安徽省合肥市六校联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试卷（Word版附解析）

合肥六校联盟2023-2024学年第一学期期中联考高二年级数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.直线的倾斜角是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据已知条件，结合直线的倾斜角与斜率的关系，即可求解．【详解】设直线的倾斜角为，，直线可化为，所以直线的斜率，，故选：D．2.三棱柱ABC－A1B1C1中，若，，，则等于（）A.＋－B.－＋C.－＋＋D.－＋－【答案】D【解析】【分析】根据空间向量对应线段位置关系，及向量加减的几何意义用表示出即可.【详解】 .故选：D3.已知圆的方程圆心坐标为，则它的半径为A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】分析：先根据圆心坐标求出a的值，再求圆的半径.详解：由题得所以圆的半径为故答案为D点睛：(1)本题主要考查圆的一般方程，意在考查学生对该基础知识的掌握能力.(2)当时，表示圆心为，半径为的圆.4.如果向量，，共面，则实数的值是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设，由空间向量的坐标运算可得出方程组，即可解得的值.【详解】由于向量，，共面，设，可得，解得.故选：B.5.已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（）A.B. C.D.【答案】C【解析】分析】先求出线段的垂直平分线，利用弦的垂直平分线的交点是圆心即可得到圆心坐标，再算出圆心与A点的距离即半径，即可得到圆的标准方程，从而得到一般方程.【详解】因为线段的中点坐标为，直线的斜率为，所以线段的垂直平分线方程为，即与直线方程联立，得圆心坐标为.又圆的半径，所以，圆的方程为，即.故选：C.【点睛】本题考查圆的方程以及直线与圆的位置关系，考查考生的逻辑推理能力和运算求解能力，是一道容易题.6.如图，已知点在正方体的对角线上，设，则的值为（）A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】以D为原点，以方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.写出的坐标，根据向量夹角的坐标表示计算可得.【详解】以D为原点，以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.不妨设，则，所以，所以，因为，所以，整理得，解得或，由题可知，所以.故选：C 7.从直线x－y＋3＝0上的点向圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0引切线，则切线长的最小值为(　　)A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】设直线上的点为，已知圆的圆心和半径分别为，则切线长为，故当时，，应选答案B．点睛：本题求解时先设直线上动点，运用勾股定理建立圆的切线长的函数关系，再运用二次函数的图像与性质求出其最小值，从而使得问题获解．本题的求解过程综合运用了函数思想与等价转化与化归的数学思想．8.在正方体中，若棱长为，，分别为线段，上的动点，则下列结论错误 的是（）A.平面B.直线与平面所成角的正弦值为定值C.平面平面D.点到平面的距离为定值【答案】B【解析】【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，结合正方体的结构特征，利用空间向量逐个计算判断即可【详解】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，则，令，得，令，得，，对于A，，显然，即，，而，平面，因此平面，A正确；对于B，由平面，平面，得，因为，，平面，则平面， 于是为平面的一个法向量，，设直线与平面所成角为，则不是定值，B错误；对于C，由选项A知平面，即为平面的一个法向量，而，则，即有，又，平面，因此平面，则平面平面，C正确；对于D，显然，因此点到平面的距离为，为定值，D正确.故选：B二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9.正方体的棱长为1，体对角线与，相交于点，则（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】根据向量的线性运算的几何表示，向量数量积的定义及运算律结合正方体的性质即得.【详解】方法一：，故A正确；，故B错误；，故C正确；，故D错误；方法二： ，故A正确；由正方体的性质可知，，，，故B错误；，故C正确；，故D错误.故选：AC．10.下列说法中，正确的有（）A.点斜式可以表示任何直线B.直线在y轴上的截距为C.点到直线的的最大距离为D.直线关于对称的直线方程是【答案】BC【解析】【分析】根据点斜式的应用范围即可判断A；，求出，即可判断B；求出直线所过的定点，再求出定点与点的距离，即可判断C；求出交点坐标，在求出直线直线上的点关于直线对称的点的坐标，即可判断D.【详解】解：对于，点斜式不能表示斜率不存在得直线，故A错误；对于B，令，则，所以直线在y轴上的截距为，故B正确；对于C，直线化为，令，解得，所以直线过定点， 则点到直线的的最大距离为，故C正确；对于D，联立，解得，即直线与直线的交点为，设直线上的点关于直线对称的点，则，解得，即，所以所求直线方程为，即，故D错误.故选：BC11.已知，，，则下列结论正确的是（）A.B.C.为钝角D.在方向上的投影向量为【答案】BD【解析】【分析】利用向量垂直，平行的坐标关系判断A，B，根据向量夹角公式判断C，根据投影向量和投影数量的关系计算求解判断D.【详解】因为，所以，不垂直，A错，因为，所以，B对，因为，所以，所以不是钝角，C错，因为在方向上的投影向量，D对，故选：BD.12.以下四个命题表述正确的是（）A.直线恒过定点 B.已知圆，点P为直线上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB经过定点C.曲线与曲线恰有三条公切线，则D.圆上存在4个点到直线的距离都等于1【答案】BC【解析】【分析】根据直线与圆的相关知识对各选项逐个判断即可解出．直线恒过定点，判断错误；求出直线方程，判断直线经过定点，正确；根据两圆外切，三条公切线，可得正确；根据圆心到直线的距离等于1，判断错误.【详解】对于，直线方程可化为，令，则，，，所以直线恒过定点，错误；对于，设点的坐标为，所以，，以为直径的圆的方程为，两圆的方程作差得直线的方程为：，消去得，，令，，解得，，故直线经过定点，正确；对于，根据两圆有三条公切线，所以两圆外切，曲线化为标准式得，曲线化为标准式得，所以，圆心距为5，因为有三条公切线，所以两圆外切，即，解得，正确；对于，因为圆心到直线的距离等于1，所以直线与圆相交，而圆的半径为2，故到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，因此圆上有三个点到直线的距离等于1，错误；故选：．【点睛】本题主要考查直线系过定点的求法，以及直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，属于中档题．三、填空题（本大题共4小题，共20分） 13.已知，方程表示圆，圆心为__________．【答案】【解析】【分析】由题意可得，和确定出的值，然后将圆的方程化为标准方程，从而可求出圆心坐标.【详解】由题意得，解得或，当时，方程化为，此时，所以此方程表示圆，，所以圆的圆心为，半径为5，当时，方程化为，即，此时，所以此方程不表示圆，综上，圆心为，故答案为：14.已知正方体的棱长为，点是的中点，则点A到直线的距离是__________．【答案】##【解析】【分析】以D为原点，以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用点到直线的向量公式可得.【详解】以D为原点，以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.则，所以， 记与同向的单位向量为，则，所以，点A到直线BE的距离.故答案为：15.若圆，与圆：相交于，，则公共弦的长为___________.【答案】【解析】【分析】两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，利用垂径定理即可得解.【详解】由题意所在的直线方程为：，即，因为圆心到直线的距离为1，所以.故答案为：16.如图，把边长为2的正方形纸片沿对角线折起，设二面角的大小为，异面 直线与所成角为，当时，的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】设的中点为，则为二面角的平面角，利用坐标法，根据线线角的向量求法可得，然后根据三角函数的性质即得.【详解】设的中点为，连接，则，所以为二面角的平面角，即，如图以为原点建立空间直角坐标系，则，所以，所以，因为，所以，所以.故答案：.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.求经过直线ll∶2x-y+4=0与直线l2∶x-y+5=0的交点M，且满足下列条件的直线方程.（1）与直线x-2y-1=0平行；（2）与直线x+3y+1=0垂直.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设所求直线为，整理为一般方程后利用平行直线的系数关系可求，从而可求与已知直线平行的直线方程.（2）设所求直线为，整理为一般方程后利用垂直直线的系数关系可求，从而可求与已知直线垂直的直线方程.【详解】（1）设所求直线为，故，因为此直线与直线，故，故，故所求直线为.（2）设所求直线为，故，因为此直线与直线，故，故，故所求直线为.18.如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，设．（1）求；（2）求． 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先按照空间向量的加减运算表示出，再按照数量积运算求出；（2）先表示出，再按照数量积运算求解.【小问1详解】，，，，，即有；【小问2详解】．19.已知的三个顶点的坐标为、、，试求：（1）边上的高所在的直线方程；（2）的面积．【答案】（1）（2）24【解析】【分析】（1）先求出直线的斜率，进而得边上的高的斜率，由点斜式写出方程即可；（2）先求出及直线方程，再由点到直线距离公式求得到的距离，即可求得面积. 【小问1详解】因为，则边上的高的斜率为3，又经过A点，故方程为，化简得．【小问2详解】，直线方程为，整理得，则到的距离为，则的面积为.20.在正方体中，已知为中点，如图所示．（1）求证：平面（2）求异面直线与夹角大小．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明线面平行即可；（2）利用向量法求异面直线的夹角.【小问1详解】在正方体中，因为，，两两垂直，故以为原点，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系如图： 不妨设正方体的棱长为1，则，故，，，设平面的一个法向量为，由，得，令，则，所以．从而，又平面，所以平面.小问2详解】设、分别为直线与的方向向量，则由，得,所以，所以两异面直线与的夹角的大小为．21.已知点，，直线：，设圆的半径为，圆心在直线上． （1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；（2）若圆上存在点，使，为坐标原点，求圆心的横坐标的取值范围．【答案】（1）或.（2）或.【解析】【分析】（1）求出圆C：后，利用圆心到切线的距离等于半径可得答案；（2）根据可得点M在以为圆心，2为半径的圆上.再根据两圆有交点，列式可解得结果.【详解】(1)由得：，所以圆C：..当切线的斜率存在时,设切线方程为，由，解得：当切线的斜率不存在时，即也满足所以切线方程为：或.(2)由圆心在直线l：上，设设点，由得：化简得：，所以点M在以为圆心，2为半径的圆上.又点M在圆C上，所以圆C与圆D有交点，则即，解得：或.【点睛】本题考查了求圆的方程及其切线方程，考查了圆与圆的位置关系，属于中档题.22.如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=,PA⊥PD,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1,O为AD的中点. (1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值.(2)线段PD上是否存在一点Q,使得二面角Q-AC-D的余弦值为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，【解析】【详解】试题分析：由PA=PD,O为AD中点，侧面PAD⊥底面ABCD，可得PO⊥平面ABCD.又在直角梯形ABCD中,易得,所以可以O为坐标原点,OC为x轴,OD为y轴,OP为z轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解.试题解析：(1)在中，，为AD的中点，所以,侧面PAD底面ABCD,则PO面ABCD.又在直角梯形ABCD中，连接,则,以O为坐标原点，直线OC为x轴，直线OD为y轴,直线为z轴建立空间直角坐标系.,,,所以，直线PB与平面所成角的余弦值为.(2)假设存在，则设=λ 因为=（0，1，﹣1），所以Q（0，λ，1﹣λ）．设平面CAQ的法向量为=（a，b，c），则，所以取=（1﹣λ，λ﹣1，λ+1），平面CAD的法向量=（0，0，1），因为二面角Q﹣AC﹣D的余弦值为，所以=，所以3λ2﹣10λ+3=0．所以λ=或λ=3（舍去），所以=.点睛：高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.