福建莆田南门学校2023-2024学年九年级上学期第三次月考数学试卷（解析版）

南门2023-2024学年九上第三次月考一、单选题1.下列漂亮的图案中似乎包含了一些曲线，其实它们这种神韵是由多条线段呈现出来的，这些图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据中心对称图形及轴对称图形的概念即可解答．【详解】选项A，是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；选项B，不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；选项C，不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；选项D，不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意．故选A．【点睛】本题考查了中心对称图形及轴对称图形的概念，熟练运用中心对称图形及轴对称图形的概念是解决问题的关键．2.在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是()A.频率就是概率B.频率与试验次数无关C.概率是随机的，与频率无关D.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率【答案】D【解析】【详解】因为大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率,所以D选项说法正确,故选D．第1页/共27页学科网（北京）股份有限公司 3.如图，在ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（）A.c＝bsinBB.b＝csinBC.a＝btanBD.b＝ctanB【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的定义进行判断，即可解决问题．【详解】∵RtABC中，∠=°C90，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、cb∴sinB=，即bcB=sin，则A选项不成立，B选项成立cbtanB=，即baB=tan，则C、D选项均不成立a故选：B．【点睛】本题考查了三角函数的定义，熟记定义是解题关键．4.如图，△ABC与△DEF位似，位似中心是点P，其位似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比是（）A.1：2B.1：4C.1：2D.1：8【答案】B【解析】【分析】根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答．【详解】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，其位似比为1：2，∴△ABC与△DEF的面积比为1：4．故选：B．第2页/共27页学科网（北京）股份有限公司 【点睛】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．5.关于x的一元二次方程2x−+=60xm有两个不相等的实数根，则m的值可能是（）A.8B.9C.10D.11【答案】A【解析】【分析】先根据判别式＞0，求出m的范围，进而即可得到答案．2【详解】解：∵关于x的一元二次方程x−+=60xm有两个不相等的实数根，2∴∆=−(6)−××>41m0，解得：m＜9，m的值可能是：8．故选：A.【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式与根的情况的关系，掌握一元二次方程有两个不等的实数2解，则∆=b−40ac>，是解题的关键．6.ABC内接于圆，延长BC到D，点E在BC上，连接AE，EC，如图所示．图中等于∠ACD与∠BAC之差的角是（）A.∠ACBB.∠BAEC.∠EACD.∠AEC【答案】D【解析】【分析】由三角形外角的性质及圆周角定理可得∠ACD=∠ABC+∠BAC，∠ABC=∠AEC，由此可得∠ACD=∠AEC+∠BAC，即可得∠ACD-∠BAC=∠AEC．【详解】∵∠ACD=∠ABC+∠BAC，∠ABC=∠AEC，∴∠ACD=∠AEC+∠BAC，第3页/共27页学科网（北京）股份有限公司 ∴∠ACD-∠BAC=∠AEC．故选D．【点睛】本题主要考查了三角形的外角定理，圆周角定理，熟练掌握三角形的外角定理和圆周角定理是解决问题的关键．27.下列关于二次函数yx=−−(2)3的说法正确的是()A.图象是一条开口向下的抛物线B.图象与x轴没有交点C.当x<2时，y随x增大而增大D.图象的顶点坐标是(2,3−)【答案】D【解析】【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标，与x轴的交点个数，由此解答即可．【详解】解：A、a=>10，图象的开口向上，故此选项不符合题意；22B、yx=−−=−+(2)3xx41，∴2∆=−(4)−××=41112>0，即图象与x轴有两个交点，故此选项不符合题意；C、抛物线开口向上，对称轴为直线x=2，∴当x<2时，y随x增大而减小，故此选项不符合题意；2D、yx=−−(2)3，∴图象的顶点坐标是(2,3−)，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系．8.如图，已知直线lll∥∥直线AC和DF分别与直线l，l，l交于点A，B，C和点D，E，F，若123123AB=2BC，EF=3，则DE的长是（）第4页/共27页学科网（北京）股份有限公司 3A.B.3C.6D.92【答案】C【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．【详解】解：∵lll123∥∥，ABED∴=，BCEF∵AB=2BC，EF=3，2ED∴=，13∴DE=6，故选：C．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，注意：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例．29.将抛物线yx向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（）22A.yx=−+(3)4B.yx=++(3)422C.yx=+−(3)4D.yx=−−(3)4【答案】A【解析】【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．2【详解】解：将抛物线yx向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的函数表达式为：2yx=−+(3)4．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．10.圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC垂直圭第5页/共27页学科网（北京）股份有限公司 BC．已知该市冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为α，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为β，若表AC的长为m，则圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为（）mmmmA.mmtanαβ−tanB.−C.mmsinαβ−cosD.−tanαβtansinαβcos【答案】B【解析】【分析】分别解Rt△ABC和Rt△ACD，求出BC和CD的长度，然后利用线段的和差关系求解即可．【详解】解：在Rt△ABC中，∠=°C90，AC=m，∠=ABCα，ACm∴BC==，tan∠ABCtanα在Rt△ACD中，∠=°C90，AC=m，∠=ADCβ，ACm∴DC==，tan∠ADCtanβmm∴BD=−=−BCCD．tanαtanβ故选：B．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键．二、填空题11.在平面直角坐标系中，点(1,3)关于原点对称的点的坐标是______．【答案】(−−1,3)【解析】【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标的特点，根据关于原点对称的点的坐标，横、纵坐标互为相反第6页/共27页学科网（北京）股份有限公司 数即可求解．【详解】解：点(1,3)关于原点对称的点的坐标是(−−1,3)，故答案为：(−−1,3)．12.某班开展“梦想未来、青春有我”主题班会，第一小组有2位男同学和3位女同学，现从中随机抽取1位同学分享个人感悟，则抽到男同学的概率是______．2【答案】##0.45【解析】【分析】根据概率公式，即可解答．【详解】解：抽到的同学总共有5种等可能情况，抽到男同学总共有2种可能情况，2故抽到男同学的概率是，52故答案为：．5【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，熟知概率公式是解题的关键．13.在半径为1的圆中，1°圆心角所对的弧长是______．π1【答案】##π180180【解析】【分析】根据弧长公式计算即可求解．nrπππ11××【详解】解：l===．180180180π故答案为：180nrπ【点睛】本题主要考查了弧长公式，若弧所在圆的的半径为r，所对圆心角为n°，则弧长l=，熟知弧180长公式是解题的关键．14.若实数a、b分别满足22aa320，bb−+=320，且a≠b，则ab+_______．【答案】3【解析】2【分析】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax++=bxc00(a≠)的两根时，bcxx+=−，xx=．1212aa第7页/共27页学科网（北京）股份有限公司 22【详解】解：∵a、b分别满足aa320，bb−+=320，2∴a、b是方程xx−+=320的两个不相等的实数根，∴ab+=3，故答案为：3．15.据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体AB的高为6cm，小孔O到物体和实像的水平距离BE、CE分别为3cm2cm、，则实像CD的高度为_______cm．【答案】4【解析】【分析】本题考查了相似三角形的应用：常常构造“A”型或“X”型相似图，利用三角形相似，对应边成比例可求线段的长度.【详解】解：∵ABCD,∴∠BAO=∠DCO，∠=AOB∠COD，∴OAB∽OCD，CDCE∴=，ABBECD2∴=，63∴=CD4，故答案为:4.216.已知抛物线y=++≠axbxca(0)与x轴的交点为A(1,0)和B(3,0)，点Pxy111(,)，Pxy222(,)是抛物线上不同于A，B的两个点，记△PAB1的面积为S1，△PAB2的面积为S2．有下列结论：①当xx>+2时，SS>；②当xx<−2时，SS<；③当|xx−>−>2||2|1时，SS>；④当121212121212|xx−>+>2||2|1时，SS<．其中错误的是____________．（写出所有错误结论的序号）1212第8页/共27页学科网（北京）股份有限公司 【答案】①②④【解析】【分析】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的对称性是解题的关键．通过x和x的不等关12系，确定Pxy111(,)，Pxy222(,)在抛物线上的相对位置，逐一分析即可求解．2【详解】解：∵抛物线y=++≠axbxca(0)与x轴的交点为A1,0和B(3,0)，∴该抛物线对称轴为x=2，①不妨假设a>0，如图1中，P1、P2满足xx12>+2，此时PP12∥AB，∴=SS，故①错误；12②当x1=−2，x2=−1时，满足xx12<−2，则SS12>，故②错误；③当xx12−>−>221时，Pxy111(,)比Pxy222(,)离对称轴更远，且同在x轴上方或者下方，∴yy12>，∴SS12>，故③正确；④不妨假设a>0，如图2中，P1、P2满足|xx12−>+>2||2|1，但是SS12，故④错误；第9页/共27页学科网（北京）股份有限公司 综上分析可知，结论错误的是：①②④；故答案为：①②④．三、解答题17.计算：sin45°+2cos30°−tan60°．2【答案】2【解析】【分析】将特殊角的三角函数值代入求解即可．2322【详解】解：原式=+×−=+−=2333．2222【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．18.如图，将ABC绕点A顺时针旋转α得到ADE（α为锐角），点D与点B对应，连接BD，CE．求证：△ABD∽△ACE．【答案】见解析【解析】ABAD【分析】根据旋转的性质可得AB=AD，AC=AE，∠=BAD∠CAE，从而得到=，即可求证．ACAE【详解】解：ABC绕点A旋转α得到ADE，∴AB=AD，AC=AE，∠=BAD∠CAE，第10页/共27页学科网（北京）股份有限公司 ABAD∴=，ACAE∴△ABD∽△ACE．【点睛】本题主要考查了图形的旋转，相似三角形的判定，熟练掌握图形的旋转的性质，相似三角形的判定是解题的关键．19.某超市为回馈广大消费者，在开业周年之际举行摸球抽奖活动．摸球规则如下：在一只不透明的口袋中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后先从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的2个球中任意摸出1个球．（1）用树状图列出所有等可能出现的结果；（2）活动设置了一等奖和二等奖两个奖次，一等奖的获奖率低于二等奖．现规定摸出颜色不同的两球和摸出颜色相同的两球分别对应不同奖次，请写出它们分别对应的奖次，并说明理由．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）首先根据题意画出树状图，由树状图即可求得所有等可能的结果；（2）根据树状图找出颜色不同的两球和摸出颜色相同的两球的情况，即可得解．【小问1详解】解：画树状图如下：由树状图知共有6种情况；【小问2详解】解：由（1）知抽到颜色相同的两球共有2种情况，抽到颜色不同的两球共有4种情况，所以抽到颜色相同的两球对应一等奖，抽到颜色不同的两球对应二等奖．【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20.某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售增加盈利，该商店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天第11页/共27页学科网（北京）股份有限公司 可多售出2件，当每件商品降价多少元时，该商品每天的销售利润为1200元？【答案】每件商品降价10元时，该商品每天的销售利润为1200元．【解析】【分析】设每件商品降价x元，根据“平均每天可售出20件，每件盈利40元，销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，每件盈利不少于25元”列出关于x的一元二次方程，解之，根据实际情况，找出盈利不少于25元的答案即可．【详解】解：设每件商品降价x元，根据题意，得(40−+=xx)(202)1200解这个方程得x1=10，x2=20由40−≥x25，得x≤15的值x=10答：每件商品降价10元时，该商品每天的销售利润为1200元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．21.如图，在ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，BD=CE，过A、D、E三点作O，连接AO并延长，交BC于点F．（1）求证：AF⊥BC；（2）若AB=10，BC=12，BD=2，求O的半径长．【答案】（1）见解析（2）O的半径为5【解析】【分析】（1）连接AD、AE、OD、OE，先证明△ABD≌△ACE，得到AD=AE，再由OD=OE，可得AO垂直平分DE，即AF⊥BC，1（2）设求O的半径为x，由（1）可知F为BC中点，则BF=CF=BC=6，利用勾股定理求出2222AF=8，再求出DF=4，OF=−8x，OD=x，由勾股定理建立方程xx=+−48()，解得x=5，则O的半径为5．【小问1详解】第12页/共27页学科网（北京）股份有限公司 证明：连接AD、AE、OD、OE，∵AB=AC，∴∠BC=∠，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠=∠BC，BD=CE∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴AD=AE，又∵OD=OE，∴AO垂直平分DE，即AF⊥BC，【小问2详解】解：设求O的半径为x，由（1）可知AF⊥BC，∴F为DE中点，F为BC中点，1∴BF=CF=BC=6，2在△ABF中，AF=AB2−=BF21022−=68，在DOF中，DF=−=−=BFDB624，OF=−=AFAO8−x，OD=x，222∵OD=DF+OF222∴xx=+−48()，解得x=5，∴O的半径为5．【点睛】本题主要考查了三线合一定理，线段垂直平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，圆的基本性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．22.在RtABC∆中，∠=°C90．第13页/共27页学科网（北京）股份有限公司 （1）如图①，点O在斜边AB上，以点O为圆心，OB长为半径的圆交AB于点D，交BC于点E，与边AC相切于点F．求证：∠=∠12；（2）在图②中作M，使它满足以下条件：①圆心在边AB上；②经过点B；③与边AC相切．（尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）连接OF，可证得OF∥BC，结合平行线的性质和圆的特性可求得∠=∠12OFB=∠，可得出结论；（2）由（1）可知切点是∠ABC的角平分线和AC的交点，圆心在BF的垂直平分线上，由此即可作出M．【详解】（1）证明：如图①，连接OF，∵AC是O的切线，∴OE⊥AC，∵∠=°C90，∴OE∥BC，∴∠=∠1OFB，∵OF=OB，∴∠=OFB∠2，∴∠=∠12.（2）如图②所示M为所求．①第14页/共27页学科网（北京）股份有限公司 ①作∠ABC平分线交AC于F点，②作BF的垂直平分线交AB于M，以MB为半径作圆，即M为所求．证明：∵M在BF的垂直平分线上，∴MF=MB，∴∠=MBF∠MFB，又∵BF平分∠ABC，∴∠=MBF∠CBF，∴∠=CBF∠MFB，∴MF∥BC，∵∠=°C90，∴FM⊥AC，∴M与边AC相切．【点睛】本题主要考查圆和切线的性质和基本作图的综合应用．掌握连接圆心和切点的半径与切线垂直是解题的关键，23.阅该素材，充成任务.测试机器人行走路径某校科技兴趣小组制作了一个机器人，该机器人能根据指令要求进行旋转和行走．机器人从起点出发，连续执行如下指令：机器人先向前直行bn（表示第n次行走的路程），再逆时针旋转索αα()，直到第一次回到起点后停止．记机器人共行走的路程为l，所走路径形成的封0<≤90材闭图形的面积为S．一第15页/共27页学科网（北京）股份有限公司 b=），α=60如图1，当每次直行路程均为1（即n1时，机器人的运动路径为ABCDEFA→→→→→→，机器人共走的路程l=6，由图1图2易得所走路径形成的33封闭图形的面积为S=．2素材二素材如图3，若α=60，机器人执行六次指令后回到起点处停止．三解决问题任固定变量探索变用探索内容务α30°45°任直行路程l庭转角度a务bn=1与路程1一任务旋转角度a直行路程bn若a=60°，b1=2，b2=4，b3=1.5，b4=3，求b5与b6的值.二任旋转角度α、路路径形成的若b1=2，b2=4，l=20，请直接写出b3与b4之间的数量关系，务程l封闭图形S并求出当S最大时b4的值．三第16页/共27页学科网（北京）股份有限公司 【答案】（1）12，8（2）①b5=3，b6=2.5②2bb34+=10（3）b4=3【解析】【分析】对于（1），根据多边形的外角和确定边数，可得周长；对于（2），先构造三角形可得ABCAIH,,,DBEGFC为等边三角形，再根据等边三角形的三边相等推出b5，b6；对于（3），先构造等边GHI，可表示GI，b6，b5，再根据l=20，可求出2bb34+，然后根据等边三角形边长为a，高为h，表示等边三角形面积，根据32233322S=(bb34++−424)(bb34+−−)b4−讨论最大值，得出b4．4444360【详解】（1）解：当α=30°时，l=1×=12，30360当α=45°时，l=18×=，45（2）构造如图所示的三角形，∵α=60，∴ABCAIH,,,DBEGFC为等边三角形，∴CG=b24=4,AH=b=3，∴AC=AH++b3CG=++=41.538.5，则AB=AC=BC=8.5.∵b1=2，b2=4，∴EF=2，CF=4，∴b6==−−=−−=BEBCEFCF8.5242.5，∴b5==DIAB−−AIBD=−−=8.532.53，故答案为：3，2.5．第17页/共27页学科网（北京）股份有限公司 （3）如图，构造等边GHI∴GI=++b34b4，bbb634=+−2，bb54=−6，∵l=20，∴24++++−++−=bb346bbb434220，∴2bb34+=10，如图：等边三角形边长为a，高为h，3ha=sin60°=a，211332∴等边三角形面积==⋅=ahaaa222432233322∴S=(bb++−424)(bb+−−)b−3434444443232653∴S=−++=(bb44656)−(b4−+3)，444∴当S最大时，b4=3．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，二次函数求最大值，多边形的外角和，特殊角三角函数值等，构造等边三角形是解题的关键．224.如图，抛物线y=++xbxc交x轴于A、B两点，其中点A坐标为(1,0)，与y轴交于点C(0,3−)．第18页/共27页学科网（北京）股份有限公司 （1）求抛物线的函数表达式；（2）如图①，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠∠PAB=ACO．求点P的坐标；（3）如图②，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．2【答案】（1）yxx=+−238111013（2）(,)−−或(,)−3939（3）DM+DN为定值，定值为8【解析】【分析】本题是函数与几何综合，（1）把点A、C坐标代入抛物线解析式即求得b、c的值．（2）点P可以在x轴上方或下方，需分类讨论．①过点P作PH⊥x轴交x轴于点H，设P点的坐标为222PH−+−(hh23)(,hh+−2h3)，且hh+−<230，利用∠ACO的三角函数值，进而可得==AH1−h1，，即求出点P坐标．②若点P在x轴上方，同理即求出点P坐标．3（3）设点Q横坐标为t，用t表示直线AQ、BN的解析式，把x=1−分别代入即求得点M、N的纵坐标，再求DM、DN的长，即得到DM+DN为定值．【小问1详解】2解：∵抛物线y=++xbxc经过点A1,0，C(0,3−)．10++=bcb=2∴，解得：．00++=−c3c=−3第19页/共27页学科网（北京）股份有限公司 2∴抛物线的函数表达式为yxx=+−23．【小问2详解】8111013点P的坐标为(,)−−，或(,)−.39392∵当xx+−=230，解得：x1=−3，x2=1∴B(−3,0)∵A1,0，C(0,3−)，∴OA=1，OC=3，1∴在RtAOC中，tan∠=AOC3①若点P在x轴下方，如图1，过点P作PH⊥x轴交x轴于点H.22∵点P在抛物线上，不妨设P点的坐标为(,hh+−2h3)，且hh+−<230，1∴当∠=PAB∠ACO时，在Rt△PHA中，tan∠∠PAB=tanACO=32PH−+−(hh23)18即==，解得h=−，AH1−h33811∴P(,)−−，符合题意。39②若点P在x轴上方，如图2，过点P作PT⊥x轴交x轴于点T.22∵点P在抛物线上，不妨设P点的坐标为(tt,2+−t3)，且tt+−>230，1∴当∠=PAB∠ACO时，在RtPTA中，tan∠∠PAB=tanACO=32PTtt+−2310即=，解得t=−，AT1−t3第20页/共27页学科网（北京）股份有限公司 1013∴P(,)−,符合题意。398111013综上所述，点P的坐标为(,)−−或(,)−．3939【小问3详解】DM+DN为定值.2∵抛物线yxx=+−23的对称轴为：直线x=1−，∴D(−1,0)，xxMN==−1，2设Qtt(,233+−−<<t)(t1)，设直线AQ解析式为y=dxe+，de+=0dt=+3∴2，解得：，dte+=+−t23tet=−−3∴直线AQ：yt=+(33)xt−−，当x=1−时，yttM=−−−−=−−3326t，∴DM=−−−=+02626(t)t，设直线BQ解析式为y=mxn+，−+=30mnmt=−1∴2，解得：，mt+=+−nt23tnt=33−∴直线BQ：ytxt=−+−(133)，当x=1−时，ytttN=−++−=−13322，∴DN=−−=−+02222(t)t，∴DM+DN=++−+=26228t(t)，为定值．【点睛】本题涉及了求二次函数解析式、求一次函数解析式，解一元二次方程、二元一次方程组，等腰三角形的性质，三角函数的应用．解题关键在于第（2）题由于不确定点P位置需分类讨论；（2）（3）计算量较大，应认真理清线段之间的关系再进行计算．25.如图，正方形ABCD中，点E在边AD上（不与端点A，D重合），点A关于直线BE的对称点为点F，连接CF，设∠=ABEα．第21页/共27页学科网（北京）股份有限公司 （1）求∠BCF的大小（用含α的式子表示）；（2）过点C作CG⊥AF，垂足为G，连接DG．判断DG与CF的位置关系，并说明理由；（3）将ABE绕点B顺时针旋转90°得到CBH，点E的对应点为点H，连接BF，HF．当△BFH为等腰三角形时，求sinα的值．【答案】(1)45+°α．(2)DG//CF．理由见解析．5(3)．5【解析】【分析】(1)作辅助线BF，用垂直平分线的性质，推导边相等、角相等．再用三角形内角和为180°算出∠BCF．(2)作辅助线BF、AC，先导角证明△CFG是等腰直角三角形、△ADC是等腰直角三角形．再证明ADM∽AGC、DGC∽AFC，最后用内错角相等，两直线平行，证得DG//CF．(3)△BFH为等腰三角形，要分三种情况讨论：①FH=BH②BF=FH③BF=BH，根据题目具体条件，舍掉了②、③种，第①种用正弦函数定义求出比值即可．【详解】(1)解：连接BF，设AF和BE相交于点N．点A关于直线BE的对称点为点F∴BE是AF的垂直平分线∴⊥BEAF，AB=BF∴∠BAF=∠BFA∠ABE=α第22页/共27页学科网（北京）股份有限公司 ∴∠BAF=90-=°α∠BFA∴∠EBF=180-90-90-°°(°αα)=四边形ABCD是正方形∴AB=BC，∠°ABC=90∴∠FBC=90-2°α，AB=BC=BF∴∠BFC=∠BCF∠BFC+∠BCF+∠FBC=180°∠，FBC=90°−2α180°−(90°−2α)∴∠∠=BFC=BCF=°45+α．2(2)位置关系：平行．理由：连接BF，AC，DG设DC和FG的交点为点M，AF和BE相交于点N由(1)可知，∠=ABE∠=∠=EBFαα，BAF∠=°BFA90−，∠=BFC∠=°BCF45+α∴∠AFC=∠AFB+∠CFB=90°−αα+45°+=135°∴∠CFG=180°−∠AFC=45°CG⊥AG∴∠FGC=90°∴∠GCF=180°−∠FGC−∠CFG=45°=∠CFG∴CGF是等腰直角三角形CG1∴=CF2四边形ABCD是正方形∴∠=BAD∠=ADC∠=°=BCD90，ADCD∴ADC是等腰直角三角形第23页/共27页学科网（北京）股份有限公司 DC1∴=∠=°，ACD45AC2∴∠BCA=45°BE垂直平分AF∴∠ANE=90°∴∠NAE=180°−∠ANE−∠AEN=α在△ADM和△CGM中，∠=ADC∠=°AGC90∠=AMD∠CMG∴ADM∽CGM∴∠=MCG∠=GADα∠BCA=45°∠，BCF=45°+α∴∠ACF=∠BCF−∠BCA=α在DGC和△AFC中，DCCG1==∠=，DCG∠=ACFαACFC2∴DGC∽AFC∴∠=AFC∠=°DGC135∴∠DGA=∠DGC−∠AGC=135°−90°=45°∴∠DGA=∠CFG=45°∴CF//DG(3)△BFH为等腰三角形有三种情况：①FH=BH②BF=FH③BF=BH，要分三种情况讨论：①当FH=BH时，作MH⊥BF于点M由(1)可知：AB=BF，∠=ABE∠=EBFα第24页/共27页学科网（北京）股份有限公司 四边形ABCD是正方形∴AB=BC，∠ABC=°∠90，BAE=°90设AB=BF=BC=a将ABE绕点B顺时针旋转90°得到CBH∴∠CBH=∠ABE=α，BH=BE∴∠FBH=∠ABC−∠ABF+∠CBH=90°−2αα+=90°−αFH=BH∴∠HBF=∠BFH=90°−α∴∠FHB=180°−∠FBH−∠BFH=2αBFH是等腰三角形，BH=HF，HM⊥BF1a∴∠=BHM∠=FHMα，BM===MFBF22在ABE和MHB中，∠=BAE∠=°BMH90∠=BHM∠=ABEα∴ABE∽MHBBMBH∴==1AEBEa∴BM=AE=2222aa25∴=BEAE+=AB+=a22AE5∴=sinα=BE5②当BF=FH时，设FH与BC交点为O第25页/共27页学科网（北京）股份有限公司 ABE绕点B顺时针旋转90°得到CBH∴∠ABE=∠CBH=α由(1)可知：∠=ABF2α∴∠FBC=90°−2α∴∠FBH=∠FBC+∠CBH=90°−2αα+=90°−αBF=FH∴∠FBH=∠FHB=90°−α∴∠BOH=180°−∠CBH−∠BHF=90°此时，∠BOH与∠BCH重合，与题目不符，故舍去③当BF=BH时，由(1)可知：AB=BF设AB=BF=a四边形ABCD是正方形∴AB=BC=aBF=BH∴BF=BH=BC=a而题目中，BC、BH分别为直角三角形BCH的直角边和斜边，不能相等，与题目不符，故舍去．第26页/共27页学科网（北京）股份有限公司 5故答案为：5【点睛】本题考查了三角形内角和定理(三角形内角和为180°)、平行线证明(内错角相等，两直线平行)、相似三角形证明(两组对应角分别相等的两个三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)、等腰直角三角形三边比例关系(1：1：2)、正弦函数定义式(对边：斜边)．第27页/共27页学科网（北京）股份有限公司