七年级数学（第八章 实数）8.3 完全平方公式与平方差公式（沪科版 学习、上课资料）

8.3完全平方公式与平方差公式第八章整式乘法与因式分解 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2完全平方公式平方差公式添括号（拓展点） 知识点完全平方公式知1－讲11.完全平方公式两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍.即：用字母表示为(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2. 知1－讲特别解读1.弄清公式的特征：公式的左边是一个二项式的完全平方，公式的右边是一个三项式，包括左边二项式的各项的平方和，另一项是这两项的乘积的2倍.2.理解字母a、b的意义：公式中的字母a、b可以表示具体的数，也可以表示含字母的单项式或多项式.3.口诀记忆：头平方和尾平方，头（乘）尾两倍在中央，中间符号照原样. 知1－讲2.完全平方公式的几种常见变形公式(1)a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab；(2)(a+b)2=(a-b)2+4ab；(3)(a-b)2=(a+b)2-4ab；(4)(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)； 知1－讲 知1－讲例1计算：(1)(x+7y)2；解：(x+7y)2=x2+2·x·7y+(7y)2=x2+14xy+49y2； 知1－讲解题秘方：确定公式中的“a”和“b”，利用完全平方公式进行计算. 知1－讲方法点拨1.利用完全平方公式进行整式运算的基本步骤：(1)确定公式中的a、b；(2)确定和差关系；(3)选择公式；(4)计算结果.2.两个易错点：(1)套用公式时千万不能漏掉“2ab”项；(2)两个平方项的底数要带上括号. 知1－讲(2)(-4a+5b)2；解：(-4a+5b)2=(5b-4a)2=(5b)2-2·5b·4a+(4a)2=25b2-40ab+16a2； 知1－讲(3)(-2m-n)2；解：(-2m-n)2=(2m+n)2=(2m)2+2·2m·n+n2=4m2+4mn+n2； 知1－讲(4)(2x+3y)(-2x-3y).解：(2x+3y)(-2x-3y)=-(2x+3y)2=-［(2x)2+2·2x·3y+(3y)2］=-(4x2+12xy+9y2)=-4x2-12xy-9y2.解法提醒两个二项式相乘，若两项都相同或都相反，则用完全平方公式计算. 知1－讲例2计算：(1)9992；解：9992=(1000-1)2=10002-2×1000×1+12=1000000-2000+1=998001； 知1－讲 知1－讲解题秘方：将原数转化成符合完全平方公式的形式，再利用完全平方公式展开计算即可. 知1－讲方法点拨利用完全平方公式进行数值运算时，主要是将底数拆成两个数的和或差的形式，拆分时主要有两种情况：一是接近整十、整百或整千的数.将与整十、整百或整千接近的数拆分成整十、整百或整千的数与相差的数的和或差；二是带分数.将带分数拆分成整数部分与真分数的和或差. 知2－讲知识点平方差公式21.平方差公式两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.即：用字母表示为(a+b)(a-b)=a2-b2. 知2－讲特别解读公式的特征：1.等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数.2.等号右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方.3.理解字母a、b的意义：平方差公式中的a、b既可代表一个单项式，也可代表一个多项式. 知2－讲2.平方差公式的几种常见变化及应用：变化形式应用举例(1)位置变化(b+a)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a2-b2(2)符号变化(-a-b)(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b)2-a2=b2-a2(3)系数变化(3a+2b)(3a-2b)=(3a)2-(2b)2=9a2-4b2(4)指数变化(a3+b2)(a3-b2)=(a3)2-(b2)2=a6-b4(5)增项变化(a-b+c)(a-b-c)=(a-b)2-c2(6)连用公式(a+b)(a-b)(a2+b2)=(a2-b2)(a2+b2)=a4-b4 知2－讲例3计算：(1)(5m-3n)(5m+3n)；解：(5m-3n)(5m+3n)=(5m)2-(3n)2=25m2-9n2；(2)(-2a2+5b)(-2a2-5b)；(-2a2+5b)(-2a2-5b)=(-2a2)2-(5b)2=4a4-25b2； 知2－讲解题秘方：先确定公式中的“a”和“b”，然后根据平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2进行计算. 知2－讲解法提醒运用平方差公式计算的3个关键步骤：第1步：利用加法的交换律调整两个二项式中项的位置，使之与公式左边相对应，已对应的就不需调整，如(1)(2)不需调整，(3)(4)就必须调整.第2步：找准公式中的a、b分别代表哪个单项式或多项式.第3步：套用公式计算，注意将底数带上括号.如(1)中(5m)2不能写成5m2. 知2－讲 知2－讲(4)(-3y-4x)(3y-4x).解：(-3y-4x)(3y-4x)=(-4x-3y)(-4x+3y)=(-4x)2-(3y)2=16x2-9y2. 知2－讲例4计算：(1)10.3×9.7；解：10.3×9.7=(10+0.3)(10-0.3)=102-0.32=100-0.09=99.91；(2)2020×2022-20212.2020×2022-20212=(2021-1)(2021+1)-20212=20212-1-20212=-1. 知2－讲解题秘方：找出平方差公式的模型，利用平方差公式进行计算.方法点拨运用平方差公式计算两数乘积时，关键是找到这两个数的平均数，再将原数与这个平均数进行比较，变成两数的和与差的积的形式. 感悟新知知3－讲知识点添括号（拓展点）31.添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不改变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都要改变符号.即：用字母表示为a+b+c=a+(b+c)=a－(－b－c)；a－b－c=a－(b+c)=a+(－b－c). 感悟新知知3－讲2.添括号法则的应用 添括号在利用乘法公式的计算中应用广泛，利用添括号使原式变成符合乘法公式的形式，特别是利用“括号前面是负号的时候，括到括号里的各项都要改变符号”来变形. 知3－讲感悟新知特别解读1.添括号只是一个变形，不改变式子的值.2.添括号是否正确，可利用去括号检验. 知3－练感悟新知计算：(1)(2x－y+4)(2x+y－4)；(2)(m－2n+1)(－2n－1+m)；(3)(2a+3b－1)(1－2a－3b)；(4)(3a－b+c)2.例5 知3－练感悟新知解题秘方：先通过添括号把式子转化为符合平方差公式或完全平方公式的形式，再利用乘法公式进行计算. 知3－练感悟新知方法点拨●两个三项式相乘，各项既有符号相同的也有符号不同的，可通过变形用平方差公式计算.确定平方差公式中的“a”、“b”的方法：完全相同的项为“a”，绝对值相同符号相反的项为“b”.●三个数和的完全平方，利用添括号和整体思想转化为两个数和的完全平方进行计算，也可以直接套用三个数和的完全平方公式：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac进行计算. 知3－练感悟新知解：(1)(2x－y+4)(2x+y－4)；=［2x－(y－4)］［2x+(y－4)］=(2x)2－(y－4)2=4x2－y2+8y－16；(2)(m－2n+1)(－2n－1+m)=［(m－2n)+1］［(m－2n)－1］=(m－2n)2－12=m2－4mn+4n2－1； 知3－练感悟新知(3)(2a+3b－1)(1－2a－3b)；=(2a+3b－1)［－(2a+3b－1)］=-［(2a+3b)－1］2=-［(2a+3b)2－2(2a+3b)+12］=－(4a2+12ab+9b2－4a－6b+1)=－4a2－12ab－9b2+4a+6b－1=－4a2－9b2－12ab+4a+6b－1； 知3－练感悟新知(4)(3a－b+c)2=［(3a－b)+c］2=9a2－6ab+b2+6ac－2bc+c2=9a2+b2+c2－6ab+6ac－2bc. 完全平方公式与平方差公式乘法公式完全平方公式平方差公式添括号