福州外国语学校2023-2024学年八年级上学期月考数学试卷（解析版）

福州外国语学校2023-2024学年八年级上学期1月份阶段测试卷数学满分：150分考试时间，90分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1.为宣传我国非物质文化遗产创新传承与发展，我校开展了征集“二十四节气”标识活动，下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟记“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形”是解题关键．【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；B、不是轴对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，符合题意；故选：D．2.下列各式中正确的是（）22A.25=±5B.(−=66)−C.2222−=D.(−=33)【答案】D【解析】【分析】本题考查了二次根式的性质化简，逐项化简分析，即可作答．【详解】解：A、25=5，故该选项是错误的；2B、(−==6)366，故该选项是错误的；C、222−=2，故该选项是错误的；2D、(−=33)，故该选项是正确的；故选：D第1页/共18页学科网（北京）股份有限公司 2x−93.若分式的值为0，则x的值为（）x−3A.−3B.3C.−3或3D.0或3【答案】A【解析】【分析】本题考查了分式的值为0的条件，解题的关键是掌握分式的相关定义．根据分式的值为0的条件即可求解．2x−9【详解】解：依据题意得：=0，x−3∴x290，解得：x=±3，x−≠30，∴x≠3，∴x=−3，故选：A．4.下列根式中是最简二次根式的是（）1A.8B.6C.ab2D.3【答案】B【解析】【分析】本题考查了最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式以及被开方数的因数是整数，因式是整式，据此即可作答．【详解】解：A、822=，不是最简二次根式，不符合题意；B、6是最简二次根式，符合题意；2C、abab=，不是最简二次根式，不符合题意；13D、=，不是最简二次根式，不符合题意；33故选：B5.在ABC和ABC′′′中，AB=AB′′，∠=∠BB′，补充条件后仍不一定能保证△ABC≌ABC′′′，第2页/共18页学科网（北京）股份有限公司 则补充的这个条件是（）．A.BC=BC′′B.∠=∠AA′C.ACAC′′=D.∠=∠CC′【答案】C【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定可用两边夹一角，两角夹一边，三边相等等进行判定，做题时要按判定全等的方法逐个验证．【详解】解：A、若添加BC=BC′′，可利用SAS进行全等的判定，故本选项不符合题意；B、若添加∠=∠AA′，可利用ASA进行全等的判定，故本选项不符合题意；C、若添加ACAC′′=，不能进行全等的判定，故本选项符合题意；D、若添加∠=∠CC′，可利用AAS进行全等的判定，故本选项不符合题意；故选：C．6.如图，在Rt△ABC中，∠=°C90，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点1M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点2D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（）A.15B.30C.45D.60【答案】B【解析】【分析】本题考查了角平分线的性质、基本作图，过点D作DH⊥AB于H，根据题意可知AP平分∠CAB，由角平分线的性质得出CD=DH=4，再由三角形的面积公式可得出结论．掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．【详解】解：如图，过点D作DH⊥AB于H．由题意可知：AP平分∠CAB，第3页/共18页学科网（北京）股份有限公司 ∵DH⊥AB，∠=°C90，即DC⊥AC，∴CD=DH=4，∵AB=15，11∴△ABD的面积=ABDH⋅=××=15430，22故选：B．7.如图三角形纸片中，AB=8cm，BC6cm，AC=5cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为（）A.8cmB.7cmC.6cmD.5cm【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了折叠的性质，根据折叠的性质可得DE=CD，BE=BC，进而得到AD++=+−DEAEAC()ABBC，求解即可，理清折叠前后重叠的线段相等是解本题关键．【详解】解：由题意得，DE=CD，BE=BC，AB=8cm，BC6cm，AC=5cm，∴AD++=++−=+−=+−=DEAEADCD(ABBE)AC(ABBC)5(86)7(cm)∴AED的周长为7cm，故选：B．8.老师在黑板上写了一个代数式的正确计算结果，随后用手遮住了原代数式的一部分，如下图所示：2x−+11xx（−÷=2xxxx−+21+1−1则被遮住的部分是（）x−121x+x−121x−A.B.C.D.21x+x−121x−x−1【答案】B【解析】【分析】根据除法和减法的逆运算列出算式，再根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得．第4页/共18页学科网（北京）股份有限公司 2xxx+−11【详解】被遮住的部分=⋅+2xxxx−+11−+21xxx(−+1)(1)=+2xx−−1(1)xx+1=+xx−−1121x+=x−1故选B【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．9.如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分剪成两个直角梯形后再拼成一个等腰梯形（如图②），通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是（）22A.aab(+=+)aabB.aab(−=−)aab22222C.(ab+=++)a2abbD.ababab−=−+()()【答案】D【解析】【分析】根据图中边的关系，可求出两图阴影的面积，而两图面积相等，从而推导出等式．122=22baababab+−=+−【详解】左阴影的面积=ab−，右平行四边形的面积()()()()，222两面积相等所以得到等式ababab−=+−()()．故选：D．【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，解决本题的关键是求出两图的面积，而两图面积相等，从而推导出了平方差的公式．10.如图，在Rt△ABC中，∠=°ACB90，∠=°B30，BC=6，如果点D，E分别为BC，AB上的动点，那么AD+DE的最小值是（）第5页/共18页学科网（北京）股份有限公司 A.3B.6C.8D.12【答案】B【解析】【分析】作点A关于BC的对称点A′，作点AE′AB⊥，交BC于点D．则AD=AD′，所以AD+=+≥DEAD′′DEAE．即AD+DE的最小值为AE′．【详解】解：作点A关于BC的对称点A′，作点AE′AB⊥，交BC于点D．则AD=AD′，∴AD+=+≥DEAD′′DEAE．即AD+DE的最小值为AE′．∵∠ACB=°∠=°90，B30，BC=6，1∴AC=AB2222则AB=AC+CB22即4AC=AC+36解得AC=23，AB=43连接AB′，如图：第6页/共18页学科网（北京）股份有限公司 11∵SAAB′=⋅=⋅AABC′′ABAE22AABC′⋅2ACBC⋅2236××∴AE′====6ABAB43即AD+DE的最小值为6．故选：B．【点睛】此题考查了垂线段最短，轴对称性质，勾股定理，30度所对的直角边是斜边的一半，熟练掌握此性质是解本题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11.若x−5在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______．【答案】x≥5##5≤x【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件可直接进行求解．【详解】解：由题意得：x−≥50，解得：x≥5；故答案为：x≥5．【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件．12.在平面直角坐标系xOy中，点P(5,1−)关于y轴对称的点的坐标是___________．【答案】(−−5,1)【解析】【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反进行求解即可．【详解】解：在平面直角坐标系xOy中，点P(5,1−)关于y轴对称的点的坐标是(−−5,1)，故答案为：(−−5,1).第7页/共18页学科网（北京）股份有限公司 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，解决本题的关键是掌握关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．13.唐代刘禹锡有诗曰：“庭前芍药妖无格，池上芙蕖净少情，唯有牡丹真国色，花开时节动京城．”牡丹花有非常高的观赏价值，某品种的牡丹花粉直径约为0.0000354米，则数据0.0000354用科学记数法表示为_______．−5【答案】3.5410×【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1⩽|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．−5【详解】解：0.0000354=3.5410×，−5故答案为：3.5410×．【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1⩽|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．14.已知43mnmn+2的值为______．=，16=2，则4【答案】6【解析】n【分析】本题考查了同底数幂相乘以及幂的乘方逆运用：先由16n222nm=，得(442)==，再结合43=，mn+22mn则4=⋅=443，即可作答．n【详解】解：∵16=2n22n∴(442)==mn+22mn则4=⋅=×=44326故答案为：615.如图，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有_________个．第8页/共18页学科网（北京）股份有限公司 【答案】8【解析】【详解】如图，AB是腰长时，红色的4个点可以作为点C，AB是底边时，黑色的4个点都可以作为点C，所以，满足条件的点C的个数是4+4=8．故答案为8．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握网格结构的特点是解题的关键，要注意AB是腰长与底边两种情况讨论求解．16.如图，分别以ABC的边ABAC，所在直线为对称轴作ABC的对称图形△ABD和△ACE，∠=°BAC150，线段BD与CE相交于点O，连接BE、EDDC、、OA．有如下结论：①∠=EAD90°；②∠=°BOE60；③OA平分∠BOC；④2EA=ED；⑤BP=EQ．其中正确的是________________．【答案】①②③【解析】【分析】①由轴对称的性质得∠=BAD∠=CAE∠=°BAC150，结合周角可求出∠=EAD90°；②先求出∠BAE=60°，利用“8”字三角形可求出∠=BOE∠=°BAE60；③利用三角形三条角平分线相较于一点可得出OA平分∠BOC；④利用30度角的性质判断即可；⑤用反证法判断即可．【详解】解：∵△ABD和△ACE是ABC的轴对称图形，∴∠=BAD∠=CAE∠=°BAC150，AB=AE，AC=AD，∴∠EAD=∠3BAC−360°=×3150°−360°=90°，故①正确．∴∠BAE=∠BAD−∠EAD=150°−90°=60°，由翻折的性质得，∠=AEC∠=ABD∠ABC，又∵∠=EPO∠BPA，第9页/共18页学科网（北京）股份有限公司 ∴∠=BOE∠=°BAE60，故②正确．由翻折的性质得，∠=ABD∠ABC，∠=ACB∠ACO，∴AB平分∠OBC，AC平分∠BCO，∴OA平分∠BOC，故③正确．∵∠=EAD90°，∴只有当∠=ADE30°时，2EA=ED才成立，而∠=ADE30°不一定成立，故④不正确；若BP=EQ，∵AB=AE，∠=AEC∠ABD，∴ABP≌AEQ(SAS)，∴∠=BAE∠EAQ，这与∠BAE=60°，∠=EAD90°相矛盾，所以BP≠EQ，故⑤不正确．故答案为：①②③．【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和，三角形角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，反证法，全等三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．三、解答题（本大题共8小题，共86分．解答应写出必要的文字说明、证明过程、正确作图或演算步骤）．−2312023017.计算：27+−−(1)−−(π2022)．2【答案】7【解析】【分析】本题考查了实数的混合运算：先化简负整数指数幂与零指数幂，再求出立方根以及乘方运算，最后进行加减混合运算，即可作答．−23120230【详解】解：27+−−(1)−−(π2022)232023=27+−−4(1)−1=+−−−3411()=++−3411=7．18.因式分解：4（1）x−16；第10页/共18页学科网（北京）股份有限公司 2（2）ab−+10ab25b．2【答案】18.(xxx+−+224)()()219.ba(−5)【解析】【分析】本题考查了因式分解：（1）运用平方差公式进行因式分解，即可作答．2（2）先提公因式，得ba(−+10a25)，运用完全平方公式进行因式分解，即可作答．【小问1详解】4222解：x−1644224=−+(xx)()=(xxx+−+)()()；【小问2详解】222解：ab−+=−+=−10ab25bba(10a25)ba(5)．223aa+−19.先化简，再求值：2÷+2，其中a=2．aa−+21a−121(a+)【答案】，426+a−1【解析】22322a+−+−aa22aa++1【分析】本题考查了分式的化简运算，先整理括号内，得÷，则÷，22aa−+21a−1aaa−+−21121(a+)a−1把除法化为乘法，得2×，再化简，即可作答．(a−1)a+1223aa+−【详解】解：÷+22aa−+21a−122322a+−+−aa=÷2aa−+21a−122aa++1=÷2aaa−+−21121(a+)a−1=×2(a−1)a+121(a+)=，a−1第11页/共18页学科网（北京）股份有限公司 21(a+)2×+(2122121)(++)()把a=2代入，得==426+．a−121−(2121−+)()20.已知：如图，∠B＝∠C＝90°，AF=DE，BE=CF．求证：AB=DC．【答案】详见解析【解析】【分析】运用HL定理证明直角三角形全等即可．【详解】∵BE=CF，∴BF=CE在RtABF与RtDCE中：AF=DEBF=CE∴Rt△ABF≌Rt△DCEHL()∴AB=DC【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，熟练掌握HL定理是解题关键．21.如图，在ABC中，AB=AC．（1）尺规作图：在边BC找一点D使得∠BAD=∠B；（2）在（1）的条件下，若CACD=，求∠B的度数．【答案】（1）见解析（2）∠=°B36【解析】1【分析】（1）作AB的垂直平分线，即分别以A、B为圆心大于AB的长为半径作弧，连接两弧交点做2直线交BC于点D，连接BD即可得出答案；（2）根据DE垂直平分AB得∠BAD=∠B，根据三角形外角的性质得到第12页/共18页学科网（北京）股份有限公司 ∠CAD=∠CDA=∠+∠BBAD=∠2B，由AB=AC得∠=ABC∠C，即可求出∠DBC．【小问1详解】∵BD=AD，∴∠BAD=∠B，∴如图即为所作；【小问2详解】由（1）作图可知，DE垂直平分AB，∴∠BAD=∠B，∵CACD=，∴∠CAD=∠CDA=∠+∠BBAD=∠2B，∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=∠3B，∵AB=AC，∴∠BC=∠，∵∠+∠BBAC+∠=C180°，∴5∠=°B180，∴∠=°B36．【点睛】本题考查等腰三角形以及垂直平分线的性质，三角形内角和定理，掌握相关性质是解题的关键．22.分式方程应用题：近日，北京教育考试院发布了《北京市义务教育体育与健康考核评价现场考试项目评分准（试行）》，2024年中考中对于体育现场考试项目中的男生1000米和女生800米的考核标准调整为“达到良好即满分”，即达到3分55秒即可得到满分．在一次计时跑步中，某班一名女生和一名男生的平均速度相同，且这名女生跑完800米所用时间比这名男生跑完1000米所用时间少56秒，按照中考考核标准来看，这名女生能否能拿到满分？【答案】这名女生能拿到满分【解析】【分析】本题考查分式方程的应用．设女生所用的时间为x秒，则男生所用时间为(x+56)秒，根据两人的平均速度相同，列出方程求解即可．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．第13页/共18页学科网（北京）股份有限公司 【详解】解：设女生所用的时间为x秒，则男生所用时间为(x+56)秒，由题意，得：8001000=，xx+56解得：x=224，经检验x=224是原方程的解；∵3分55秒=235秒，224<235，∴这名女生能拿到满分．23.将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式分别分解的方法是因式分解中的分组分解法，常见的分组分解法的形式有：“22＋”分法、“31＋”分法、“32＋”分法及“33＋”分法等．如“22＋”分法：axaybxby+++=+++(axay)(bxby)=+++axybxy()()=(xyab++)()再如“31＋”分法：22x−+−2xyy1622=−+−(x2xyy)1622=−−(xy)4=−+(xy44)(xy−−)利用上述方法解决下列问题：22（1）分解因式：9x−+−6xyy16．（2）ABC的三边a，b，c满足2a+−=bcabac，判断ABC的形状，并说明理由．【答案】（1）(3xy−+43)(xy−−4)；（2）ABC是等腰三角形，理由见解析．【解析】【分析】（1）根据“31＋”分法即可得出答案；（2）根据“22＋”分法分解因式，得出ab−=0或ac−=0，即可得出答案．第14页/共18页学科网（北京）股份有限公司 【小问1详解】22解：9x−+−6xyy1622=−+−(9x6xyy)162=−−(3xy)16=−+(3xy43)(xy−−4)；【小问2详解】解：2a+−=bcabac，2a+−−=bcabac0，2a−−−=ab(acbc)0，aabcab(−−−=)()0，(abac−)(−=)0，∴ab−=0或ac−=0，∴ab=或ac=，∴ABC是等腰三角形．【点睛】本题考查因式分解，利用分组分解法时，要明确分组的目的，是分组分解后仍能继续分解，还是分组后利用各组本身的特点进行解题．ba24.如图1，在平面直角坐标系中，点A，点B的坐标分别为(a,0)，(0,b)，其中a，b满足：+=−2，ab2b−9=0b+3（1）试判断ABO的形状，并说明理由；（2）如图2，C是AB的中点，M为x轴正半轴上一点，N为OB上一点，若BN+=OMMN．求第15页/共18页学科网（北京）股份有限公司 ∠NCM的度数；（3）如图3，作∠ABO的角平分线，再分别过点A，O作这条角平分线的垂线，垂足分别为D，P，试写出BD，AD与OP之间的数量关系，并证明．【答案】（1）ABO是等腰直角三角形，理由见解析（2）45°（3）BD=AD+2OP，证明见解析【解析】2b−9ba2【分析】（1）根据=0得到b−=30，则b=3，再由+=−2推出(a+=30)，则a=−3，b+3ab由此得到AB(−30，)，(03，)，则OA=OB，再由∠=AOB90°，即可得到ABO是等腰直角三角形；（2）如图所示，在OA上取一点H，是的OH=BN，连接OCHC，，由等腰直角三角形的性质得到OC=BC，∠CBN=∠COH=45°，OC⊥BC，由此可证明△CBN≌△COH，得到CH=CN，∠OCH=∠BCN，进而可证明∠NCH=+=∠OCH∠OCN90°，再证明1△MCH≌△MCN(SSS)，即可得到∠MCN=∠MCH=∠NCH=45°；2（3）如图所示，过点O作OT⊥AD交AD延长线于T，设BDOA，交于G，则∠ADB=∠T=∠OPB=∠AOB=90°，证明△OAT≌△OBP(AAS)，得到AT=BPOT，=OP，再证明OP=DT（平行线间间距相等），同理可得PD=OT，则PD=PT=DT=OT，根据BD=BP+DP，即可推出BD=AD+2OP．【小问1详解】解：ABO是等腰直角三角形，理由如下：2b−9∵=0，b+3(bb+33)(−)∴=0，b+3∴b−=30（b+=30时分式无意义），∴b=3，ba∵+=−2，ab3a∴+=−2，a3第16页/共18页学科网（北京）股份有限公司 2∴aa+=−96，2∴aa++=690，2∴(a+=30)，∴a=−3，经检验，a=−3是原方程的解，∴AB(−30，)，(03，)，∴OA=OB，又∵∠=AOB90°，∴ABO是等腰直角三角形；【小问2详解】解：如图所示，在OA上取一点H，是的OH=BN，连接OCHC，，∵ABO是等腰直角三角形，C是AB的中点，∴OC=BC，∠CBN=∠COH=45°，OC⊥BC，∴△CBN≌△COH(SAS)，∴CH=CN，∠OCH=∠BCN，∴∠NCH=+=+==∠OCH∠OCN∠BCN∠OCN∠OCB90°，∵BN+=OMMN，∴OH+=OMMN，即MH=MN，又∵CM=CM，∴△MCH≌△MCN(SSS)，1∴∠MCN=∠MCH=∠NCH=45°；2【小问3详解】解：BD=AD+2OP，证明如下：第17页/共18页学科网（北京）股份有限公司 如图所示，过点O作OT⊥AD交AD延长线于T，设BDOA，交于G，∵ADBDOPBD⊥，⊥，OT⊥AD∴∠ADB=∠T=∠OPB=∠AOB=90°，∵∠AGD=∠BGO，∴∠OBP=∠OAT，又∵OA=OB，∴△OAT≌△OBP(AAS)，∴AT=BPOT，=OP，∵BDADOT⊥，⊥AD，∴OT∥PD，∴OP=DT（平行线间间距相等），同理可得PD=OT，∴PD=PT=DT=OT，∵BD=BP+DP，∴BD=+=++=+ATOPADDTOPAD2OP．【点睛】本题主要考查了坐标与图形，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判断，平行线的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司