2020-2021学年长春外国语学校八年级上学期期末数学试卷(含答案解析).docx

2020-2021学年长春外国语学校八年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.若则x的值为(     )A.B.C.D.-72.下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是( )A.3，4，4B.3，4，5C.3，4，6D.3，4，73.已知ma+b⋅ma-b=m12，则a的值为(    )A.1B.4C.5D.64.如图，在△ABC中，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于M，N，连接MN，交BC于点D，连接AD，若∠BAD=45°，则∠B的度数为(    )A.75°B.65°C.55°D.45°5.字母表达式x-y2的意义为(    )A.x与y的平方差B.x与y的相反数的平方差C.x与y的差的平方D.x与y的平方的差6.下列说法错误的是(    )A.三角形的中线、高、角平分线都是线段B.任意三角形内角和都是180°C.三角形按角可分为锐角三角形、直角三角形和等腰三角形D.三角形内，到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点7.如图，在△ABC中，∠B=30°，AB的垂直平分线交BC于E，交AB于D，连接AE，若AE平分∠BAC，BE=4，则CE的长为(    )A.8B.6C.4D.2,8.如图，已知A1A2=1，∠OA1A2=90°，∠A1OA2=30°，以斜边OA2为直角边作直角三角形，使得∠A2OA3=30°，依次以前一个直角三角形的斜边为直角边一直作含30°角的直角三角形，则Rt△A2014OA2015的最小边长为(    )A.22013B.22014C.(23)2013D.(23)2014二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.36的平方根是       ；16的算术平方根是         ；8的立方根是         ；3-27=         ；3-7的相反数是         ；绝对值等于3的数是         ．10.计算(-2)0+(-12)-1=______．11.分解因式：9x2-y2=______．12.写出命题“若2a=4b，则a=2b”的逆命题：______．13.已知x2-6x+9=0，则x3=14.如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E是正方形内部一点，连接BE，CE，且∠ABE=∠BCE，点P是AB边上一动点，连接PD，PE，则PD+PE的长度最小值为______．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）15.[(x+2y)(x-2y)+4(x-y)2]÷6x，其中x=-1,y=12．四、解答题（本大题共9小题，共68.0分）16.计算：(1)18+50；(2)(7+3)(7-3).,17.如图，AB=DE，AB//DE，BE=CF.求证：△ABC≌△DEF．18.综合与实践[动手操作]任意一个四边形ABCD通过剪裁，都可以拼接成一个三角形，方法如下：如图1，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．连结EH，点P是线段EH的中点，连结PF、PG.沿线段EH、PF、PG剪开，将四边形ABCD分成①、②、③、④四部分，按如图所示的方式即可拼成一个无缝隙也不重叠的三角形P'MN．在拼接过程中用到的图形的变换有______A.轴对称B.平移C.中心对称D.位似[性质探究]如图3，连结EF'、F'G'、G'H.判断四边形EF'G'H的形状，并说明理由．[综合运用]若三角形P'MN是一个边长为4的正三角形，则四边形ABCD周长的最小值为______．19.如图，小明想知道湖中两个小亭A、B之间的距离，他在与小亭A、B位于同一水平面且东西走向的湖边小道上某一观测点M处，测得亭A在点M的北偏东60°，亭B在点M的北偏东30°，当小明由点M沿小道向东走60米时，到达点N处，此时测得亭A恰好位于点N的正北方向，继续向东走30米时到达点Q处，此时亭B恰好位于点Q的正北方向．,根据以上数据，请你帮助小明写出湖中两个小亭A、B之间距离的思路．20.按要求解下列一元二次方程：(1)x2-8x+12=0 (配方法)          (2)x2+4x-5=0(公式法)(3)(x+4)2=5(x+4)(适当的方法)21.已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按下图①摆放(点C与点E重合)，点B、C(E)、F在同一条直线上．∠ACB=∠EDF=90°，∠BAC=30°，∠DEF=45°，BC=6cm，EF=12cm.如图②所示，△DEF从图①的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿BA向点A匀速移动．此时DE与AC相交于点Q，连结PQ.当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF和点P同时停止移动．设移动时间为t(s)．解答下列问题：(1)当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？(2)当t为何值时，△APQ为直角三角形？(3)连结PE，当四边形APEC的面积最小时，求PE的长．22.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3cm，BC=4cm，点P从点C出发，沿折线CA-AB-BC以5cm/s的速度运动，当点P与点B不重合时，连结PB，以线段PB为对角线作正方形PDBE，设点P的运动时间为t(s)，正方形PDBE的面积为S(cm2).(1)当正方形PDBE有两边同时落在△ABC的边上时，求t的值；(2)当点P沿折线CA-AB运动时，求S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围；,(3)在整个运动过程中，正方形PDBE至少有一个顶点落在∠A的平分线上时，直接写出t的值．23.利用分解因式计算：(1)(-2)2013+(-2)2012           (2)20122-4024×2011+20112．24.在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，直线MN经过点C，过A、B两点分别作AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．(1)如图(1)试说明BE、AD、DE三线段之间的等量关系，并说明理由；(2)若MN绕点C旋转到(图2)时，(1)中的关系还成立吗？若成立说明理由，若不成立请写出他们之间的等量关系并说明理由．(3)若MN绕点C旋转到(图3)时，请直接写出BE、AD、DE三者之间的等量关系(不需证明)．,参考答案及解析1.答案：C解析：一道关于利用整体思想解决问题的题目，把x-2看作一个整体，只要先求出多少的立方根是-3，即可解决问题．因为-27的立方根是-3，所以x-2=-27 ，x=-25.故选C．2.答案：C解析：解：A、因为32+42>42，所以三条线段能组锐角三角形，不符合题意；B、因为32+42=52，所以三条线段能组成直角三角形，不符合题意；C、因为3+4>6，且32+42<62，所以三条线段能组成钝角三角形，符合题意；D、因为3+4=7，所以三条线段不能组成三角形，不符合题意．故选C．在能够组成三角形的条件下，如果满足较小两边平方的和等于最大边的平方是直角三角形；满足较小两边平方的和大于最大边的平方是锐角三角形；满足较小两边平方的和小于最大边的平方是钝角三角形，依此求解即可．本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．掌握组成钝角三角形的条件是解题的关键．3.答案：D解析：此题考查同底数幂的乘法运算，熟练掌握法则是关键．根据同底数幂的乘法法则得到关于m的方程，解方程即可得到m的值．解：因为ma+b⋅ma-b=m12，可得：a+b+a-b=12，解得：a=6，故选D．  4.答案：A解析：解：由作法得MN垂直平分AC，∴DA=DC，∴∠DAC=∠C=30°，,∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=45°+30°=75°，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∴∠B=180°-75°-30°=75°．故选：A．由基本作图得到MN垂直平分AC，则DA=DC，所以∠DAC=∠C=30°，然后根据三角形内角和计算∠B的度数．本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质．5.答案：D解析：解：字母表达式x-y2的意义为x与y的平方的差．故选：D．x2可叙述为x的平方，y2可叙述为y的平方，所以字母表达式x-y2的意义为x与y的平方的差．此题主要考查了代数式的意义，关键是注意代数式每一部分的表达方式，注意不要出现歧义．6.答案：C解析：解：A、三角形的中线、高、角平分线都是线段，故本选项正确；B、任意三角形内角和都是180°，符合三角形内角和定理，故本选项正确；C、正确为：三角形按角可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，故本选项错误；D、三角形内，到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点，符合角平分线的性质，故本选项正确．故选C．根据角平分线、中线和高的性质，三角形内角和定理及三角形的分类对各选项进行逐一分析即可．本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．7.答案：D解析：【试题解析】解：∵DE是线段AB的垂直平分线，∠B=30°，∴∠BAE=∠B=30°，∵AE平分∠BAC，∴∠EAC=∠BAE=30°，即∠BAC=60°，,∴∠C=180°-∠BAC-∠B=180°-60°-30°=90°．∵AE平分∠BAC，DE⊥AB，∴CE=DE，∵∠B=30°，BE=4，∴BE=2DE，∴BE=2CE，∴CE=2，故选：D．先由线段垂直平分线的性质及∠B=30°求出∠BAE=30°，再由AE平分∠BAC可得出∠EAC=∠BAE=30°，由三角形内角和定理即可求出∠C的度数，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CE=DE，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BE=2DE，进而得出CE即可．本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．8.答案：C解析：解：在Rt△OA1A2中，A1A2=1，∠OA1A2=90°，∠A1OA2=30°，∴OA2=2A1A2=2，在Rt△OA2A3中，OA2=2，∠OA2A3=90°，∠A2OA3=30°，∴A2A3=OA2tan∠A2OA3=2×33=233，OA3=2A2A3=43，在Rt△OA3A4中，OA3=43，∠OA3A4=90°，∠A3OA4=30°，∴A3A4=OA3tan∠A3OA4=43×33=(23)2，以此类推，Rt△A2014OA2015的最小边长A2014A2015=(23)2013．故选C．在直角三角形OA1A2中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半得到OA2=2A1A2，由A1A2的长求出OA2的长，在直角三角形OA2A3中，利用锐角三角函数定义得到tan∠A2OA3等于A2A3与OA2的比值，求出A2A3的长，再利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出OA3的长，同理求出A3A4的长，以此类推得到直角三角形△A2014OA2015的最小边长A2014A2015即可．,此题考查了勾股定理以及含30°角的直角三角形的性质，锐角三角函数定义，属于规律型试题，利用了转化的思想，锻炼了学生归纳总结的能力．9.答案：±6;±2;2;-3;37;±3解析：试题分析：根据平方根的定义，算术平方根的定义，立方根的定义，相反数的定义和绝对值的性质分别填空即可．36的平方根是±6；∵16=4，∴16的算术平方根是±2；8的立方根是2；3-27=-3；3-7的相反数是37；绝对值等于3的数是±3．故答案为：±6，±2，2，-3，37，±3．10.答案：-1解析：解：原式=1-2=-1．故答案为：-1．直接利用负整指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．11.答案：(3x+y)(3x-y)解析：解：原式=(3x+y)(3x-y)，故答案为：(3x+y)(3x-y)．利用平方差公式进行分解即可．此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)．12.答案：若a=2b，则2a=4b解析：解：命题“若2a=4b，则a=2b”的逆命题是“若a=2b，则2a=4b”．故答案为若a=2b，则2a=4b．交换原命题的题设与结论部分即可得到逆命题．本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．,13.答案：27解析：试题分析：先根据完全平方公式把已知式子变形，求出x的值，再代入求出即可．∵x2-6x+9=0，∴(x-3)2=0，∴x-3=0，∴x=3，∴x3=33=27，故答案为：27．14.答案：413-4解析：本题考查了轴对称-最短路线问题，正方形的性质，勾股定理的综合运用．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．根据正方形的性质得到∠ABC=90°，推出∠BEC=90°，得到点E在以BC为直径的半圆上移动，如图，设BC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AB对称的正方形AFGB，则点D的对应点是F，连接FO交AB于P，交⊙O于E，则线段EF的长即为PD+PE的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBE=90°，∵∠ABE=∠BCE，∴∠BCE+∠CBE=90°，∴∠BEC=90°，∴点E在以BC为直径的半圆上移动，如图，设BC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AB对称的正方形AFGB，则点D的对应点是F，连接FO交AB于P，交半圆O于E，则线段EF的长即为PD+PE的长度最小值，OE=4，∵∠G=90°，FG=BG=AB=8，∴OG=12，∴OF=FG2+OG2=413，,∴EF=413-4，∴PD+PE的长度最小值为413-4，故答案为：413-4．  15.答案：解：原式=(x2-4y2+4x2-8xy+4y2)÷6x=(5x2-8xy)÷6x=56x-43y，当x=-1，y=12时，原式=-56-23=-32．解析：原式中括号中利用平方差公式及完全平方公式化简，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16.答案：解：(1)原式=32+52=82；(2)原式=(7)2-(3)2=7-3=4．解析：(1)直接化简二次根式进而合并得出答案；(2)直接利用乘法公式计算得出答案．此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．17.答案：证明：∵AB//DE，∴∠CBA=∠FED，∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF，在△ABC和△DEF中，AB=DE∠CBA=∠FEDBC=EF，∴△ABC≌△DEF(SAS)．解析：由平行线得出∠CBA=∠FED，证出BC=EF，由SAS即可得出△ABC≌△DEF．本题考查了全等三角形的判定、平行线的性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．18.答案：B，C 47解析：解：[动手操作]观察图象可知②→②，③→③是中心对称，④→④是平移变换，,故答案为B，C．[性质探究]如图3中，结论：四边形F'C'HE是平行四边形．理由：由题意：P'F'=F'M，P'C'=C'N，∴F'C'=MN，F'C'=12MN，∵PH=HN，PE=EM，∴EH=12MN，∴F'C'=EH，∵F'C'//EH，∴四边形F'C'HE是平行四边形．[综合运用]如图4中，由(2)可知四边形F'C'HE是平行四边形，设EC'交HF'于O，则OE=OC'，OF'=OH，过点O作直线l//MN，作F'H⊥MN于T，连接TC'交直线l于O'，连接F'O'，此时F'+O'C'的值最小，最小值=TC'的长，在Rt△MTF'Z2，∵MF'=C'F'=2，∠TMF'=60°，∴TF'=2⋅sin60°=3，∵C'F'//MN，∴∠C'F'T=∠F'TM=90°，∴C'T=F'T2+C'F'2=3+4=7，,由题意四边形ABCD的周长的最小值=2(F'H+C'E)，F'H+C'E的最小值=2C'T=27，∴四边形ABCD的周长的最小值为47，故答案为47．[动手操作]根据中心对称，平移变换等知识判断即可．[性质探究]利用三角形的中位线定理证明即可．[综合运用]由(2)可知四边形F'C'HE是平行四边形，设EC'交HF'于O，则OE=OC'，OF'=OH，把问题转化为求F'H+C'E的最小值，即求OF'+OC'的最小值．本题属于几何变换形综合题，考查了中心对称，平移变换，三角形的中位线定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．19.答案：解：如图，由题意△AMN，△BMQ都是直角三角形，作AH⊥BQ于H，只要求出AH、BH即可利用勾股定理求出AB的长．易知四边形ANQH是矩形，可得AH=NQ=30米，在Rt△AMN中，根据AN=QH=MN⋅tan30°=203米，在Rt△MBQ中，BQ=MQ⋅tan60°=903，可得BH=BQ-QH=703米，由此即可解决问题．解析：如图，由题意△AMN，△BMQ都是直角三角形，作AH⊥BQ于H，只要求出AH、BH即可利用勾股定理求出AB的长．本题考查勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．20.答案：解：(1)x2-8x+12=0 (配方法)，∴x2-8x=-12，(x-4)2=-12+16，∴(x-4)2=4，∴x-4=±2，∴x1=6，x2=2； (2)x2+4x-5=0(公式法)，∵a=1，b=4，c=-5，b2-4ac=36，,∴x=-b±b2-4ac2a=-4±62，∴x1=1，x2=-5；(3)(x+4)2=5(x+4)(适当的方法)，∴(x+4)(x+4-5)=0，∴(x+4)(x-1)=0，∴x+4=0或x-1=0，∴x1=-4，x2=1．解析：(1)配方得到(x-4)2=4，再开方解方程即可；(2)找出a，b和c，再利代入公式求解即可；(3)首先移项，提取公因式(x+4)得到(x+4)(x-1)=0，然后解一元一次方程即可．本题主要考查了解一元二次方程的知识，解答本题的关键是掌握配方法、公式法以及因式分解法解一元二次方程的方法步骤，此题难度不大．21.答案：解：(1)∵∠ACB=∠EDF=90°，∠BAC=30°，∠DEF=45°，BC=6cm，∴AB=12cm，AC=63cm，依题意，得EC=QC=t．∴BE=6-t，AQ=63-t，∵BP=2t，∴AP=12-2t．当点A在线段PQ的垂直平分线上时，AP=AQ，∴12-2t=63-t，解得t=12-63，即当t=12-63时，点A在线段PQ的垂直平分线上；(2)由(1)求得CE=CQ=t，AQ=63-t，AP=12-2t，当∠APQ=90°时，cosA=APAQ，∵∠BAC=30°，∴32=12-2t63-t，解得：t=24+6313，当∠AQP=90°时，cosA=AQAP，,∴63-t12-2t=32，此方程无解，∴当t=24+6313时，△APQ为直角三角形；(3)过点P作PN⊥BC，垂足为N(如图2)，∵在Rt△PBN中，∠B=60°，BP=2t，∴PN=3．∴S△ABC=12BC⋅AC=183，∴S四边形APEC=S△ABC-S△PBE=183-12(6-t)⋅3t，=32t2-33t+183．∴当t=3时，S四边形APEC最小，∴此时，BE=6-t=3=CE，PB=2t=6=AP，∴PE=12AC=33．解析：(1)因为点A在线段PQ垂直平分线上，所以得到线段相等，可得CE=CQ，用含t的式子表示出这两个线段即可得解；(2)由(1)求得CE=CQ=t，AQ=63-t，AP=12-2t，当∠APQ=90°时，根据cosA=APAQ列方程解得t=24+6313，当∠AQP=90°时，根据cosA=AQAP得到方程63-t12-2t=32，此方程无解，于是得到当t=24+6313时，△APQ为直角三角形；(3)过点P作PN⊥BC，垂足为N(如图2)，在Rt△PBN中，∠B=60°，BP=2t，由三角函数得到PN=3.求得S△ABC=12BC⋅AC=183，于是得到S四边形APEC=S△ABC-S△PBE=183-12(6-t)⋅3t，=32t2-33t+183.求出t=3时，S四边形APEC最小，即可得到结果．本题考查了相似三角形的判定与性质、二次函数的最值、特殊图形的面积的求法等知识，图形较复杂，考查学生数形结合的能力，综合性强，难度较大，利用已知表示出各线段长度是解题关键．22.答案：解：(1)当正方形PDBE有两边同时落在△ABC的边上时，设正方形的边长为x，如图1所示：∵PE//AB，,∴△CPE∽△CAB，∴PEAB=CECB，即：x3=4-x4，解得：x=127，∴PE=127，∴EC=BC-BE=4-127=167，∴PC=PE2+EC2=(127)2+(167)2=207，∴t=2075=47s；(2)①当0≤t≤1时，作PH⊥BC于H，如图2所示：则PH//AB，∴△CPH∽△CAB，∴CPAC=PHAB=HCBC，∵∠ABC=90°，AB=3cm，BC=4cm，∴AC=AB2+BC2=32+42=5(cm)，∵CP=5t，∴HC=4t，PH=3t，∴BH=BC-HC=4-4t，在Rt△PHB中，PB2=PH2+BH2=(3t)2+(4-4t)2=25t2-32t+16，∴S=12PB2=252t2-16t+8；②当1