七年级数学（第八章 实数）8.1 幂的运算（沪科版 学习、上课资料）

8.1幂的运算第八章整式乘法与因式分解第1课时同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2同底数幂的乘法幂的乘方积的乘方 知识点同底数幂的乘法知1－讲11.同底数幂的乘法法则 同底数幂相乘，底数不变，指数相加.即：用字母表示为am·an=am+n(m，n都是正整数).示例： 知1－讲特别解读1.运用此法则有两个关键条件：一是底数相同；二是乘法运算.两者缺一不可.2.指数相加的和作为积中幂的指数，即运算结果仍然是幂的形式.3.单个字母或数字可以看成指数为1的幂，运算时易漏掉. 知1－讲2.法则的拓展运用(1)同底数幂的乘法法则对于三个及三个以上同底数幂相乘同样适用，即：am·an·…·ap=am+n+…+p(m、n、…、p是正整数).(2)同底数幂的乘法的运算性质既可正用也可逆用，即：am+n=am·an(m、n是正整数).●● 知1－讲例1计算：(1)108×102；(2)x7·x；(3)an+2·an－1；(4)－x2·(－x)8；(5)(x+3y)3·(x+3y)2·(x+3y)；(6)(x－y)3·(y－x)4.解题秘方：紧扣同底数幂的乘法法则的特征进行计算. 知1－讲解法提醒化不同底数为同底数时常用到的两种变形：(－a)n=2.(a－b)n= 知1－讲解：(1)108×102=108+2=1010；(2)x7·x=x7+1=x8；(3)an+2·an－1=an+2+n-1=a2n+1；(4)－x2·(－x)8=-x2·x8=-x10；(5)(x+3y)3·(x+3y)2·(x+3y)=(x+3y)3+2+1=(x+3y)6；(6)(x－y)3·(y－x)4=(x－y)3·(x－y)4=(x－y)7. 知1－讲特别提醒：运用同底数幂的乘法法则计算时应注意以下几点1.底数既可以是单项式也可以是多项式，当底数是多项式时，应将多项式看成一个整体进行计算.2.底数不同时，若能化成相同底数，则先转化为同底数幂，再按法则进行计算. 知1－讲例2(1)若am=2，an=8，求am+n的值.(2)已知2x=3，求2x+3的值. 知1－讲解题秘方：逆用同底数幂的乘法法则，即am·an=am+n(m，n都是正整数).解法提醒此题逆用同底数幂的乘法法则，将幂am+n，2x+3转化为同底数幂的乘法，然后把已知条件整体代入求值，体现了整体思想的应用. 知1－讲解：(1)因为am=2，an=8，所以am+n=am·an=2×8=16.(2)因为2x=3，所以2x+3=2x·23=3×8=24. 知识点幂的乘方知2－讲21.幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘.●●●●●●●●即：用字母表示为(am)n=amn(m、n是正整数).示例： 知2－讲特别解读1.“底数不变”是指幂的底数a不变，“指数相乘”是指幂的指数m与乘方的指数n相乘.2.底数可以是一个单项式，也可以是一个多项式. 知2－讲2.法则的拓展运用(1)幂的乘方的运算性质的推广：［(am)n］p=amnp(m、n、p是正整数)；(2)幂的乘方的运算性质既可以正用，也可以逆用，逆用时amn=(am)n=(an)m(m、n是正整数).●● 知2－讲例3计算：［(－x)3］4；［(x－2y)3］4；(3)(－a2)3；(4)x2·x4+(x2)3. 知2－讲解题秘方：紧扣幂的乘方法则的特征进行计算.解法提醒用幂的乘方法则计算时，不要把幂的乘方与同底数幂的乘法混淆，其相同点都是底数不变，不同点是同底数幂的乘法为指数相加，而幂的乘方为指数相乘. 知2－讲解：［(－x)3］4；=(－x)3×4=(－x)12=x12；［(x－2y)3］4=(x－2y)3×4=(x－2y)12；(3)(－a2)3=－a2×3=－a6；(4)x2·x4+(x2)3=x6+x6=2x6.若出现混合运算时，先算乘方，再算乘法，最后算加法. 知2－讲例4已知a2n=3，求a4n－a6n的值.解题秘方：此题已知a2n=3，需逆用幂的乘方法则把a4n－a6n用a2n表示，再把a2n=3整体代入求值. 知2－讲方法提醒逆用幂的乘方法则求式子值的方法：把指数是积的形式的幂写成幂的乘方，如am·an=am+n(m，n都是正整数).，然后整体代入，求式子的值． 知2－讲解：a4n－a6n=(a2n)2－(a2n)3=32－33=9－27=－18. 知3－讲知识点积的乘方3积的乘方法则：积的乘方等于各因式乘方的积.即：用字母表示为(ab)n=anbn(n为正整数).示例： 特别提醒1.积的乘方的前提是底数是乘积的形式，每个因式可以是单项式，也可以是多项式.2.在进行积的乘方运算时，要把底数中的每个因式分别乘方，不要漏掉任何一项.3.积的乘方的底数为乘积的形式，若底数为和的形式，则不能用，即(a+b)n≠an+bn.知3－讲▲▲▲▲▲▲▲▲▲ 知3－讲2.法则的拓展运用(1)积的乘方的运算性质的推广：(abc)n=anbncn(n是正整数)；(2)积的乘方的运算性质既可以正用，也可以逆用，逆用时anbn=(ab)n(n是正整数). 知3－讲计算：(1)(x·y3)2；(2)(－3×102)3；(3)[(－a3)2]2；(4)(－a2b3)3.例5 知2－讲解题秘方：运用积的乘方、幂的乘方的运算法则进行计算.解法提醒1.利用积的乘方法则计算时，要先确定积中的因式，然后将每个因式都乘方，最后求出所有幂的积.2.用科学记数法表示的数乘方后其结果应该表示成科学记数法的形式. 知2－讲解：(1)(x·y3)22=x2·(y3)2=x2y6；(2)(－3×102)3=(－3)3×(102)3=－27×106=－2.7×107；(3)[(－a3)2]22=(a6)2=()2·(a6)2=a12；(4)(－a2b3)3=(－1)3·(a2)3·(b3)3=－a6b9.系数乘方时，要带上前面的符号，特别是系数为－1时，不要漏掉. 知3－讲例6计算：(1)48×0.258；(2)(－)2024×(1)2024. 知3－讲解题秘方：紧扣“两底数互为倒数(或负倒数)，而指数又是相同的”这一特征，逆用积的乘方法则进行计算.方法技巧求指数相同的几个幂相乘的方法：当指数相同的两个或几个幂相乘时，如果底数的积容易求出，利用anbn=(ab)n(n为正整数)可先把底数相乘再进行乘方运算，从而使运算简便. 知3－讲解：(1)48×0.258=(4×0.25)8=18=1；(2)(－)2024×(1)2024=(－×)2024=(－1)2024=1. 同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方同底数幂的乘法底数与指数的变化关键点幂的乘方积的乘方 8.1幂的运算第八章整式乘法与因式分解第2课时同底数幂的除法 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2同底数幂的除法零指数幂负整数指数幂科学记数法 知识点同底数幂的除法知1－讲1同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减.●●●●●●●●即：用字母表示为am÷an=am-n(a≠0，m、n是正整数，m>n). 知1－讲特别解读：1.运算法则的条件有两个：一是底数相同，二是除法运算，二者缺一不可.2.底数a可以是单项式，也可以是多项式，但底数a不能为0.3.同底数幂相除，底数不变，指数相减，而不是相除. 知1－讲2.法则的拓展运用(1)法则的推广：适用于三个及三个以上的同底数幂相除，即am÷an÷ap=am-n-p(a≠0，m、n、p是正整数，m>n+p)；(2)同底数幂的除法法则既可以正用，也可以逆用，逆用时am-n=am÷an(a≠0，m、n是正整数，且m>n).●● 知1－讲例1计算：(1)(－x)8÷(－x)4；(2)(x－y)7÷(y－x)5. 知1－讲解题秘方：同底数幂相除，底数不变，指数相减.解：(1)(－x)8÷(－x)4=(－x)8-4=(－x)4=x4；(2)(x－y)7÷(y－x)5=(x－y)7÷［－(x－y)5］=－(x－y)7-5=－(x－y)2. 知1－讲知识储备1.底数互为相反数的偶次幂相等，奇次幂互为相反数，即：(a－b)2n=(b－a)2n，(a－b)2n+1=－(b－a)2n+1.2.同底数幂的除法直接运用法则计算，底数互为相反数的幂相除，先化为同底数幂，然后再运用法则计算. 知1－讲已知xm=9，xn=27，求x3m-2n的值.例2 知1－讲解题秘方：逆用同底数幂的除法法则，即am-n=am÷an(a≠0，m、n是正整数，且m>n)，进行变形求值.解：x3m-2n=x3m÷x2n=(xm)3÷(xn)2=93÷272=1.93÷272=（32）3÷（33）2=36÷36=1 知1－讲解法提醒观察x3m-2n的特征可以发现，其指数里含减号，可逆用同底数幂的除法法则解题. 知1－讲方法点拨：逆向运用同底数幂的乘除法法则和幂的乘方法则求值的方法：当幂的指数是含有字母的加法时，通常转化为同底数幂的乘法；当幂的指数是含有字母的减法时，通常转化为同底数幂的除法；当幂的指数是含有字母的乘法时，通常转化为幂的乘方，然后逆用法则并整体代入求值. 知2－讲知识点零指数幂21.零指数幂同底数幂相除，如果被除式的指数等于除式的指数，例如am÷am,根据除法的意义可知所得的商为1.另一方面，若依照同底数幂的除法来计算，则有am÷am=am-m=a0，故a0=1. 知2－讲2.零指数幂的性质任何一个不等于零的数的零次幂都等于1.即：用字母表示为a0=1(a≠0). 知2－讲特别解读1.零指数幂在同底数幂的除法中，是除式与被除式的指数相同时的特殊情况.2.指数为0，但底数不能为0，因为底数为0时，除法无意义. 知2－讲已知式子(2x－6)0+有意义，则x的取值范围是()A.x≥1且x≠－3B.x≥1且x≠3C.x＞1且x≠3D.x＞1且x≠－3例3B 知2－讲解题秘方：根据零指数幂及算术平方根的意义确定x的取值范围.解：根据零指数幂有意义的条件，可得2x-6≠0，则x≠3.由有意义，可得x-1≥0，即x≥1.故x的取值范围是x≥1且x≠3. 知2－讲知识储备a0有意义的条件是a≠0，有意义的条件是a≥0.若在一个式子中同时存在两种形式，则两个条件要同时满足. 知2－讲计算|－3|+(－1)0.例4解题秘方：负数的绝对值是它的相反数，任何不为0的数的0次幂都等于1.解：|－3|+(－1)0=3+1=4. 知2－讲特别警示对零指数幂的规定记忆不清，容易出现零指数幂的结果为0的错误. 知3－讲知识点负整数指数幂31.负整数指数幂：规定a－p=(a≠0，p是正整数)，即任何一个不等于零的数的－p(p是正整数)次幂，等于这个数的p次幂的倒数. 知3－讲2.整数指数幂的运算法则：(1)am·an=am+n(a≠0，m，n都是整数)；(2)(am)n=amn(a≠0，m，n都是整数)；(3)(ab)n=anbn(a≠0，b≠0，n是整数)；(4)am÷an=am-n(a≠0，m，n都是整数). 知3－讲特别解读1.负整数指数幂的运算，既可以等于正整数指数幂的倒数，也可以等于倒数的正整数指数幂.即a－p==()p（a≠0）.2.当指数为负整数或0时，一定要保证底数不为0.3.整数指数幂的运算结果要化成正整数指数幂的形式. 知3－讲例5解：+|－4|+(－1)0－()－1=3+4+1-2=6.[中考·攀枝花]计算：+|－4|+(－1)0－()－1=_________.解题秘方：根据各个运算法则进行计算.6 知3－讲解法提醒对于底数是分数的负整数指数幂，我们可采用底倒指反法，将其转化为这个数的倒数的正整数指数幂，即()-n=()n. 知4－讲知识点科学记数法41.用科学记数法表示数：用科学记数法可以把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中1≤︱a︱<10，n是正整数)引进负整数指数幂后，也可以用科学记数法把一个小于1的正数表示为a×10-n的形式(其中1≤|a|＜10，n是正整数). 知4－讲2.用科学记数法表示小于1的正数的一般步骤(1)确定a：a是大于或等于1且小于10的数.(2)确定n：确定n的方法有两个，如下：①n等于原数中左起第一个非0数前0的个数(包括小数点前的那个0)；②小数点向右移到第一个非0的数后，小数点移动了几位，n就等于几.(3)将原数用科学记数法表示为a×10-n(其中1≤a＜10，n是正整数). 知4－讲特别提醒：●对于大于-1的负数也可以类似地用科学记数法表示成a×10-n的形式(其中1≤|a|＜10，n是正整数)，也就是说可以用科学记数法表示绝对值小于1的数.●用科学记数法表示绝对值小于1的数时，10的指数是负数，一定不要忘记指数n前面的负号. 知4－讲用科学记数法表示下列各数：(1)0.000003；(2)－0.0000208；(3)0.00000000467.例6解题秘方：按照科学记数法的要求，将各数写成±a×10-n，的形式，其中1≤|a|＜10，n是正整数. 知4－讲解：(1)0.000003=3×10－6；3前面有6个0(2)－0.0000208=－2.08×10－5；2前面有5个0(3)0.00000000467=4.67×10－9.4前面有9个0 知4－讲教你一招用科学记数法表示绝对值小于1的数的思路：用科学记数法表示绝对值小于1的数时，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n由原数左起第一个不为0的数字前面0的个数所决定(包括小数点前的那个0). 知4－讲例7将下列用科学记数法表示的数还原成原数.(1)6×10－4；(2)－7.2×10－5；(3)5.68×10－6. 知4－讲解题秘方：把用科学记数法表示的绝对值小于1的数还原时，指数的绝对值是几，小数点就向左移动几位.解：(1)6×10－4=0.0006；(2)－7.2×10－5=－0.000072；(3)5.68×10－6=0.00000568. 知4－讲知识储备把一个用科学记数法表示的数（a×10n）还原成原数时，要先判断指数的正负.n为正数时，小数点向右移动n位；n为负数时，小数点向左移动|n|位，不足的数位用“0”补齐. 知4－讲教你一招：把用科学记数法表示的数还原的方法把a×10-n(其中1≤|a|＜10，n是正整数)还原成原数时，只需把a的小数点向左移动n位即可. 知4－讲计算：(1)(3×10－4)2×(2×10－6)3；(2)(8×10－7)2÷(2×10－3)3.例8 知4－讲解题秘方：先计算乘方，再计算乘除.解：(1)(3×10－4)2×(2×10－6)3=9×10－8×8×10-18=(9×8)×(10－8×10－18)=7.2×10－25；(2)(8×10－7)2÷(2×10－3)3=(64×10－14)÷(8×10－9)=(64÷8)×(10－14÷10－9)=8×10－5. 知4－讲解法提醒计算有关科学记数法表示的数的算式时，乘方运算用积的乘方法则，乘除运算用同底数幂的乘除法法则，计算的结果也应该用科学记数法的形式表示. 同底数幂的除法同底数幂的除法法则零指数幂负整数指数幂绝对值小于1的数的科学记数法