七年级数学（第九章 实数）9.1 分式及其基本性质（沪科版 学习、上课资料）

9.1分式及其基本性质第九章分式 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2分式的概念分式有意义和无意义的条件分式的值为0的条件分式的基本性质分式的约分 知识点知1－讲感悟新知1分式的概念定义一般地，如果a，b表示两个整式，并且b中含有字母，那么式子叫做分式，其中a叫做分式的分子，b叫做分式的分母.分式的“三要素”：(1)形如的式子；(2)a，b为整式；(3)分母b中含有字母. 知1－讲感悟新知2.分式与分数、整式的关系：(1)分式中分母含有字母．由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性.分数是分式中字母取特定值时的特殊情况.(2)分式与整式的根本区别就是分式的分母中含有字母.3.整式和分式统称为有理式. 知1－讲感悟新知特别解读1.分式可看成是两个整式的商，它的分子是被除式，分母是除式，分数线相当于除号，分数线还具有括号作用和整体作用.2.判断一个式子是否是分式，不能将原式子进行变形后再判断，而必须按照本来的“面目”进行判断.如：是分式. 感悟新知知1－练下列各式中，哪些是分式？哪些是整式？例1 知1－讲感悟新知特别警示由于约分后为p，所以容易误认为其是整式.2.中，尽管分母中含有字母x，但分子不是整式，所以它既不是整式，也不是分式.3.π是常数，不能当字母看，所以是整式. 感悟新知知1－练解题秘方：利用分式的三要素判断即可. 感悟新知知1－练方法点拨：判断一个式子是否是分式的方法首先要具有的形式，其次a，b是整式，最后看分母中是不是含有字母.分式只注重形式而不注重结果，分母中含有字母是判断分式的必要条件. 知识点分式有意义和无意义的条件知2－讲感悟新知21.分式有意义的条件分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当b≠0时，分式才有意义.2.分式无意义的条件分式的分母为0，即当b=0时，分式无意义. 知2－讲感悟新知特别提醒●分母不为0，并不是说分母中的字母不能为0，而是表示分母的整式的值不能为0.●分式是否有意义，只与分式的分母是否为0有关，而与分式的分子是否为0无关. 感悟新知知2－练x满足什么条件时下列分式有意义？例2解题秘方：分母的值不等于0时，分式有意义. 感悟新知知2－练解：(1)当5x－3≠0，即x≠时，分式有意义.(2)当|x|－1≠0，即x≠±1时，分式有意义.(3)因为无论x取什么值，都有x2+3>0，所以x取任何实数，分式都有意义.(4)当(x－2)(x+4)≠0，即x≠2且x≠－4时，分式有意义. 感悟新知知2－练警示误区只能对原分母进行讨论，不能先约分化简，否则会使取值范围扩大，如此题中，若约去x－2，易错得当x≠－4时，分式有意义. 感悟新知知2－练分式中的x满足什么条件时分式无意义？解题秘方：分母的值等于0时，分式无意义.例3解：要使分式无意义，则分母x2－16=0，即x2=16，解得x=±4.所以当x=±4时，分式无意义. 知识点分式的值为0的条件知3－讲感悟新知31.分式的值为0的条件当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0.即：对于分式，当a=0且b≠0时，=0. 知3－讲感悟新知2.对常见的几种特殊分式值的讨论：(1)若的值为正数，则或(2)若的值为负数，则或(3)若的值为1，则a=b，且b≠0.(4)若的值为－1，则a=－b，且b≠0. 知3－讲感悟新知特别提醒1.分式的值是在分式有意义的前提下才考虑的，所以分式的值为0的条件：a=0且b≠0，二者缺一不可.2.对于分式的几种特殊值的讨论既要考虑分子，又要考虑分母. 感悟新知知3－练当x取何值时，下列分式的值为0？例4(2)； 知3－讲感悟新知解题秘方：分式的值为0的条件：分子为0，分母不为0. 知3－讲感悟新知教你一招求分式值为0的字母值的方法：●解题时可以先求出使分子为0的字母的值，再检验这个值是否使分母的值为0，当分母的值不为0时，这个值就是所要求的字母的值.切记使分母为0的值必须舍去.●若有多个值使分式的值为0，则这几个值之间用“或”连接. 感悟新知知3－练解：(1)由得x=－2，∴当x=－2时，分式的值为0.(2)由得x=2，所以当x=2时，分式的值为0. 感悟新知知3－练(3)由得x=－3，∴当x=－3时，分式的值为0.(4)由，得x=3，∴当x=3时，分式的值为0.若ab≠0，则a≠0且b≠0.若ab=0，则a=0或b=0. 知识点分式的基本性质知4－讲感悟新知41.分式的基本性质分式的分子与分母都乘以(或都除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变.用字母表示为=，=(a，b，m都是整式，且m≠0).分式的基本性质是分式变形的理论依据. 知4－讲感悟新知特别解读1.b≠0是已知中隐含的条件，m≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用此性质时，必须重点强调m≠0这个前提.2.运用分式的基本性质进行分式的变形是恒等变形，它不改变分式值的大小，只改变其形式. 知4－讲感悟新知2.分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中两个，分式的值不变.用字母表示：(1)==－=－；(2)－=－==. 感悟新知知4－练写出下列等式中未知的分子或分母：5y例5()()a2+2ab(3)=x－y 感悟新知知4－练解题秘方：观察等号两边已知的分子或分母发生了什么样的变化，再根据分式的基本性质用相同的变化确定所要填的式子. 感悟新知知4－练解：(1)中，右边的分子3x是由左边的分子15x2y除以5xy得到的，所以右边的分母可以由25xy2除以5xy得到5y.(2)中，右边的分母a2b2是由左边的分母ab2乘a得到的，所以右边的分子可以由a+2b乘a得到a2+2ab.(3)中，右边的分子3是由左边的分子3x除以x得到的，所以右边的分母可以由左边的分母x2－xy除以x得到，因此结果是x－y. 感悟新知知4－练不改变分式的值，使下列各分式的分子与分母都不含“－”号或分子、分母中的第一项都不含“－”号.例6解题秘方：分式的分子、分母及分式本身这三处的正负号，同时改变其中两处，分式的值不变. 感悟新知知4－练 感悟新知知4－练警示误区当分子、分母是多项式时，应将其看成一个整体，若分子或分母的首项系数是负数，应先提取“-”号并添加括号，注意此时多项式中的每一项都要变号. 感悟新知知4－练把分式(n≠0)中的m和n同时扩大为原来的2倍，那么分式的值()扩大为原来的2倍B.不变C.缩小为原来的D.缩小为原来的例7C 感悟新知知4－练方法点拨解答此类问题，应先求出变化后的分式，然后运用分式的基本性质化简，再与原分式进行比较即可. 感悟新知知4－练解题秘方：将分式中的m和n同时扩大为原来的2倍，再代入原分式，利用分式的基本性质变形. 感悟新知知4－练解：把分式中的m和n同时扩大为原来的2倍，可将分式变为==，因此分式的值缩小为原来的. 感悟新知知4－练不改变分式的值，把下列各式的分子和分母中的各项系数都化为整数.例8(1)；(2) 感悟新知知4－练解题秘方：利用分式的基本性质将分子、分母同时乘同一个数，使系数都化为整数. 感悟新知知4－练教你一招利用分式的基本性质化系数为整数的方法：若各项系数都是小数，则分子、分母同乘10的正整数倍.2.若各项系数都是分数，则分子、分母同乘分子和分母中所含分数的分母的最小公倍数.3.若各项系数既有小数又有分数，则要先统一成小数或者分数，然后化为整数.注意将系数化为整数的过程中不要漏项. 感悟新知知4－练解：(1)==；(2) 知识点分式的约分知5－讲感悟新知51.分式的约分根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分. 知5－讲感悟新知特别解读1.约分的依据是分式的基本性质，关键是确定分子和分母的公因式.2.约分是针对分式的分子和分母整体进行的，而不是针对其中的某些项，因此约分前一定要确认分子和分母都是乘积的形式.3.约分一定要彻底，其结果必须是最简分式或整式. 知5－讲感悟新知2.找公因式的方法:(1)当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公因数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式；(2)当分子、分母中有多项式时，先把多项式分解因式，再按(1)中的方法找公因式. 知5－讲感悟新知3.约分的方法(1)若分式的分子、分母都是单项式，就直接约去分子、分母的公因式；(2)若分子或分母是多项式，应先分解因式，再确定公因式并约去.4.最简分式 分子与分母只有公因式1的分式，叫做最简分式. 感悟新知知5－练约分：例9解题秘方：(1)中的分子、分母都是单项式，可以直接约分；(3)中的分子、分母都是多项式，先将多项式分解因式，再进行约分. 感悟新知知5－练 感悟新知知5－练特别提醒约分时需要注意的问题：●注意发现分式的分子和分母的一些隐含的公因式（如互为相反数的式子）.●当分式的分子或分母的系数是负数时，可利用分式的基本性质，把负号提到分式的前面. 感悟新知知5－练下列各式中，最简分式有______________.例10 感悟新知知5－练解题秘方：根据最简分式的定义识别.解： 感悟新知知5－练知识储备最简分式是约分后的形式，所以判断最简分式的唯一标准就是分式不能再约分. 课堂小结分式及其基本性质分式的概念分式的基本性质约分分式有意义的条件分式的值为零的条件