2020-2021学年上海市部分学校八年级上学期期末数学试卷(含答案解析).docx
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2020-2021学年上海市部分学校八年级上学期期末数学试卷一、选择题(本大题共6小题,共12.0分)1.下列式子中,是最简二次根式的是( )A.14B.30C.x3D.27a2.如果x1,x2是两个不相等实数,且满足x12-2x1=1,x22-2x2=1,那么x1+x2等于( )A.2B.-2C.1D.-13.如图,等腰直角△ABC的顶点A、B分别在坐标轴上,顶点C在反比例函数y=kx的图象上,若点A、B的坐标分别是(0,-1),(4,0),则k的值是( )A.2B.94C.32D.34.下列命题:①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形;②全等的两个三角形一定关于某直线对称;③等腰三角形的高线、中线、角平分线互相重合;④圆是轴对称图形,有无数条对称轴,直径就是它的对称轴.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个5.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=2∠B,AD平分∠BAC,交BC于点D,CE⊥AD,DF⊥AB,垂足分别为E,F,则下列结论中:①∠DCE=∠B;②∠ACE=60°;③BC-AD=DF;④直线DF垂直平分线段AB,正确的有( ),A.1个B.2个C.3个D.4个6.用长分别为3cm,4cm,5cm的三条线段可以围成直角三角形的事件是( )A.必然事件B.不可能事件C.随机事件D.以上都不是二、填空题(本大题共12小题,共36.0分)7.计算:232+224=______.8.在函数y=11-x中,自变量x的取值范围是 .9.在课本的阅读与思考中,科学家利用放射性物质的半衰期这个函数模型来测算岩石的年,生活中也有很多类似这样半衰的现象.请思考下面的问题:一个皮球从16m高处下落,第一次落地后反弹起8m,第二次落地后反弹起4m,以后每次落地后的反弹高度都减半.试写出表示反弹高度h(单位:m)与落地次数n的对应关系的函数解析式______.皮球第______次落地后的反弹高度是18m?10.在实数范围内分解因式:2x-6=______.11.如图,从点A(0,2)发出一束光,经x轴反射,过点B(3,4),则这束光从点A到点B所经过的路径的长为______.12.把下=下列命题改写为“如果…,那么…”的形式,并判断真假性.两个锐角的和是直角,如果______,那么______,是______命题.13.关于x的方程kx2+4x+1=0有实数根,则k的范围为______.14.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,将△ABC绕着点C旋转,点A、B的对应点分别是点A'、B',若点B'恰好在线段AA'的延长线上,则AA'的长等于______.15.正方形ABCD内一点P与点A、B组成等边三角形,则三角形PCD三个内角的度数分别为______.,16.某菜农在2020年11月底投资1600元种植大棚黄瓜,春节期间,共采摘黄瓜400千克,当天就可以按6元/千克的价格售出.若将所采摘的黄瓜先储藏起来,其质量每天损失10千克,且每天需支付各种费用共40元,但每天每千克的价格能上涨0.5元(储藏时间不超过10天).若该菜农想获得1175元的利润,则需要将采摘的黄瓜储藏______天.17.等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,BD平分∠ABC交AC于点D,若AB+AD=8cm,则底边BC上的高为______cm.18.如图,在△ABD中,C为AD上一点,AB=CD=1,∠ABC=90°,∠CBD=30°,则AC=______.三、解答题(本大题共8小题,共52.0分)19.计算:(7+43)(2-3)2+123÷56.20.解方程(1)3x(x-2)=2(2-x)(2)x2-2x-1=0(3)1-x22+2-x3=13.21.如图,双曲线y=kx(x>0)经过△OAB的顶点A和OB的中点C,AB//x轴,点A的坐标为(4,6),(1)确定k的值;(2)若点D(6,m)在双曲线上,求直线AD的解析式;(3)计算△OAB的面积.,22.如图,AC是四边形ABCD的对角线,AB=AD,CB=CD.(1)用直尺和圆规作AC的垂直平分线,垂足为E,交AB于点M,交AD于点N(保留作图痕迹,不要求写作法);(2)在(1)的条件下,求证:AM=AN.23.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D是AB的中点,过点D作DE⊥AC于点E,延长DE到点F,使得EF=DE,连接AF,CF.(1)根据题意,补全图形;(2)求证:四边形ADCF是菱形;(3)若AB=8,∠BAC=30°,求菱形ADCF的面积.24.如图,四边形为菱形,已知,,,.(1)求点的坐标;(2)求经过点的反比例函数解析式.25.如图,菱形ABCD放置在平面直角坐标系中,已知点A(-3,0),B(2,0),点D在y轴正半轴上,反比例函数的图象经过点C.(1)求反比例函数的表达式.(2)将菱形ABCD向上平移,使点B恰好落在双曲线上,此时A,B,C,D的对应点分别为A',B',C',D',且C'D'与双曲线交于点E,求点E的坐标.,26.如图①,点O是边长为2的正方形ABCD的对角线交点,分别延长OD到点G,OC到点E,使OG=2OD,OE=2OC,以OG、OE为边作正方形OEFG,连接AG、DE.(1)求证:AG=DE;(2)正方形ABCD固定,将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°<α<180°)得到正方形OE'F'G',如图②.①在旋转过程中,这两个正方形重合部分的面积会发生变化吗?证明你的结论;②在旋转过程中,当AG'=3时,求α的度数.,参考答案及解析1.答案:B解析:解:A、14=12,故不是最简二次根式,故A选项错误;B、30是最简二次根式,故B选项正确;C、x3=xx,故不是最简二次根式,故本选项错误;D、27a=33a,故不是最简二次根式,故D选项错误;故选:B.先根据二次根式的性质化简,再根据最简二次根式的定义判断即可.本题考查了对最简二次根式的定义的理解,能理解最简二次根式的定义是解此题的关键.2.答案:A解析:略3.答案:B解析:解:如图,过点C作CD⊥x轴于D,作CE⊥y轴于E,∴∠ECD=∠ACE+∠ACD=90°,∵△ABC是等腰直角三角形,∴AC=BC,∠ACB=90°,∴∠ACD+∠BCD=90°,∴∠ACE=∠BCD,∵∠AEC=∠BDC=90°,∴△ACE≌△BCD (AAS),∴CE=CD,AE=BD,设点C(a,a),∴CE=CD=a,∵点A、B的坐标分别是(0,-1),(4,0),∴a+1=4-a,解得a=32,∴C(32,32),∵顶点C在反比例函数y=kx的图象上,,∴k=32×32=94,故选:B.过点C作CD⊥x轴于D,作CE⊥y轴于E,根据等腰直角三角形的性质得出AC=BC,∠ACB=90°,进一步证得△ACE≌△BCD,得到CE=CD,AE=BD,设点C(a,a),则CE=CD=a,即可得到a+1=4-a,求得C的坐标,代入y=kx从而求得k的值.本题考查反比例函数图象上点的坐标特征,等腰直角三角形的性质,三角形全等判断和性质,求得点C的坐标是解决问题的关键.4.答案:A解析:解:①如果一个三角形有一个外角是120°,那么这个外角的内角为60°,所以这个三角形是等边三角形,所以有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形,说法正确;②全等的两个三角形不一定关于某直线对称,本小题说法错误;③等腰三角形的底边上的高线、底边上的中线、顶角平分线互相重合,故本小题说法错误;④圆是轴对称图形,有无数条对称轴,直径所在的直线是它的对称轴,故本小题说法错误;故选:A.根据等边三角形的判定定理、等腰三角形的三线合一、对称轴的概念判断即可.本题考查的是命题的真假判断,掌握等边三角形的判定定理、等腰三角形的三线合一、对称轴的概念是解题的关键.5.答案:D解析:解:∵∠ACB=90°,∠BAC=2∠B,∴∠B=30°,∠BAC=60°,∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠BAD=30°,∵CE⊥AD,∴∠AEC=90°,∴∠ACE=90°-∠CAD=60°,故②正确;∵∠ACB=90°,∴∠DCE=30°=∠B,故①正确;∵∠DAB=∠B=30°,,∴AD=BD,∵DF⊥AB,∴CD=DF,∴BC-AD=DF,故③正确;∵AD=BD,DF⊥AB,∴AF=BF,∴直线DF垂直平分线段AB,故④正确.故选:D.易求∠B=30°,∠BAC=60°,根据角平分线的定义结合直角三角形的性质可判断①②,再利用等腰三角形的性质与判定可判断③,再根据线段垂直平分线的定义可判断④.本题主要考查等腰三角形的性质与判定,线段垂直平分线的性质,角平分线的性质,灵活运用角平分线的定义与性质是解题的关键.6.答案:A解析:解:由勾股定理的逆定理,得32+42=52,∴长分别为3cm,4cm,5cm的三条线段可以围成直角三角形,故选:A.根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可.本题考查了必然事件,解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下,一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件,不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件.7.答案:56解析:解:232+224=2×62+2×26=56.故答案为:56.首先化简二次根式,进而合并同类二次根式即可.此题主要考查了二次根式的加减运算,正确化简二次根式是解题关键.8.答案:x<1,解析:试题分析:根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式计算即可得解.根据题意得,1-x>0,解得x<1.故答案为:x<1.9.答案:h=162n(n为正整数) 7解析:解:表示反弹高度h(单位:m)与落地次数n的对应关系的函数解析式h=162n(n为正整数).18=162n,2n=16×8=27,n=7.故皮球第7次落地后的反弹高度是18m.故答案为:h=162n(n为正整数),7.由题意可知,每次落地后的反弹高度都减半,依此可得表示反弹高度h(单位:m)与落地次数n的对应关系的函数解析式;把h=18m代入函数关系式可求皮球落地的次数.本题主要考查了函数关系式,解题的关键是仔细观察得出数据间的关系.10.答案:2(x-3)解析:解:2x-6=2(x-3).故答案为:2(x-3).利用提取公因式法,提取公因式2即可.本题主要考查了在实数范围内因式分解,应用提取公因式法是解题的关键.11.答案:35解析:解:如图,过点B作BD⊥x轴于D,∵A(0,2),B(3,4),∴OA=2,BD=4,OD=3,根据题意得:∠ACO=∠BCD,∵∠AOC=∠BDC=90°,∴△AOC∽△BDC,∴OCDC=ACBC=OABD=24=12,∴OC=12DC=13OD=1,,∴CD=OD-OC=2,∴AC=OA2+OC2=22+12=5,BC=BD2+CD2=42+22=25,∴AC+BC=35,故答案为:35.过点B作BD⊥x轴于D,由题意得出OA=2,BD=4,OD=3,∠ACO=∠BCD,证明△AOC∽△BDC,得出OCDC=ACBC=OABD=12,求出OC=12DC=13OD=1,得出CD=OD-OC=2,由勾股定理得出AC=OA2+OC2=5,BC=BD2+CD2=25,即可得出答案.本题考查了轨迹、坐标与图形性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识;熟练掌握勾股定理,证明三角形相似是解题的关键.12.答案:两个角都是锐角 它们的和是直角 假解析:解:两个锐角的和是直角,可以写成:如果两个角都是锐角,那么它们的和是直角.故答案为两个角都是锐角,它们的和是直角,假根据命题可以分为题设和结论两部分组成即可解决问题.本题考查命题与定理、解题的关键是知道一个命题由题设和结论两部分组成.13.答案:k≤1且k≠0解析:解:根据题意得k≠0且Δ=42-4k≥0,解得k≤1且k≠0.故答案为k≤1且k≠0.利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ=42-4k≥0,然后求出两不等式的公共部分即可.本题考查了根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2-4ac有如下关系:当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;当Δ<0时,方程无实数根.也考查了一元二次方程的定义.14.答案:145解析:本题考查了旋转的性质,等腰三角形的性质,勾股定理,利用勾股定理列出方程组是本题的关键.由旋转的性质可得AC=A'C=5,AB=A'B'=5,BC=B'C=8,由等腰三角形的性质可得AF=A'F,由勾股定理列出方程组,可求AF的长,即可求AA'的长.解:如图,过点C作CF⊥AA'于点F,,∵旋转,AB=AC=5,BC=8,∴AC=A'C=5,AB=A'B'=5,BC=B'C=8∵CF⊥AA',∴AF=A'F,∴AA'=2AF,在Rt△AFC中,AC2=AF2+CF2,在Rt△CFB'中,B'C2=B'F2+CF2,∴B'C2-AC2=B'F2-AF2,∴64-25=(8+AF)2-AF2,∴AF=75∴AA'=145故答案为145. 15.答案:15°,15°,150°解析:解:如图所示:∵四边形ABCD是正方形,,∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,AB=BC=CD=AD,∵△PAB是等边三角形,∴∠ABP=∠BAP=60°,AB=PA=PB,∴∠PAD=90°-60°=30°,PA=AD,∴∠ADP=∠APD=(180°-30°)÷2=75°,∴∠PDC=90°-75°=15°,同理:∠PCD=15°,∴∠CPD=180°-2×15°=150°;故答案为:15°,15°,150°.由正方形的性质得出∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,AB=BC=CD=AD,由等边三角形的性质得出∠ABP=∠BAP=60°,AB=PA=PB,求出∠PAD=30°,PA=AD,再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ADP=∠APD=75°,得出∠PDC=15°,同理:∠PCD=15°,再由三角形内角和定理求出∠CPD即可.本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理;熟练掌握正方形和等边三角形的性质是解决问题的关键.16.答案:5解析:解:设需要将采摘的黄瓜储藏x天出售,(6+0.5x)(400-10x)-40x-1600=1175,解得,x1=5,x2=15(舍去),即若该菜农想获得1175元的利润,则需要将采摘的黄瓜储藏5天.故答案是:5.根据题意可以列出相应的一元二次方程,从而可以解答本题.本题考查一元二次方程的应用,解答本题的关键是明确题意,列出相应的方程,注意储藏时间不超过10天.17.答案:4解析:解:作DE⊥BC于E,因为BD平分∠ABC,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等,设AC=AB=x,则DE=AD=8-x,CD=x-(8-x),在等腰直角三角形CDE中,根据勾股定理,2(8-x)2=[x-(8-x)]2,解得x=42,作BC边上的高AF,AF=ABsin45°=42×22=2×2=4,则底边BC上的高为4cm.故答案为4.利用等腰直角三角形两直角边相等,结合勾股定理解答.解答本题的关键是作出底边BC上的高ED,然后列方程解答.18.答案:32解析:解:分别过点A、C作AE⊥BD,CF⊥BD交BD于点,F两点,如图所示:设CF的长为x,AC的长为y,∵AE⊥BD,∴∠AEB=90°,又∵∠ABE+∠ABC+∠CBD=180°,∠ABC=90°,∠CBD=30°,∴∠ABE=60°,又∵AB=1,∴AE=32,又∵CF⊥BD,∴∠CFB=∠CFD=90°,又∵∠CBD=30°,∴BC=2x,又∵∠ABC=90°,AB=1,∴y=AB2+BC2=1+4x2,又∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴CF//AE,,∴△DCF∽△DAE,∴CFAE=CDAD,即x32=11+y,变形得:y2-13=1(1+y)2,理理得:y4+2y3-2y-4=0, (y+2)(y3-2)=0,解得:y=-2(舍去),y=32,即AC的长为32,故答案为32.由平角的定义,直角三角的性质求得AE=32,勾股定理求得 y2=1+4x2,两直线平行证明△DCF∽△DAE,其性质得CFAE=CDAD,待定系数法,解方程求出符合题意的线段AC的长为32.本题综合考查了平角的定义,直角三角形的性质,相似三角形的判定与性质,方程的解法,开立方运算等相关知识点,重点掌握相似三角形的判定与性质,难点是因式分解法降次解高次方程.19.答案:解:(7+43)(2-3)2+123÷56=(7+43)(7-43)+53×65=49-48+2=1+2.解析:根据平方差公式和二次根式的除法、加法可以解答本题.本题考查二次根式的混合运算、平方差公式,解答本题的关键是明确二次根式混合运算的运算顺序和运算方法,还要明确平方差公式的结构特点.20.答案:解:(1)3x(x-2)=2(2-x)(3x+2)(x-2)=0,3x+2=0或x-2=0,∴x1=-23,x2=2;(2)x2-2x-1=0,∵a=1,b=-2,c=-1,∴b2-4ac=6>0,,∴x=2±62×1∴x1=2+62,x2=2-62;(3)1-x22+2-x3=13,原方程化为:3x2+2x-5=0,(3x+5)(x-1)=0,3x+5=0或x-1=0,∴x1=-53,x2=1.解析:(1)把方程化成一元二次方程的一般形式,然后方程左边的多项式利用平方差公式分解因式,然后利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程,求出一次方程的解即可得到原方程的解.(2)找出a,b及c的值,计算出根的判别式的值大于0,代入求根公式即可求出解;(3)方程去分母化简以后,方程左边的多项式利用平方差公式分解因式,然后利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程,求出一次方程的解即可得到原方程的解.此题考查了解一元二次方程-因式分解法、公式法,利用因式分解法解方程时,首先将方程右边化为0,左边化为积的形式,然后利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解.21.答案:解:(1)将点 A(4,6)代入解析式 y=kx,得:k=24;(2)将D(6,m)代入反比例解析式y=24x,得:m=246=4,∴点D坐标为(6,4),设直线AD解析式为y=kx+b,将A(4,6)与D(6,4)代入得:4k+b=66k+b=4,解得:k=-1b=10,则直线AD解析式为y=-x+10;(3)过点C作CN⊥y轴,垂足为N,延长BA,交y轴于点M,,∵AB//x轴,∴BM⊥y轴,∴MB//CN,∴△OCN∽△OBM,∵C为OB的中点,即OCOB=12,∴S△OCNS△OBM=(12)2,∵A,C都在双曲线y=24x上,∴S△OCN=S△AOM=12,由1212+S△AOB=14,得:S△AOB=36,则△AOB面积为36.解析:此题属于反比例函数综合题,涉及的知识有:待定系数法确定函数解析式,坐标与图形性质,相似三角形的判定与性质,以及反比例函数k的意义,熟练掌握待定系数法是解本题的关键.(1)将A坐标代入反比例解析式求出k的值即可;(2)将D坐标代入反比例解析式求出m的值,确定出D坐标,设直线AD解析式为y=kx+b,将A与D坐标代入求出k与b的值,即可确定出直线AD解析式;(3)过点C作CN⊥y轴,垂足为N,延长BA,交y轴于点M,得到CN与BM平行,进而确定出三角形OCN与三角形OBM相似,根据C为OB的中点,得到相似比为1:2,确定出三角形OCN与三角形OBM面积比为1:4,利用反比例函数k的意义确定出三角形OCN与三角形AOM面积,根据相似三角形面积之比为1:4,求出三角形AOB面积即可.22.答案:(1)解:如图,直线MN即为所求.,(2)证明:在△ACD和△ACB中,AD=ABAC=ACCD=CB,∴△ACD≌△ACB(SSS),∴∠DAC=∠BAC,∵MN⊥AC,∴∠AEN=∠AEM=90°,∴∠AMN+∠BAC=90°,∠ANM+∠DAC=90°,∴∠AMN=∠ANM,∴AM=AN.解析:(1)利用尺规作线段AC的垂直平分线即可.(2)利用全等三角形的性质证明∠DAC=∠BAC,再证明∠AMN=∠ANM即可.本题考查作图-复杂作图,全等三角形的判定和性质,线段的垂直平分线的性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于中考常考题型.23.答案:(1)解:补全图形如图所示.(2)证明:∵DE⊥AC,∴∠AED=∠ACB=90°,∴DE//BC,∵AD=DB,∴AE=EC,∵ED=EF,∴四边形ADCF是平行四边形,∵AC⊥DF,∴四边形ADCF是菱形.(3)解:在Rt△ACB中,∵AB=8,∠BAC=30°,∴BC=12AB=4,AC=3BC=43,,∵AE=EC,AD=DB,∴DE=12BC=2,∴DF=2DE=4,∴S菱形ADCF=12⋅AC⋅DF=12×43×4=83.解析:(1)根据题意画出图形即可;(2)首先证明AE=CE,DE=EF,推出四边形ADCF是平行四边形,再根据AC⊥DF,推出四边形ADCF是菱形;(3)求出菱形的对角线的长即可解决问题.本题考查菱形的判定和性质、三角形的中位线定理、解直角三角形、平行线等分线段定理等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.24.答案:解:(1)∵, ,∴OA=3,OB=4,∴由勾股定理得AB=5.在菱形ABCD中,AD=BC=AB=5,∴OC=BC-OB=1,∴C(1,0);(2)在菱形ABCD中,AD//BC,AD=5,∴D(5,3). 设经过点D的反比例函数解析式为 .把D(5,3)代入 中,得 , ∴反比例函数解析式为 .,解析:(1)根据点A、B的坐标求出OA、OB,再利用勾股定理列式求出AB=5,然后根据菱形的每一条边都相等可得AD=BC=AB=5,再求出OC,即可得解;(2)先求出点D的坐标,再设反比例函数解析式为 然后利用待定系数法求反比例函数解析式解答即可.25.答案:解:(1)点A(-3,0),B(2,0),则AB=5=AD=CD=BC,在Rt△AOD中,OA=3,AD=5,则OD=4,故点C(5,4),设反比例函数表达式为:y=mx,将点C的坐标代入上式并解得:m=20,故反比例函数表达式为:y=20x;(2)设菱形ABCD向上平移n个单位,则点B'、C'的坐标分别为(2,n)、(5,4+n),将点B'的坐标代入y=20x得,2n=20,解得:n=10,故点B'、C'的坐标分别为(2,10)、(5,14),则C'D'所在的直线为:y=14,当y=14时,y=20x=14,解得:x=107,故点E(107,14).解析:(1)点A(-3,0),B(2,0),则AB=5=AD=CD=BC,进而求出点C(5,4),即可求解;(2)设菱形ABCD向上平移n个单位,则点B'、C'的坐标分别为(2,n)、(5,4+n),将点B'的坐标代入y=20x得n=10,故C'的坐标为(5,14),即可求解.本题考查了反比例函数的图象的性质以及菱形的性质,利用形数结合解决此类问题,是非常有效的方法.26.答案:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴OA=OC=OB=OD,AC⊥BD,∠OAD=∠ODA=∠OCD=45°,∴∠AOG=∠DOE=90°,∵OG=2OD,OE=2OC,∴OG=OE,,在△AOG和△DOE中,OA=OD ∠AOG=∠DOE OG=OE ,∴△AOG≌△DOE(SAS),∴AG=DE;(2)解:①两个正方形重合部分的面积不变化;理由如下:如图1所示:∵∠AOD=∠G'OE',∴∠DOM=∠CON,在△ODM和△OCN中,∠DOM=∠CON OD=OC ∠ODA=∠OCD ,∴△ODM≌△OCN(ASA),∴△ODM的面积=△OCN的面积,∴四边形OMDN的面积=△OCD的面积=14正方形ABCD的面积,即两个正方形重合部分的面积不会发生变化;②当α为锐角时,如图1所示:∵四边形ABCD是正方形,∴BC=AB=2,∠ABC=90°,OA=OD=12AC,∴AC=2AB=2,∴OA=1,∴OG'=OG=2OD=2,∵OA2+AG'2=12+(3)2=4,OG'2=4,∴OA2+AG'2=OG'2,∴△AOG'是直角三角形,∠OAG'=90°,∵OA=12OG',∴∠AG'O=30°,∴∠AOG'=60°,∴∠DOG'=90°-60°=30°,即α=30°;当旋转到如图2所示位置,当AG'=3时,α=180°-30°=150°;,综上所述:α的度数为30°或150°.解析:(1)由正方形的性质得出OA=OC=OB=OD,AC⊥BD,∠OAD=∠ODA=∠OCD=45°,证出OG=OE,由SAS证明△AOG≌△DOE,得出对应边相等即可;(2)①证出∠DOM=∠CON,由ASA证明△ODM≌△OCN,得出△ODM的面积=△OCN的面积,因此四边形OMDN的面积=△OCD的面积=14正方形ABCD的面积,即可得出结果;②由正方形的性质和勾股定理得出AC=2AB=2,OA=1,由勾股定理的逆定理得出△AOG'是直角三角形,求出∠AG'O=30°,得出∠AOG'=60°,即可得出结果;当旋转到如图2所示位置,当AG'=3时,α=180°-30°=150°;即可得出结果.本题是四边形综合题目,考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理、含30°角的直角三角形的判定等知识;本题综合性强,有一定难度,证明三角形全等是解决问题的关键.
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