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福建省龙岩市2022-2023学年高二上学期数学期末考试卷
福建省龙岩市2022-2023学年高二上学期数学期末考试卷
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龙岩市2022~2023学年第一学期期末高二教学质量检查数学试题(考试时间:120分钟满分150分)注意事项:1.考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上.2.答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”.第Ⅰ卷(选择题共60分)一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求.请把答案填涂在答题卡上.1.等差数列的公差,且,则此数列前6项和等于()A.72B.74C.76D.78【答案】A【解析】【分析】先利用等差数列的性质求出,再利用等差数列求和公式计算前6项和即可.【详解】由等差数列的性质得,解得,数列前6项和为.故选:A.2.“直线与直线相互平行”是“”的()A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】先通过直线平行的判断公式求出,再根据充分性和必要性的概念得答案.【详解】因为直线与直线相互平行,则,解得,又当时,两直线均不重合,故, 所以“直线与直线相互平行”是“”的必要不充分条件.故选:C.3.在中国农历中,一年有24个节气,“立春”居首.北京2022年冬奥会开幕正逢立春,开幕式上“二十四节气”的倒计时让全世界领略了中华智慧.容融同学要从24个节气中随机选取3个介绍给外国朋友,则这3个节气中含有“立春”的选法种数为()A.2024B.1771C.276D.253【答案】D【解析】【分析】题意即为从剩下的23个里面选2个,利用排列数计算即可.【详解】3个节气中含有“立春”,则从剩下的23个里面选2个即可,则选法种数为.故选:D.4.2000多年前,我国的思想家墨子给出圆的概念:“一中同长也”.意思是说,圆有一个圆心,圆心到圆周的长都相等,这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下定义要早100年.已知O为原点,,若,则线段PM长的最大值为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】P点圆上,点M在圆外,问题转化为圆上的点到圆外的点的最大距离.【详解】由,P点在以O为圆心为半径的圆上,,点M在圆外,则线段PM长的最大值为.故选:A5.为弘扬我国古代的“六艺文化”,某校计划在社会实践中开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程,每天开设一门,连续开设6天,则()A.从六门课程中选两门的不同选法共有30种B.课程“书”不排在第三天的不同排法共有720种C.课程“礼”、“数”排在不相邻两天的不同排法共有288种D.课程“乐”、“射”、“御”排在不都相邻的三天的不同排法共有576种 【答案】D【解析】【分析】根据给定条件利用排列、组合知识,逐项分析计算判断作答.【详解】对于A,从六门课程中选两门的不同选法有(种),A选项不正确;对于B,除第三天外的5天中任取1天排“书”,再排其他五门体验课程共有(种),B选项不正确;对于C,“礼”“数”排在不相邻两天,先排其余四门课程,再用插空法排入“礼”“数”则不同排法共有(种),C选项不正确;对于D,六门课程的全排列有(种),“乐”、“射”、“御”排在都相邻的三天的不同排法有(种),则“乐”、“射”、“御”排在不都相邻的三天的不同排法共有(种),D选项正确.故选:D6.设,且,若能被17整除,则等于()A.0B.1C.13D.16【答案】D【解析】【分析】将利用二项式定理展开,通过能被整除可得能被整除,进而可得的值.【详解】,能被17整除,且能被17整除,故能被17整除,观察选项可得.故选:D.7.已知双曲线的左焦点为F﹐过F且斜率为的直线交双曲线于点,交双曲线的渐近线于点,且.若,则双曲线的离心率是() A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】直线与渐近线联立方程组,求得点坐标,由求得点坐标,代入双曲线方程即可求得离心率.【详解】过F且斜率为的直线AB:,渐近线,如图所示,联立,得,由,得,而点A在双曲线上,于是有,解得,所以离心率.故选:B.8.记是各项均为正数的数列的前n项和,.数列满足,且则下列选项错误的是()A.B.C.数列的最大项为 D.【答案】C【解析】【分析】由已知条件结合与的关系,解出数列的通项公式,再求选项中数列求和和最值问题.【详解】由与,得,又,所以,即因为,所以,所以.又,所以数列是首项为2,公差为2的等差数列.则,所以.当时,,也符合.∴,A选项正确;当时,,而时,也成立,故B选项正确;设,,当时,解得,故数列的最大项为,C选项错误; ,D选项正确.故选:C【点睛】关键点点睛:题中数列不等式涉及放缩,通项放缩技巧证明数列不等式的关键在于观察通项特征和所证结论,适当调整放缩幅度,做到放缩得恰到好处,同时还要做到放缩求和两兼顾.二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.请把答案填涂在答题卡上.9.下列说法正确的有()A.直线恒过定点B.方程表示圆C.圆与圆有两条公切线D.圆上有且只有三点到直线的距离等于2【答案】ACD【解析】【分析】对于A:依题意可得,令,解得即可求出直线过定点坐标,对于B,将方程化为,再分、、三种情况讨论,对于C,求出两圆圆心坐标与半径,求出圆心距,即可判断两圆相交,对于D,求出圆心到直线的距离,结合圆的半径,即可判断.【详解】解:对于A:直线,即,令,解得,所以直线恒过定点,故A正确;对于B:方程,即,当,即时方程表示圆,当,即时方程表示点, 当,即时方程不表示任何图形,故B错误;对于C:圆的圆心坐标为,半径,圆的圆心坐标为,半径,又,即,所以两圆相交,故两圆有两条公切线,故C正确;对于D:圆心到直线的距离,又圆的半径,所以圆上有且只有三点到直线的距离等于,故D正确;故选:ACD10.在《增删算法统宗》中有如下问题:“三百七十八里关,初行健步不为难;次日脚痛减一半,六朝才得到其关”,其意思是:“某人到某地需走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天才到达目的地”,则()A.此人第二天走的路程占全程的B.此人第三天走走了48里路C.此人第一天走的路程比第四天走的路程多144里D.此人第五天和第六天共走了18里路【答案】BD【解析】【分析】由题意,此人每天走的路程构成等比数列,由已知条件求出首项和公比,就可以解决数列问题了.【详解】设此人第n天走了里路,则数列是首项为,公比q为的等比数列,因为,解得,,所以此人第二天走了96里路,,A选项错误;,所以此人第三天走了48里路,B选项正确;,,此人第一天走的路程比第四天走的路程多168里,C选项错误; ,此人第五天和第六天共走了18里路,所以D选项正确.故选:BD.11.已知O为坐标原点,点在抛物线上,过点的直线交C于P,Q两点,则()A.C的焦点为B.直线AB与C相切C.为定值D.【答案】BCD【解析】【分析】利用点在抛物线上即可求出抛物线方程,从而可判断A;联立AB与抛物线的方程求得切点,从而可判断B;联立直线与抛物线的方程,得到,进而求得,从而判断C;利用距离公式及弦长公式可判断D.【详解】对于A,将代入抛物线,得,即,所以抛物线方程为,故抛物线的焦点为,故A错误;对于B,,所以直线的方程为,联立,可得,解得,则,所以直线与抛物线相切于,故B正确;对于C,设过的直线为,若直线与轴重合,则直线与抛物线只有一个交点,所以直线的斜率存在,设其方程为,,联立,得,则,则,所以,则,所以,故C正确; 对于D,因为,,所以,而,所以,故D正确.故选:BCD.12.已知数列满足,,若数列的前50项和为1275,则()A.B.C.是常数列D.是等差数列【答案】BCD【解析】【分析】根据题意分析可得,,对A:根据题意利用并项求和结合等差数列求和运算可得;对B:由,根据通过赋值运算求解;对C:根据分析判断;对D:根据结合等差数列的定义分析判断.【详解】∵,,则,又∵,,∴,对A:可得: ,解得,A错误;对B:由,令,则,解得,由,令,则,解得,B正确;对C:∵,故,即是常数列,C正确;对D:∵,则,故是以公差为16的等差数列,D正确.故选:BCD.【点睛】方法点睛:根据题意分析可得,,故分奇偶项讨论,把相邻的奇项(或偶项)合并为一项,组成一个新的数列,再进行求和运算,同时注意对的处理.第Ⅱ卷(非选择题共90分)三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.若直线与直线互相垂直,则________.【答案】【解析】【分析】根据直线一般式方程下的两条直线垂直的公式计算即可.【详解】直线与直线互相垂直则,解得.故答案为:.14.在的展开式中,前三项的系数成等差数列,则展开式中含x项的系数为________.【答案】【解析】 【分析】先写出的展开式的通项,然后利用前三项的系数成等差数列来列方程求得,再令通项中的的次数为1可求得,进而可求出展开式中含x项的系数.【详解】的展开式通项为,根据前三项的系数成等差数列得,解得或(舍去)令,得,展开式中含x项的系数.故答案为:.15.在递增的等比数列中,,,则________.【答案】【解析】【分析】设等比数列的公比为,,先通过条件得,再利用得答案.【详解】设等比数列的公比为,,,,解得或(舍去),.故答案为:.16.如图,已知椭圆.设A,B是椭圆上异于的两点,且点在线段AB 上,直线PA,PB分别交直线于C,D两点,点P到椭圆上点的距离的最大值为________;的最小值为________.【答案】①.②.【解析】【分析】①设两点间的距离公式表示,转化为二次函数求最值.②设直线的方程,联立直线与椭圆方程,韦达定理求出两根之和,两根之积,因此可以求出两点的横坐标,进而表示出距离,根据二次函数的性质来求最值.【详解】①设点为椭圆上任意一点,则,因此,当点的坐标为时,取到最大值.②由题意,设直线方程为,由直线方程与椭圆方程联立得,则,则,设,由与的直线方程联立解得:,同理解得,则,当时, ,或,不符合题意,;令,则,所以当时,取得最小值,且最小值为.故答案为:①;②四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知圆的圆心在轴上,且经过和两点.(1)求圆的方程;(2)过点的直线被圆截得的弦长为,求直线的斜率.【答案】(1)(2)或【解析】【分析】(1)设出圆方程,代入已知点,列方程组求解即可;(2)设出直线方程,利用垂径定理,列方程求出直线的斜率.【小问1详解】由圆的圆心在轴上,设圆的方程为,,解得,所以圆的方程为;【小问2详解】由(1)得圆的标准方程为,圆心,半径,设直线的斜率为,则直线的方程为,即,直线被圆截得的弦长为,则,解得或. 18.在①成等比数列,②,③数列的前10项和为55这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答问题.已知等差数列的前n项和为,公差,且__________(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前100项和.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)若选①可得,再根据等差数列通项公式求出,即可求出通项公式;若选②根据等差数列通项公式及求和公式求出,即可求出通项公式;若选③则,再根据数列的前10项和为,求出,即可求出通项公式;(2)由(1)可得,利用裂项相消法计算可得.【小问1详解】解:若选①:由题意有,则,解得,又,所以.若选②:由得,解得,又,所以.若选③:,由题意得,解得,又,那么, 所以数列的通项公式.【小问2详解】解:由(1)得,所以.19.已知,其中,且的系数是.(1)求a的值;(2)计算:(i);(ⅱ)(以上结果可保留幂的形式)【答案】(1)(2)(i);(ⅱ)【解析】【分析】(1)求出的二项展开式的通项,令,可求出的系数,列方程可求a的值;(2)(i)令和得两个等式,利用两个等式整体计算可得;(ⅱ)令,则,可得,通过展开式的通项可得各项展开式系数的正负,进而可得的值.【小问1详解】的二项展开式的通项为,令,得,,又, ;【小问2详解】(i)由(1)得,令得①,令得②,①②得,,①②得,,;(ⅱ)令,则,,的二项展开式的通项为,为正数,为负数,.20.在平面直角坐标系xOy中,已知点,点M的轨迹为C.(1)求C的方程;(2)是否存在过点的直线l与曲线C交于不同的两点A、B﹐满足.若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由.【答案】(1)(2)或【解析】【分析】(1)由轨迹特征可知是椭圆,待定系数法求C的方程;(2)设出直线方程,与椭圆联立方程组,由结合韦达定理求解.【小问1详解】因为,, 所以C是以点为左右焦点的椭圆,于是,,故,因此C的方程为.【小问2详解】直线l的斜率明显不为0,设,代人椭圆C的方程化简得,设,则则,,,所以或(舍),解得,所以直线l的方程为或21.“绿水青山就是金山银山”,治理垃圾是改善环境重要举措之一.去年某地区产生的垃圾排放量为300万吨,通过扩大宣传、环保处理等一系列治理措施,预计从今年开始,连续6年,每年的垃圾排放量比上一年减少10万吨,从第7年开始,每年的垃圾排放量为上一年的90%.(1)求该地区从今年开始的年垃圾排放量关于治理年数的函数解析式;(2)该地区要实现“年垃圾排放量不高于150万吨”这一目标,那么至少要经过多少年?(3)设为从今年开始n年内年平均垃圾排放量.如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势,则认为现有的治理措施是有显著效果的;否则,认为无显著效果,试判断现有的治理措施是否有显著效果,并说明理由.(参考数据:)【答案】(1),(2)至少要经过年(3)现有的治理措施是有显著效果的,理由见解析【解析】【分析】(1)设治理年后,该地区的年垃圾排放量构成数列,当,数列是首项为 ,公差为的等差数列,当时数列是首项为,公比为的等比数列,即可求出数列的通项公式,从而得解;(2)由(1)可得当时才有,令,结合所给数据求出的取值范围,即可得解;(3)设为数列的前项和,则,即可得到,再结合数列的单调性判断出,即可得解.【小问1详解】解:设治理年后,该地区的年垃圾排放量构成数列,当时,数列是首项为,公差为等差数列,则;当时,数列是首项为,公比为的等比数列,则,因此,治理年后,该地区的年垃圾排放量的表达式为,.【小问2详解】解:由(1)及题意得,所以时才有,因此,即,又,,所以,即,,因而该地区要实现目标,那么至少要经过11年.【小问3详解】解:设为数列的前项和,则,由于 ,由(1)知,时,,则为递减数列,时,,则递减数列,且,因此为递减数列,于是,,,…,,因此,所以数列为递减数列,即年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势,故认为现有的治理措施是有显著效果的.22.已知为双曲线的右焦点,点在上.(1)若直线,的斜率之和为,求直线的斜率;(2)若,过的直线与的两条渐近线分别交于,两点,,过且斜率为的直线与过且斜率为的直线交于点,若,求证:,,三点共线.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】(1)由双曲线过点及,求出,即可得到双曲线方程,设,,:,联立直线与双曲线方程,消元、列出韦达定理,根据,求出或,即可得解;(2)设直线方程为,设,,,联立直线与,消元、列出韦达定理,由,可得,从而得到,再由直线的斜率为,直线的斜率为,得到,从而表示出直线的方程,代入双 曲线方程中求出的横坐标,同理得到,即可得到,从而得解.【小问1详解】解:因为点在双曲线:上,所以,解得,或,又,则,所以双曲线:.设,,易知直线的斜率存在,设:,联立可得,所以,,,化简得,且.由得,即,即,所以,化简得,即,所以或.当时,直线:过点,与题意不符,舍去,故.【小问2详解】解:由已知得直线的斜率存在且不为零,,故直线的斜率存在且不为零,设直线方程为,设,,, 两渐近线的方程合并为,联立,消去并化简整理得,则,.因为,所以,移项并利用平方差公式整理得:,,即,即.由题意知直线的斜率为,直线的斜率为,所以,,可得,因此直线的斜率,直线:,即,代入双曲线方程即中,得,解得的横坐标,同理,可得,,所以, 因为,解得,,所以,即,则点在直线上,所以,,三点共线.【点睛】方法点睛:利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下:(1)设直线方程,设交点坐标为、;(2)联立直线与圆锥曲线的方程,得到关于(或)的一元二次方程,必要时计算;(3)列出韦达定理;(4)将所求问题或题中的关系转化为、的形式;(5)代入韦达定理求解.
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