OB⊥x轴，OA⊥OB，∴四边形BDEO为矩形，∴∠=°==∠=°OEC90,DEOB2,BOE90，OE=BD，∵C为优弧AB的中点，1∴∠=AOC∠=°BOC(360−90°)=°135，2∴∠=COE∠−BOC∠=°BOE45，2∴OE=CE=OC=2，2∴CD=+=+CEDE22,DF=+=+BFBD22，∴C(22++,22)，2∴222k=(+)，∴k=+322，故选A．【点睛】本题考查求反比例函数的k值，同时考查了切线的性质，等弧对等角，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是掌握切线的性质，构造特殊图形．本题的综合性较强，难度较大．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．211.已知二次函数yx=−+2xc图象上有点Axy(11,)、Bxy(22,)，若xx12<<1，则y1___________y（填写“<或>或=”）．2【答案】＞【解析】【分析】利用二次函数的增减性判断即可．第7页/共28页学科网（北京）股份有限公司 【详解】由题可知，该二次函数对称轴为直线x=1，且开口向上，即：当x<1时，y随x的增大而减小，∵xx12<<1，∴yy12>，故答案为：＞．【点睛】本题考查利用二次函数的增减性判断函数值的大小问题，准确判断函数的增减性是解题关键．12.如图，AB∥CD∥EF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，C，E，和点B，D，F．已知AC=3,CE=6,BF=6，则BD的长为________．【答案】2【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，求出BD即可．本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．【详解】解：∵AB∥CD∥EF，ACBDACBD∴=，即=，AEBFACCE+BF∵AC=3,CE=6,BF=6，3BD∴=，366+解得：BD=2．故答案为：2．13.某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下每批粒数n1005001000150020003000发芽的频数m94466928139618582790第8页/共28页学科网（北京）股份有限公司 m发芽的频率（精确到0.001）0.9400.9320.9280.9310.9290.930n根据上表估计，这种绿豆发芽的概率是_______．（精确到0.01）【答案】0.93【解析】【分析】本题考查了利用频率估计概率．解题的关键在于明确：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．根据题意，用频率估计概率即可．【详解】解：由图表可知，绿豆发芽的概率的估计值0.93，故答案为：0.93．14.已知圆锥的母线长为4，底面圆的半径为3，该圆锥的侧面展开图的面积为__________．【答案】12π【解析】【分析】本题考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的侧面展开图的扇形面积公式是解题的关键，根据圆锥的侧1面积公式：S=×=2ππrlrl，即可得圆锥的侧面展开图的面积．侧2【详解】解：∵圆锥的侧面展开图的扇形，∴S侧=πrl=××=34ππ12，∴该圆锥的侧面展开图的面积为12π，故答案为：12π．315.某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(kPa)是气体体积V(m)的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于160kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积V的取值范围_________．【答案】V≥0.6【解析】96【分析】利用待定系数法求出比例函数解析式P=，再利用反比例函数的性质求解，即可得到答案．V第9页/共28页学科网（北京）股份有限公司 k【详解】解：设反比例函数解析式P=，V由图象可知，反比例函数经过点A(0.8,120)，∴=×=k0.812096，96∴=P，V∴在第一象限内，P随V的增大而减小，96当P=160时，V==0.6，160气球内的气压大于160kPa时，气球将爆炸，∴≤P160，此时V≥0.6，∴气体的体积V的取值范围为V≥0.6，故答案为：V≥0.6，【点睛】本题考查了反比例函数的应用，根据图象上的已知点的坐标求出函数解析式是解题关键．1216.研究抛物线yx=−的性质时，将一个直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直2角边与该抛物线交于A，B两点（如图），将三角板绕点O旋转任意角度时发现，交点A，B所连线段总经过一个固定的点，则该定点的坐标是_____．【答案】(0,2)−【解析】【分析】本题可通过作垂直辅助线，并假设A、B点坐标，继而利用待定系数法求解直线AB截距项，证明△AEO与△OFB相似，最后利用相似性质求解截距项以解本题．【详解】作AE⊥x轴，BF⊥x轴，如下图所示：第10页/共28页学科网（北京）股份有限公司 1212设Amm(,−−)，Bn(,−n)，其中m、n均为正数，22设直线AB的解析式：y=kx+b，12−+=−mkbm2将A、B点代入可得：，nkb+=−1n221解该方程组可得：b=−mn．2∵∠AOB=90°∴∠AOE+∠BOF=90°，又∵∠BOF+∠OBF=90°，∴∠AOE=∠OBF，∵∠AEO=∠OFB=90°，∴AEOOFB,AEOE∴=,OFBF1212∵AE=m，OE=m，OFn=，BF=n，2212m2m∴=，n12n2故mn=4，则b=−2．综上，不论k取何值，直线AB恒过点(0,2)−．第11页/共28页学科网（北京）股份有限公司 故填：(0,2)−．【点睛】本题考查二次函数与三角形的综合问题，难点在于已知信息过少，因此需要假设未知量表示线段以及点的信息，化抽象为形象，相似或全等的证明直角互余、角的互换常作为解题工具．三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(xx−313)(−=)【答案】x1=4，x2=0【解析】【分析】先化成一般式，再利用因式分解法求解即可．【详解】(xx−313)(−=)2xx−+=4332xx−=40(xx−=40)，即x−=40，或者x=0，∴x1=4，x2=0．【点睛】本题考查了解一元二次方程的知识，掌握因式分解法是解答本题的关键．18.如图，线段AC，BD相交于点O，ABCD，AB=CD．线段AC上的两点E，F关于点O中心对称．求证：BF=DE．【答案】证明见解析【解析】【详解】证明：如图，连接AD，BC．∵ABCD，AB=CD，第12页/共28页学科网（北京）股份有限公司 ∴四边形ABCD是平行四边形，∴BO=DO．∵点E，F关于点O中心对称，∴OF=OE．在△BOF和△DOE中，BO=DO∠=BOF∠DOEOF=OE∴△BOF≌△DOE(SAS)，∴BF=DE．m19.如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于An(,3)，B(−−3,2)两点．x（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）过点A作AC⊥y轴，垂足为C，求ABC的面积SABC．6【答案】（1）y=，yx=+1（2）5x【解析】【分析】（1）把B的坐标代入反比例函数的解析式，求出其解析式，把A的坐标代入反比例函数的解析式，求出A的坐标，把A、B的坐标代入一次函数的解析式，得出方程组，求出方程组的解即可；（2）根据一次函数确定OD=1，OC=3，结合图形，计算三角形面积即可．【小问1详解】m解：∵点B(−−3,2)）在y=的图像上，x∴m=6，6∴反比例函数的解析式为：y=，x第13页/共28页学科网（北京）股份有限公司 6∴n==23∴A(2,3)，∵点A(2,3)、B(−−3,2)在y=kx+b的图像上，23kb+=∴，−+=−32kbk=1解得：b=1∴一次函数的解析式为：yx=+1；【小问2详解】∵一次函数的解析式为：yx=+1，当x=0时，y=1，∴点D(0,1)，OD=1，∵AC⊥y轴，A(2,3)，∴C(0,3)，OC=3，∴CD=−=OCOD2，以CD为底，则CD边上的高为325+=，1∴S=××=255△ABC2【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，三角形的面积的应用，主要培养学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．20.在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小星同学对会场进行装第14页/共28页学科网（北京）股份有限公司 24饰，如图1所示，他在会场的两墙AB、CD之间悬挂一条近似抛物线y=−+axx3的彩带，如图25所示，已知墙AB与CD等高，且AB、CD之间的水平距离BD为8米．（1）如图2，两墙AB、CD的高度是________米，抛物线的顶点坐标为________；（2）为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙AB距离为3米，使抛物线F1的最低点距墙AB的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离．【答案】（1）3，(4,1.4)（2）2.25米【解析】【分析】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法求二次函数表达式、二次函数图像与性质、将二次函数一般式化为顶点式等知识，（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解；12（2）由待定系数法求出函数表达式，当x=3时，yx=(−+=2)22.25，即可求解；4解答此类问题的关键是明确题意，求出函数相应的解析式，根据函数的顶点式可以求得函数的最值．【小问1详解】解：由题意得，抛物线的对称轴为x=4，4则b5，解得：a=0.1，x==4−=−22aa∴抛物线的表达式为yxx=−+0.10.83，∴点A(0,3)，即AB=CD=3（米），当x=4时，yxx=0.1−0.8+=31.4，即顶点坐标为(4,1.4)，故答案为：3，(4,1.4)；【小问2详解】2解：设抛物线的表达式为yax=′−+(2)2，第15页/共28页学科网（北京）股份有限公司 21将点A的坐标代入上式得3=′−+a(02)2，解得a′=，412∴抛物线的表达式为yx=−+(2)2，412当x=3时，yx=(−+=2)22.25（米），4∴点M到地面的距离为2.25米．21.如图1，滹沱河是山西地区一条途经了舟山和太行山的知名河流，这条河流的流域面积达到了2.73万平方公里，其发源地处于山西省繁峙县泰戏山桥儿沟村，这条河流早在《山海经》中就有出现过，被叫做为虔池．为了估算河流的宽度，我们在河的对岸选定一个目标P，在近岸取点A和C，使点P、A、C共线且与河垂直，接着在过点C且与直线PC垂直的直线上选择适当的点D，确定PD与过点A且与PC垂直的直线交点B．测得AC=50m，CD=120m，AB=80m，请根据这些数据求河的宽度PA．【答案】100m【解析】【分析】根据题意证明△PAB∽△PCD，再由相似三角形的性质，即可求解．【详解】解：∵BA⊥⊥PCCD,PC，∴AB∥CD，∴△PAB∽△PCD，PAAB∴=，PCCDPAAB即=，PA+ACCDPA80∴=，PA+50120解得：PA=100，答：PA的长为100m．第16页/共28页学科网（北京）股份有限公司 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．22.如图，RtABC中，∠=°ACB90，点D在边BC上，以CD为直径的O与直线AB相切于点E，连接OA，且OA=OB．连接CE交OA于点F．（1）求证：AB=2AC．（2）若AC=3，求线段OCCF，的长．3【答案】（1）见解析（2）OC=1、CF=2【解析】【分析】（1）连接OE，由切线得性质得：∠=AEO∠=°BEO90，再证明AC与O相切于点C，则AE=AC，再证RtAEO≌RtBEO，得AE=BE，则AB=2AE，即可得答案；11（2）先求出BC的值，由ABOE⋅=⋅=OBACS△AOB，求出OC=1，再证明OA垂直平分CE，则22111OACE⋅=⋅+⋅=ACOCAEOES，求出CE的长，即可得答案．四边形ACOE222【小问1详解】解：如下图，连接OE，AB与O相切于点E，∴⊥ABOE，AEOBEO90，∠=°ACB90，∴⊥ACOC，OC是O的半径，AC⊥OC，第17页/共28页学科网（北京）股份有限公司 ∴AC与O相切于点C，∴=AEAC，OA=OB在RtAEO和RtBEO中，，OE=OE∴RtAEO≌RtBEO，∴=AEBE，∴=AB2AE，∴=AB2AC；【小问2详解】AC=3，∴==AB2AC23，22∴BC=−=AB22AC(23)−=(3)3，OAOB3OC，11ABOE⋅=⋅=OBACS△AOB，且OE=OC，2211∴×23OC=×−33(OC)，22解得：OC=1，OE1,OAOBBCOC2，AE=ACOE，=OC，∴点O、点A都在线段CE的垂直平分线上，∴OA垂直平分CE，111OACE⋅=⋅+⋅=ACOCAEOES，四边形ACOE222111∴×=××+××2CE3131，222∴CE=3，13∴CF=CE=，223∴线段OC，CF的长分别是1、．2【点睛】此题考查了切线的判定与性质、切线长定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、线段的垂直第18页/共28页学科网（北京）股份有限公司 平分线的性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．23.（1）把长为a的线段任意分成3条线段，求这3条线段能够构成一个三角形的3条边的概率．（2）据统计，2008年底该市汽车拥有量为75万辆，而截止到2010年底，该市的汽车拥有量已达108万辆．为了保护环境，缓解汽车拥堵，该市拟控制汽车总量，要求到2012年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆；且从2011年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%．假设每年新增汽车数量相同，请估算出该市从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆，并求出求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率．1【答案】（1）；（2）该市每年新增汽车数量最多不能超过20万辆；2008年底至2010年底该市拥有量的4年平均增长率为20%【解析】【分析】（1）根据三角形三边关系求解即可；（2）设2008年底至2010年底该市拥有量的年平均增长率为x，设从2011年初起每年新增汽车数量为y万辆，然后根据题意列出一元二次方程和一元一次不等式方程并求解即可．【详解】解：（1）设其中两条线段的长为xy，，则第3条线段的长为axy−+()，于是xy，的取值范围是：0<<,xa0<<,xa0<<,ya⇔0<<,ya①0<-(+)<axya0<+<.xya要使3条线段构成一个三角形的3条边，其充要条件是其中任意一条线段的长度小于其余两条线段的长度a之和．这等价于每条线段的长度都小于，即2aa0<<,xx0<<,22aa0<<,yy⇔0<<,②22aa0<-(+)<axy<+<.xya22将(xy，)视为坐标系的坐标，O(00，)，Aa(，0)，B(0，a)，aaaa而满足条件②的点(xy，)在以CDE，，00，，，为顶点的△CDE内，2222第19页/共28页学科网（北京）股份有限公司 1aa××CDDE×S2221△CDE故所求概率为p====S1aa×4△OAB××OAOB21答：3条线段能构成一个三角形的三边的概率为；4（2）设2008年底至2010年底该市拥有量的年平均增长率为x，2根据题意得751(+=x)108，解得xx12=0.2，=−2.2（不合题意，舍去），设从2011年初起每年新增汽车数量为y万辆，根据题意得(108?90%+?yy)90%+≤125.48，解得y≤20．答：该市每年新增汽车数量最多不能超过20万辆；2008年底至2010年底该市拥有量的年平均增长率为20%．【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用、三角形三边关系和概率计算方法，解决本题的关键是掌握数形结合的思想．224.如图1，抛物线y=++xbxc（a>0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为(10，)，OC=3OB．（1）求抛物线的解析式；第20页/共28页学科网（北京）股份有限公司 （2）若点M是抛物线上的动点，当A、C两点到直线BM的距离相等时，求直线BM的解析式；（3）已知点D、F在抛物线上，点D的横坐标为m(−<<−31m)，点F的横坐标为m+1．过点D作x轴的垂线交直线AC于点M，过点F作x轴的垂线交直线AC于点N．①如图2，连接DF，求四边形DFNM的最大值及此时点D的坐标；②如图3连接AD和FC，试探究△ADM与CFN的面积之和是否为定值吗？若是，请求出来；若不是，请说明理由．2【答案】（1）yxx=+−2333（2）yx=−+1或yx=−55（3）①最大为2，点D坐标为(−−23，)；②是，2【解析】2【分析】（1）由题意知，C(03，−)，将B(10，)，C(03，−)代入y=++xbxc，计算求解bc，的值，进而可得解析式；（2）由题意知，当BMAC时，当BM过AC、中点时，A、C两点到直线BM的距离相等，①当BMAC时，A(−30，)，待定系数法求直线AC的解析式为yx=−−3，则直线BM的解析式为yxd=−+，待定系数法求解即可；②当BM过AC、中点时，由题意知，AC、中点坐标为33−−，，设直线BM的解析式为y=ex+f，待定系数法求解即可；2222（3）①由题意知，Dmm(，+−23m)，Mmm(，−−3)，Fm(+1，(m++1213)(m+−))，2(())2Nm+−+−1，m13，则DM=−−m3m，FN=−+−+(m131)(m)，则(DM+NF)×12S==−(m+22)+，根据二次函数的性质求最值，然后求D点坐标即可；②四边形DFNM2DM×+(m3)NF×−−(01m)由题意知，SS+=+=2，然后作答即可．ADMCFN22【小问1详解】解：由题意知，OC=33OB=，∴C(03，−)，第21页/共28页学科网（北京）股份有限公司 10++=bc2将B(10，)，C(03，−)代入y=++xbxc得，，c=−3b=2解得，，c=−32∴yxx=+−23；【小问2详解】解：由题意知，当BMAC时，当BM过AC、中点时，A、C两点到直线BM的距离相等，①当BMAC时，2当y=0时，xx+−=230，解得，x=−3或x=1，∴A(−30，)，设直线AC的解析式为y=kx+b，−+=30kb将A(−30，)，C(03，−)代入得，，b=−3k=−1解得，，b=−3∴直线AC的解析式为yx=−−3，设直线BM的解析式为yxd=−+，将B(10，)代入得，−+=10d，解得，d=1，∴直线BM的解析式为yx=−+1；②当BM过AC、中点时，33由题意知，AC、中点坐标为−−，，22设直线BM的解析式为y=ex+f，3333−+=−ef将−−，，B(10，)代入得，22，22ef+=0第22页/共28页学科网（北京）股份有限公司 3e=5解得，，f=−3533∴直线BM的解析式为yx=−，5533综上所述，直线BM的解析式为yx=−+1或yx=−；55【小问3详解】22①解：由题意知，Dmm(，+−23m)，Mmm(，−−3)，Fm(+1，(m++1213)(m+−))，Nm(+−+−1，(m13))，22∴DM=−−m3m，FN=−+−+(m131)(m)，22(DM+NF)×1mmm−3−(+−131)−(m+)22∴S===−−−mm42=−+(m2)+2，四边形DFNM22∵−<10，∴当m=−2时，四边形DFNM的面积最大，最大值为2，∴D(−−23，)；DM×+(m3)NF×−−(01m)②解：由题意知，SS+=+ADMCFN222(−−×+mmm233)()−+−+×−−(mmm13101)()()=+22=2，∴△ADM与CFN的面积之和是定值，且定值为2．【点睛】本题考查了待定系数法解二次函数解析式，一次函数解析式，平行线的距离，二次函数的图象与性质，二次函数的最值，二次函数与面积综合等知识．熟练掌握二次函数解析式，一次函数解析式，平行线的距离，二次函数的图象与性质，二次函数的最值，二次函数与面积综合是解题的关键．25.如图，ABC和△ABD分别位于AB两侧，E为AD中点，连接BE，CE．第23页/共28页学科网（北京）股份有限公司 （1）如图1，若∠=BAC∠=°===ABD90,AC3,ABBD4，求CE的长；（2）如图2，连接CD交AB于点F，在CF上取一点G使得FG=AF．若AC=AD，BD=∠=BF,BDF60°．猜想BC与BE之间存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，若AB=4，BD=2，请直接写出当2CE−AE取最大值时△ACE的面积．【答案】（1）29（2）BC=2BE，证明见解析24313+（3）17【解析】【分析】（1）过点E作EF⊥AC，交CA延长线于F，证明△ABD是等腰直角三角形，求出AD，同时推出△AEF是等腰直角三角形，结合直角三角形斜边中线性质得到AF=EF=2，求出CF，利用勾股定理求出CE即可；（2）延长BE至K，使EK=BE，作AH⊥CD于H，证明BDF是等边三角形，推出AGF是等边三角形，通过线段关系推出AB=CF，证明△AEK≌△DEB(SAS)，得到AK=BD，∠=∠KDBE，从而得到∠=KAB∠BFC，再证明△KAB≌△CFB(SAS)，可得BK=BC，从而得到BC=2BE；（3）取AB的中点O，连接OE，可推出点E在以O为圆心，半径是1的圆上运动，在OA上截取11OI=，构造△IOE∽△EOA，从而得出IE=AE，确定当C、I、E在同一直线上时，2CE=AE最22小，进而解△IOE，从而进一步求出结果．【小问1详解】解：如图，过点E作EF⊥AC，交CA延长线于F，第24页/共28页学科网（北京）股份有限公司 ∵ABD90，AB=BD=4，∴△ABD是等腰直角三角形，且AD=2AB=42，∴∠=°BAD45，∵∠=°CAB90，∴∠=°BAF90，∴△AEF是等腰直角三角形，∵E是AD中点，∴AE=DE=22，AE∴AF=EF==2，2∴CF=+=+=ACAF325，∴CE=CF2+=+=EF2522229；【小问2详解】BC=2BE，理由如下：如图2，延长BE至K，使EK=BE，作AH⊥CD于H，第25页/共28页学科网（北京）股份有限公司 ∵BD=∠=BF,BDF60°，∴BDF是等边三角形，∴∠=BDF∠=DBF60°，DF=BF，∴∠AFG=60°，FG=AF，∴AGF是等边三角形，∴==AGAFGF，GHFH，AC=AD，∴=CHDH，∴=CGDF，∴+=+AFBFGFCG，∴=ABCF，∵E为AD中点，∴AE=DE∠=AEK∠BED，∴△AEK≌△DEB(SAS)，∴=AKBD，∠=∠KDBE，∴∠KAB=180°−∠DBF=180°−60°=120°，∴∠KAB=∠BFC，∴KAB≌BFC(SAS)，∴=BKBC，∴=BC2BE；【小问3详解】如图3，取AB的中点O，连接OE，第26页/共28页学科网（北京）股份有限公司 E是AD的中点，1∴==OEBD1，2∴E点在以O为圆心，半径是1的O上运动，1在OA上截取OI=，2OIOE1∴==，OEOA2∠=IOE∠AOE，∴△IOE∽△EOA，EIOE1∴==，AEOA21∴=IEAE，2CE−≤IEIC，∴当C、I、E在一条直线上时，()CE−IE最大，12CE−=−AE2(CEAE)，2∴−(2CEAE)最大=2CI，如图4，连接CO，作EM⊥AB于M，第27页/共28页学科网（北京）股份有限公司 ∴EM∥OC，EMOC2===4∴MIOI1，2设MI=x，EM=4x，在RtEOM中，222OM+=EMOE，122∴++(xx)(4)=1，2−+1213−−1213∴=x，x=（舍去），123434−+2413∴==EM4x171∴=⋅+SAI()OCEM△ACE213−+2413=××+(2)221724313+=．17【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，圆的有关概念和性质，解决问题的关键是构造辅助线及熟悉“阿氏圆”模型．第28页/共28页学科网（北京）股份有限公司