七年级数学（第八章 实数）8.4 因式分解（沪科版 学习、上课资料）

8.4因式分解第八章整式乘法与因式分解第1课时提公因式法 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2因式分解公因式用提公因式法分解因式 知识点因式分解知1－讲11.定义把一个多项式写成几个整式的积的形式，叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 知1－讲2.整式乘法与因式分解的关系(1)整式乘法与因式分解一个是积化和差，另一个是和差化积，是两种互逆的变形.即：多项式整式的积.(2)可以利用整式乘法检验因式分解的结果的正确性. 知1－讲特别解读1.因式分解的对象是多项式，结果是整式的积.2.因式分解是恒等变形，形式改变但值不改变.3.因式分解必须分解到每个多项式的因式不能再分解为止. 知1－讲例1D下列变形中属于因式分解的有()①8xy3=2xy·4y2；②x2+1=x(x+)；③(x+5)(x－5)=x2－25；④x2+2x－3=x(x+2)－3；⑤x2y+xy2=xy(x+y).A.4个B.3个C.2个D.1个 知1－讲解题秘方：紧扣因式分解的定义进行识别.解法提醒识别因式分解的两个关键词：●“多项式”说明等式的左边是多项式，即分解的对象是多项式.●“整式的积”说明右边的结果是整式的积.一句话：因式分解是整式的和差化积的变化过程. 知1－讲解：因为①中等号的左边不是多项式，所以①不是因式分解；因为②中不是整式，所以x2+1=x(x+)不是因式分解；③是整式的乘法，不是因式分解；因为④中等号右边不是积的形式，所以④不是因式分解；⑤符合因式分解的定义，是因式分解. 知1－讲B例2 思路点拨还没有学习因式分解的方法，要判断因式分解的正确性，可以通过逆向变形(整式乘法)检验因式分解是否正确.知1－讲解题秘方：根据因式分解与整式乘法之间的关系进行判断.解：利用整式的乘法法则将各选项中等式的右边展开，与等式的左边相比较，左右两边相等的只有选项B. 知1－讲例3仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2－4x+m分解因式后有一个因式是x+3，求其另一个因式及m的值.解：设另一个因式为x+n，则x2－4x+m=(x+3)(x+n)，即x2－4x+m=x2+(n+3)x+3n.所以解得所以另一个因式为x－7，m的值为－21. 知1－讲问题：(1)若二次三项式x2－5x+6可分解为(x－2)(x+a)，则a=_____；(2)若二次三项式2x2+bx－5可分解为(2x－1)(x+5)，则b=______；(3)已知二次三项式2x2+5x－k分解因式后有一个因式为2x－3，求其另一个因式及k的值. 知1－讲解题秘方：利用因式分解与整式乘法是互逆变形，可以将因式分解的结果利用整式乘法算出多项式，并与已知多项式比较解决问题. 知1－讲解：(1)－3(2)9(3)设另一个因式为x+q，则2x2+5x－k=(2x－3)(x+q)，即2x2+5x－k=2x2+(2q－3)x－3q，所以解得所以另一个因式为x+4，k的值为12. 知1－讲一题多解因式分解是恒等变形，利用恒等式的性质还有另一种解法：恒等式的性质：等式中的字母无论取何值时等式都成立.如：x2-4x+m=(x+3)(x+n)，将x=－3代入左右两边得9+12+m=0，解得m=－21.同样可利用此方法解决(1)，(2)，(3)题，同学们可以自己试一试. 知1－讲教你一招：因式分解与整式乘法是过程相反的恒等变形，将因式分解的结果利用整式乘法算出多项式，与已知多项式相比较，对应项的系数分别相等，列出方程(组)即可求出未知数的值. 知2－讲知识点公因式21.定义一个多项式中各项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式.●●●●● 知2－讲特别解读1.公因式必须是多项式中每一项都含有的因式.只在某个或某些项中含有而其他项中没有的因式不能成为公因式的一部分.2.公因式可以是数，也可以是单项式或多项式.3.若多项式各项中含有互为相反数的因式，则可将互为相反数的因式统一成相同的因式. 知2－讲2.公因式的确定：(1)确定公因式的系数：若多项式中各项系数都是整数，则取各项系数的最大公约数；(2)确定字母及字母的指数：取各项都含有的相同字母作为公因式中的字母，各项相同字母的指数取其中次数最低的． 知2－讲(3)若多项式各项中含有相同的多项式因式，则应将其看成一个整体，不要拆开，作为公因式中的因式.如3x(x-y)+x2(x-y)的公因式是x(x-y). 知2－讲指出下列多项式各项的公因式：(1)3a2y－3ay+6y；(2)4xy3－8x3y2；(3)a(x－y)3+b(x－y)2+(x－y)3；(4)－27a2b3+36a3b2+9a2b.例4 知2－讲解题秘方：紧扣公因式的定义求解.解法提醒找准公因式的“四看”：一看系数：若各项系数都是整数，应取各项系数的最大公因数；若多项式中首项的符号是“-”，则公因式的符号一般为负. 知2－讲二看字母：公因式中的字母是各项都含有的相同的字母．三看字母的指数：各项相同字母的指数取次数最低的.四看整体：如果多项式各项中含有相同的多项式因式，应将其看成一个整体，不要拆开． 知2－讲解：(1)中各项的公因式是3y；(2)中各项的公因式为4xy2；(3)中各项的公因式为(x－y)2；(4)中各项的公因式为－9a2b. 知3－讲知识点用提公因式法分解因式31.定义一般地，如果多项式的各项含有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法．用字母表示为ma+mb+mc=m(a+b+c). 知3－讲2.提公因式法的一般步骤(1)找出公因式，就是找出各项都含有的公共因式；(2)确定另一个因式：另一个因式即多项式除以公因式所得的商；(3)写成积的形式. 知3－讲特别解读1.提公因式法实质上是逆用乘法的分配律.2.提公因式法就是把一个多项式分解成两个因式的积的形式，其中的一个因式是各项的公因式，另一个因式是多项式除以这个公因式所得的商. 知3－讲将下列各式分解因式：(1)6x3y2－8xy3z；(2)－4a3b2+12a2b－4ab.例5解题秘方：紧扣提公因式法的步骤分解因式. 知3－讲解法提醒●当多项式首项系数是负数时，一般应先提出“-”号，但要注意，此时括号内各项都要改变符号.●4ab与公因式相同，提取公因式后，此项剩余项为“1”，此时容易漏掉“1”这一项而导致错误． 知3－讲解：(1)6x3y2－8xy3z=2xy2·3x2－2xy2·4yz=2xy2(3x2－4yz)；(2)－4a3b2+12a2b－4ab=－(4a3b2－12a2b+4ab)=－(4ab·a2b－4ab·3a+4ab)=－4ab(a2b－3a+1). 提公因式法整式乘法定义因式分解公因式提公因式法互逆变形检验 8.4因式分解第八章整式乘法与因式分解第2课时公式法 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2用平方差公式分解因式用完全平方公式分解因式用分组分解法分解因式 知1－讲知识点用平方差公式分解因式11.平方差公式法两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.即：a2-b2=(a+b)(a-b). 知1－讲特别解读1.因式分解中的平方差公式是乘法公式中的平方差公式逆用的形式.2.乘法公式中的平方差指的是符合两数和与两数差的积的条件后，结果写成平方差；而因式分解中的平方差公式指的是能写成平方差形式的多项式，可以分解成两个数的和乘两个数的差的形式. 知1－讲2.平方差公式的特点：(1)等号的左边是一个二项式，各项都是平方的形式且符号相反；(2)等号的右边是两个二项式的积，其中一个二项式是两个数的和，另一个二项式是这两个数的差. 3.运用平方差公式分解因式的步骤：一判：根据平方差公式的特点，判断是否为平方差，若负平方项在前面，利用加法的交换律把负平方项交换放在后面.二定：确定公式中的a和b，除a和b是单独一个数或字母外，其余不管是单项式还是多项式都必须用括号括起来，表示一个整体.三套：套用平方差公式进行分解.四整理：将每个因式去括号，合并同类项化成最简的.知1－讲 知1－讲例1分解因式：(1)4x2-25y2；解：4x2-25y2=(2x)2-(5y)2=(2x+5y)(2x-5y)；(2)(a+2)2-1；(a+2)2-1=(a+2+1)(a+2-1)=(a+3)(a+1)； 知1－讲 知1－讲(4)16(a-b)2-25(a+b)2.解：16(a-b)2-25(a+b)2=［4(a-b)+5(a+b)］［4(a-b)-5(a+b)］=(4a-4b+5a+5b)(4a-4b-5a-5b)=(9a+b)(-a-9b)=-(9a+b)(a+9b). 知1－讲特别提醒1.确定公式中的“a”和“b”时，不能只看表面，如4x2=(2x)2,“a”指的是2x；16(a-b)2=[4(a-b)]2，“a”指的是4(a-b).2.平方差公式可以连续运用.如(3)题，必须做到每个因式不能再分解为止.3.运用平方差公式分解因式时，若a、b都是多项式，先要添加括号，再去括号，然后化简最后结果.解题秘方：先确定平方差公式中的“a”“b”，再运用平方差公式分解因式. 知2－讲知识点用完全平方公式分解因式21.完全平方式：形如a2±2ab+b2这样的式子叫做完全平方式.完全平方式的条件：(1)多项式是二次三项式；(2)首末两项是两个数(或式子)的平方且符号相同，中间项是这两个数(或式子)的积的2倍，符号可以是“+”，也可以是“-”. 2.完全平方公式法两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.即：a2±2ab+b2=(a±b)2.3.完全平方公式法的特点等号左边是一个完全平方式，右边是这两个数的和(或差)的平方.知2－讲 知2－讲特别解读1.因式分解中的完全平方公式是乘法公式中的完全平方公式的逆用.2.结果是和的平方还是差的平方由乘积项的符号确定，乘积项的符号可以是“+”，也可以是“-”，而两个平方项的符号必须相同，否则就不是完全平方式，也就不能用完全平方公式进行因式分解. 知2－讲3.用完全平方公式分解因式时，若多项式各项有公因式，要先提取公因式，再用完全平方公式分解因式. 4.因式分解的一般步骤：(1)当多项式有公因式时，先提取公因式；当多项式没有公因式时(或提取公因式后)，若符合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解因式；(2)当不能直接提取公因式或不能用公式法分解因式时，可根据多项式的特点，把其变形为能提取公因式或能用公式法的形式，再分解因式；(3)当乘积中每一个因式都不能再分解时，因式分解就结束了.知2－讲 知2－讲已知9a2+ka+16是一个完全平方式，则k的值是_______.±24例2解题秘方：根据平方项确定乘积项，进而确定字母的值.解：因为9a2=(3a)2，16=42，9a2+ka+16是一个完全平方式，所以ka=±2×3a×4=±24a.所以k=±24. 知2－讲方法点拨求与完全平方式有关的字母值的方法：可根据首项、尾项和中间项三者之间的关系，由其中两项求出字母的值，要注意中间项的符号有“±”两种情况. 知2－讲分解因式：(1)x2-14x+49；解：x2-14x+49=x2-2·x·7+72=(x-7)2；例3 知2－讲(2)-6ab-9a2-b2；解：-6ab-9a2-b2=-(9a2+6ab+b2)=-［(3a)2+2·3a·b+b2］=-(3a+b)2； 知2－讲 知2－讲(4)(x2+6x)2+18(x2+6x)+81.解：(x2+6x)2+18(x2+6x)+81=(x2+6x)2+2·(x2+6x)·9+92=(x2+6x+9)2=(x+3)4.完全平方公式可以连续使用，因式分解的结果要彻底. 知2－讲解法提醒运用完全平方公式分解因式的关键是判断每个多项式是否符合完全平方式的结构特点，若符合，进一步确定公式中的“a”和“b”.注意当首项系数为负数时，一般要先提出负号，括号内多项式各项都要变号.如(2)题.解题秘方：先确定完全平方公式中的“a”和“b”，再运用完全平方公式分解因式. 知2－讲分解因式：－3a3b+48ab3；(2)x4－8x2+16；(3)25x2(a－b)+36y2(b－a).例4 知2－讲方法点拨“一提、二套、三查”是分解因式的步骤：有公因式的先提取公因式，然后套用公式，若多项式是两项，则考虑用平方差公式，若多项式是三项，则考虑用完全平方公式，最后检查乘积中每一个多项式的因式是否分解彻底.解题秘方：先观察是否有公因式，若有，先提取公因式，然后通过观察项数确定能用哪个公式分解因式. 知2－讲解：(1)－3a3b+48ab3=－3ab(a2－16b2)=－3ab(a+4b)(a－4b)；(2)x4-8x2+16=(x2－4)2=[(x+2)(x－2)]2=(x+2)2(x－2)2；(3)25x2(a－b)+36y2(b－a)=25x2(a－b)－36y2(a－b)=(a－b)(25x2－36y2)=(a－b)(5x+6y)(5x－6y). 知3－讲知识点用分组分解法分解因式3分组分解法：当一个多项式项数较多，且各项既没有公因式，又不能直接运用公式法分解因式时，可将该多项式适当分组，使各组都能分解因式，且在各组分解因式后，各组之间又能继续分解因式，从而将多项式分解因式，这种方法叫做分组分解法. 知3－讲理解：(1)分组只是一个步骤，分组的目的是用提公因式法或公式法将各组分解因式，进而将多项式分解因式.(2)需要运用分组分解法分解的多项式一般有四项或四项以上.如果是四项式，一般有两种分组方法：①分为“2+2”的形式；②分为“1+3”的形式. 知3－讲解法提醒●分组的目的是分组后能用提公因式法或用公式法分解因式，且各组之间能继续分解因式.●多项式的分组有时不能一次就成功，需要大胆地尝试，直到达到目的为止. 知3－讲例5把下列各式分解因式.(1)ad+bd－ax－ay－bx－by；解：ad+bd－ax－ay－bx－by=(ad－ax－ay)+(bd－bx－by)=a(d－x－y)+b(d－x－y)=(a+b)(d－x－y)； 知3－讲(2)4xy+1-4x2－y2；解：4xy+1-4x2－y2=1－(4x2－4xy+y2)=1－(2x－y)2=(1+2x－y)(1－2x+y). 知3－讲解题秘方：分组一般应遵循分组后能运用公式法继续分解，或分组后可提公因式分解因式的原则，因而在分组时可进行适当尝试，直到找出解题思路为止. 知3－讲方法点拨把一个多项式按“先部分，后整体”的思路，先分组，分别变形，再分解因式，这种因式分解的方法称为分组分解法.分组分解法适用于三项以上的多项式的因式分解. 公式法用公式法分解因式利用平方差公式分解因式利用完全平方公式分解因式a2-b2=(a+b)(a-b)a2±2ab+b2=(a±b)2分组分解