七年级数学（第九章 实数）9.3 分式方程（沪科版 学习、上课资料）

9.3分式方程第九章分式 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2分式方程的概念分式方程的解法含字母的分式方程的解法分式方程的应用 知识点知1－讲感悟新知1分式方程的概念1.分式方程分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 知1－讲感悟新知2.判断一个方程是分式方程的条件:(1)是方程；(2)含有分母；(3)分母中含有未知数.以上三者缺一不可. 知1－讲感悟新知特别解读1.分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程的依据.2.识别分式方程时，不能对方程进行约分或通分变形，更不能用等式的性质变形. 感悟新知知1－练判断下列方程是不是分式方程，并说明理由.例1 感悟新知知1－练解题秘方：利用判别分式方程的依据——分母中含有未知数进行识别. 感悟新知知1－练方法点拨判断一个方程是不是分式方程的方法：根据分式方程定义中的条件，判断方程中分母是否含有未知数(注意仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母)，如果含有未知数，那么这个方程就是分式方程，否则就不是分式方程. 感悟新知知1－练解：(1)不是分式方程，因为分母中不含有未知数.(2)是分式方程，因为分母中含有未知数.(3)是分式方程，因为分母中含有未知数.(4)是分式方程，因为分母中含有未知数.(5)不是分式方程，因为分母中虽然含有字母a，但a为非零常数，不是未知数. 知识点分式方程的解法知2－讲感悟新知21.解分式方程的基本思路去分母，把分式方程转化为整式方程. 知2－讲感悟新知2.解分式方程的一般步骤： 知2－讲感悟新知3.检验方程解的方法一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应进行如下检验：(1)将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. 知2－讲感悟新知(2)也可以将整式方程的解代入原分式方程，这种方法不仅能检验出该解是否适合原分式方程，还能检验所得的解是否正确.4.增根在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的解使最简公分母的值为0,则这个解叫做原分式方程的增根. 知2－讲感悟新知特别解读1.解分式方程的关键是去分母.去分母时不要漏乘不含分母的项，当分子是多项式时要用括号括起来.2.解分式方程一定要检验，对于增根必须舍去.3.对增根的理解：(1)增根一定是分式方程化为的整式方程的解；(2)若分式方程有增根，则必是使最简公分母为0时未知数的值. 感悟新知知2－练解下列方程：例2解题秘方：将分式方程转化为整式方程，通过求整式方程的解并检验，从而得到分式方程的解. 感悟新知知2－练解：(1)方程两边都乘以(x－4)(x－6)，得x(x－6)=(x+2)(x－4)，解得x=2.当x=2时，(x－4)(x－6)≠0.∴原分式方程的解为x=2. 感悟新知知2－练(2)方程两边都乘以(x－3)，得2－x=－1－2(x－3)，解得x=3.当x=3时，x－3=0，∴x=3不是原分式方程的解.∴原分式方程无解. 感悟新知知2－练(3)方程两边都乘以3(x－1)，得4x+6－3(5x－4)=3(x－1)，解得x=.当x=时，3(x－1)≠0.∴原分式方程的解为x=. 感悟新知知2－练(4)原方程可化方程两边都乘以x(x+2)(x－2)，得4(x－2)+7x=6(x+2)，解得x=4.当x=4时，x(x+2)(x－2)≠0.∴原分式方程的解为x=4. 感悟新知知2－练特别警示解分式方程时易错点归纳：●去分母时常见三种典型错误：(1)分母与最简公分母中的因式不是相同而是相反时，去分母后注意改变符号，如例2(2)中最简公分母是(x－3)，而的分母是(3－x)，去分母后是“－1”而不是“1”. 感悟新知知2－练(2)分子是多项式的，去分母后要带上括号，如例2(3)中5x－4x－1，去分母后为3(5x－4)；(3)不含分母的项易漏乘最简公分母，且最简公分母是多项式的也要带上括号.●验根是必不可少的步骤. 感悟新知知3－讲知识点含字母的分式方程的解法31.含字母的分式方程 若分式方程中除了含有表示未知数的字母外，还含有表示已知数的字母，则该方程是含字母的分式方程. 感悟新知知3－讲2.含字母的分式方程的解法 与一般分式方程的解法相同，含字母的分式方程求解时也是去分母、解整式方程、检验这三个步骤.需要注意的是，要找准哪个字母表示未知数，哪个字母表示已知数，同时还要注意题目中所给的限制条件. 知3－讲感悟新知知识链接1.含有字母的分式方程一般都指出了未知数.如：“关于x的分式方程”表示只有x是未知数，其他字母都是已知数.2.解含字母的分式方程时，有时需分类讨论或结合题目对字母的系数进行限制. 知3－练感悟新知解关于x的方程：－=－(a≠b，且a≠0，b≠0).例3 知3－练感悟新知解题秘方：此题已明确x为未知数，a，b均为已知数，先找出最简公分母，然后去分母，化成整式方程求解. 知3－练感悟新知特别警示方程两边都除以(a－b)前，要注意讨论a－b是不是等于0.解：方程两边都乘以abx，得bx－a2b=ax－ab2.整理得(a－b)x=－ab(a－b).因为a≠b，所以a－b≠0.方程两边都除以(a－b)，得x=－ab．检验：当x=－ab时，最简公分母abx=－a2b2≠0.所以x=－ab是原分式方程的解. 知识点分式方程的应用知4－讲感悟新知41.列分式方程常用的等量关系：(1)行程问题：速度×时间=路程.(2)利润问题：利润=售价-进价；利润率=利润÷进价×100%.(3)工程问题：工作量=工作时间×工作效率；总工作量=各个分工作量之和.(4)储蓄问题：本息和=本金+利息. 知4－讲感悟新知2.列分式方程解应用题的一般步骤：(1)审：即审题,根据题意找出已知量和未知量，并找出等量关系.(2)设：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设，注意单位要统一，选择一个未知量用未知数表示，并用含未知数的式子表示相关量. 知4－讲感悟新知特别解读1.审题时，先寻找题目中的关键词，然后借助列表、画图等方法准确找出等量关系.当题目中包含多个等量关系时，要选择一个能够体现全部(或大部分)数量的等量关系列方程.2.设未知数时，一般题中问什么就设什么，即直接设未知数；若直接设未知数难以列方程，则可设另一个相关量为未知数，即间接设未知数；有时设一个未知数无法表示出等量关系，可设多个未知数，即设辅助未知数.3.应用题中解分式方程同样要验根. 知4－讲感悟新知(3)列：即列方程，根据等量关系列出分式方程.(4)解：即解所列的分式方程，求出未知数的值.(5)验：即验根，既要检验所求的未知数的值是否适合分式方程，还要检验此解是否符合实际意义.(6)答：即写出答案，注意单位和答案要完整. 感悟新知知4－练为加快城市群的建设与发展，要在A，B两城市间新建一条城际铁路，建成后，铁路运行里程由现在的120km缩短至114km，城际铁路的设计平均时速要比现行的平均时速快110km，运行时间仅是现行时间的，求建成后的城际铁路在A，B两城市间的运行时间.例4 感悟新知知4－练解题秘方：根据题意中的两个等量关系，一个用来设未知数，一个用来列方程解决问题.1.设计平均时速比现行的平均时速快110km；2.设计运行时间是现行运行时间的. 感悟新知知4－练解：设建成后的城际铁路在A，B两城市间的运行时间为xh，则现行的运行时间为xh.根据题意，得－=110.解得x=0.6.当x=0.6时，x≠0，且符合题意.所以原分式方程的解为x=0.6.答：建成后的城际铁路在A，B两城市间的运行时间为0.6h. 知4－练感悟新知另解本题也可以采用设间接未知数的方法进行求解.设城际铁路的现行平均速度是ykm/h，则城际铁路的设计平均速度是(y+110)km/h.根据题意，得×=.解得y=80.经检验，y=80是原分式方程的解，且符合题意.所以×=0.6(h). 感悟新知知4－练[中考·德阳]某铁路货运集装箱物流园区正式启动了2期扩建工程．一项地基基础加固处理工程由A，B两个工程公司承担建设，已知A工程公司单独建设完成此项工程需要180天，A工程公司单独施工45天后，B工程公司参与合作，两工程公司又共同施工54天后完成了此项工程．例5 感悟新知知4－练解题秘方：利用一项工程分几部分完成，各部分工作量之和等于工作总量“1”，列出方程解决问题. 知4－练感悟新知解法提醒●将工作总量看成“1”时，完成任务的天数与工作效率互为倒数.●在工程问题中，无论工作过程是怎样的，等量关系都是：甲完成的工作量+乙完成的工作量+…=总工作量.当总工作量没有给出时，一般记为整体“1”. 感悟新知知4－练(1)求B工程公司单独建设完成此项工程需要多少天；解：设B工程公司单独建设完成此项工程需要x天，根据题意得45×+54(+)=1，解得x=120，经检验x=120是原分式方程的解，且符合题意.答：B工程公司单独建设完成此项工程需要120天. 感悟新知知4－练(2)由于受工程建设工期的限制，物流园区管委会决定将此项工程划包成两部分，要求两工程公司同时开工，A工程公司建设其中一部分用了m天完成，B工程公司建设另一部分用了n天完成，其中m，n均为正整数，且m＜46，n＜92，求A，B两个工程公司各施工建设了多少天. 感悟新知知4－练解：根据题意得m×+n×=1，整理得n=120－m，因为m＜46，n＜92，所以120－m＜92，解得42＜m＜46.因为m为正整数，所以m=43，44或45，又因为n=120－m为正整数，所以m=45，n=90. 感悟新知知4－练某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果的质量比第一次的2倍还多300千克.若超市按9元/千克的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的8折售完.例6 感悟新知知4－练知识储备利润问题的相关公式及基本数量关系：1.相关公式：售价=进价×（1+利润率)；售价=标价×折扣；利润率=利润进价×100%. 感悟新知知4－练2.基本数量关系：利润=售价-进价；利润=进价×利润率；销售额=销售量×销售单价；进价×(1+利润率)=标价×折扣. 感悟新知知4－练(1)该种干果第一次的进价是多少元/千克？解题秘方：根据等量关系“第二次购进干果的质量=2×第一次购进干果的质量+300千克”列方程进行求解； 感悟新知知4－练解：设该种干果第一次的进价是x元/千克，则第二次的进价为(1+20%)x元/千克.根据题意，得，解得x=5.当x=5时，(1+20%)x≠0且符合题意.所以原分式方程的解为x=5.答：该种干果第一次的进价是5元/千克. 感悟新知知4－练(2)超市销售这种干果共盈利多少元？解题秘方：根据“盈利=销售额-成本”列式进行计算.解：根据题意，盈利为×9+600×9×80%－(3000+9000)=(600+1500－600)×9+4320－12000=5820(元).答：超市销售这种干果共盈利5820元. 感悟新知知4－练详解由题意可知，按每千克9元的价格出售的干果的质量等于两次购进的干果的总质量减去600千克. 课堂小结分式方程分式方程解法列分式方程的应用增根产生