重庆市九龙坡区育才中学校2023-2024学年高一上学期第三次月考数学试题（Word版附解析）

重庆育才中学高2026届高一（上）第三次月考数学试题2023.12（满分150分，考试时间120分钟）本试卷为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.注意事项：1.作答前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在试卷的规定位置上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，答题卡、试卷、草稿纸一并收回.第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据图象得到阴影表示的集合，进一步运算即可.【详解】由题可知，图中阴影部分表示的集合为,故选：C.2.函数零点所在的区间是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的单调性和零点存在性定理求得正确答案.【详解】在上单调递减， ，，所以零点所在的区间是.故选：B3.若：，：则是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】解出命题为真时的的范围，进一步分析即可判定.【详解】由，得，由，得，根据变量范围可知，是的既不充分也不必要条件，故选：D.4.“喝酒不开车，开车不喝酒”，酒驾醉驾均是违法行为.根据国家相关规定：驾驶员血液中酒精含量在20~79mg/100mL认定为酒后驾车，80mg/100mL及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员饮酒后血液中酒精含量迅速上升到1.2mgmL，停止饮酒后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，则该驾驶员至少经过几小时才能驾驶车辆（结果取整数）？（参考数据：，，）（）A.3B.4C.5D.6【答案】D【解析】【分析】根据题意，列出不等式，利用对数进行计算，即可解出.【详解】设经过小时，才能驾驶车辆，则：，两边取常用对数，得：所以至少经过6小时，才能驾驶车辆.故选：D 5.已知，，，则，，的大小关系是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据“分段法”求得正确答案.【详解】，，，所以.故选：A6.已知函数在上是增函数，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围.【详解】由于在上是增函数，所以，解得，所以的取值范围是.故选：D7.函数的大致图象是（）A.B. C.D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性、特殊点的函数值确定正确答案.【详解】由解得，所以的定义域为，，所以是奇函数，图象关于原点对称，由此排除BC选项.，由此排除D选项.故选：A8.已知函数，则函数零点个数是（）A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】【分析】先求的零点，结合图象判断出函数的零点个数.【详解】由解得或，构造函数，在上单调递减，，，所以存在唯一零点，所以对于，有唯一解.令， 得或或，得或或，时，，画出的大致图象如下图所示，由图可知，函数的零点个数是.故选：C【点睛】求和函数的零点，可以考虑的方向有：直接法、零点存在性定理法、图象法.直接法即由求得函数的零点.零点存在性定理法即利用来判断零点所在区间.图象法即利用图象来判断函数的零点.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.1弧度角与的角一样大B.三角形的内角必是第一或第二象限角C.若是第三象限角，则是第二或第四象限角 D.终边在轴正半轴上的角的集合为【答案】CD【解析】【分析】根据弧度制定义可知A错误；当三角形的内角为时，可知B错误；求得的角的集合，可判定C；根据角的终边可直接得到角的集合，继而判定D.【详解】根据弧度制的定义知1弧度的角约等于，故A错误；当三角形的内角为时，不是象限角，故B错误；若是第三象限角，则,则，当为偶数时，是第二象限角，当为奇数时，是第四象限角，故C正确；终边在轴正半轴上的角的集合为,故D正确，故选：CD.10.下列命题是真命题的是（）A.若，则B.若非零实数，，满足，，则C.若，则D.若，，则【答案】BCD【解析】【分析】举反例可否定A；根据条件先判断c的符号，然后可判断B；根据对数函数单调性和真数范围，结合不等式性质可判断C；利用关系，由不等式性质可判断D.【详解】A选项：当时，显然，A错误；B选项：若非零实数，，满足，，则有，所以，B正确；C选项：若，则，所以，C正确； D选项：设，则，解得，因为，所以，又，所以，即，D正确.故选：BCD11.因为函数的图象极似汉字“囧”，被戏称为“囧函数”，则下列描述中正确的是（）A.函数的定义域为B.函数图象关于轴对称C.当时，D.方程有四个不同的实根【答案】BCD【解析】【分析】根据函数有意义的条件，直接求得定义域即可判定A；根据偶函数的定义即可判定选项B；根据自变量的取值范围，可求得函数的值域，继而可以判定C；把方程根的个数转化函数的交点个数，画出函数图象即可判定D.【详解】令得，，故函数的定义域为，故A错误；函数的定义域关于原点对称，且，则函数为偶函数，其图象关于轴对称，故B正确；当时，，所以，所以当时，，故C正确；方程，可化为，设函数，其定义域为，且满足，则其为偶函数； 考虑到也偶函数，所以考查且情况即可，当且时，，，可画出两个函数的图象由图可知两个函数有四个交点，即方程有四个不同的实根，故D正确，故选：BCD.12.已知定义在的函数满足：当时，恒有，则（）A.B.函数在区间为增函数C.函数在区间为增函数D.【答案】ABD【解析】【分析】利用构造函数结合函数的单调性对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，当时，恒有， 令，则，所以A选项正确.不妨设，设，，由于，所以，所以，，所以在为增函数，所以B选项正确.设的符号无法判断，所以的单调性无法判断，所以C选项错误.由上述分析可知，函数在为增函数，所以，所以，同理，所以，所以，所以D选项正确.故选：ABD【点睛】利用函数单调性的定义证明函数的单调性，首先要在函数定义域的给定区间内，任取两个数，且，然后通过计算的符号，如果，则在给定区间内单调递增；如果，则在给定区间内单调递减. 第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.半径、圆心角弧度数均为2的扇形的面积为______.【答案】4【解析】【分析】根据条件求得弧长，利用扇形面积计算公式计算即可.【详解】如图所示，设弧长为，半径为，圆心角为，由题意知，则扇形面积，故答案为:4.14.请写出一个定义域为、值域为的函数：______.（写出一个函数即可）【答案】（答案不唯一）.【解析】【分析】根据基本初等函数的性质即可求解.【详解】因为函数的定义域为，值域为，故答案为：（答案不唯一）.15.如果函数在其定义域内存在实数，使得（k为常数）成立，则称为“对k的可拆分函数”.若为“对1的可拆分函数”，则a的取值范围是______. 【答案】【解析】【分析】根据题中条件建立方程，化简变形后可得，求得函数的值域即【详解】根据题意可知，必有，函数的定义域为,则在其定义域内存在实数，使，即，即，所以，则，又，则，，即，故答案为：16.定义在上的函数满足：，，则______.同时，又满足：，且时，，则______.【答案】①.1②.##【解析】【分析】令可得，利用进行迭代可求得 ，然后结合已知可得.【详解】令，由得，即.因为，所以，得，所以，，，，，又，所以，，，，因为时，，且，所以，故.故答案为：1；.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.计算：（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据指数运算求得正确答案.（2）根据对数运算求得正确答案.【小问1详解】 .【小问2详解】.18.已知集合，，.（1）求及.（2）若，求m的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）求出集合、，根据交集和并集的定义求解；（2）先求出集合，根据子集的定义进行求解.【小问1详解】解：因为即为，所以， 又因为，所以，【小问2详解】不等式的解集为，因为，，故，解得.19.已知函数.（1）判断函数的奇偶性；（2）若，求实数m的取值范围.【答案】（1）奇函数；（2）.【解析】【分析】（1）先求定义域，然后判断与的关系即可；（2）根据单调性的性质判断函数的单调性，然后结合奇偶性和定义域去掉函数符号即可求解.【小问1详解】由解得，即的定义域为，又，所以，函数为奇函数.【小问2详解】由（1）知，函数为奇函数，所以，易知均为增函数，所以单调递增， 又的定义域为，所以，，解得，即实数m的取值范围为.20.已知函数.（1）若为偶函数，求a的值；（2）解关于x的不等式.【答案】20.2；21.答案见解析.【解析】【分析】（1）利用图象平移变化可得的对称轴，然后由二次函数性质可解；（2）根据相应二次函数开口方向和两根大小关系分类讨论即可【小问1详解】因为为偶函数，所以，由图象平移变化可知的图象关于对称，所以，解得，此时，满足题意，所以，a的值为2.【小问2详解】.因为，所以方程的两根为和1，当时，，不等式解集为；当时，，不等式解集为；当时，，不等式解集为； 当时，不等式解集为.21.为研究一款额定功率是1.5kw、自带水温显示的电动热水壶的加热效果，在壶中水温从加热之初的室温升至完全沸腾的过程中，某数学兴趣小组统计了多个关键数值量，包含壶中水量a（单位：升）、壶中水温x（单位：）、加热时间y（单位：秒）.我们选择了其中几个数据记录在如下表格中.水量a（升）温度x（）时间y（秒）31005032080560（1）根据记录的多组数据，兴趣小组断定3升水量的加热时间y是关于壶中水温x的一次函数.试结合表中数据，计算此函数关系式；并计算在同样室温条件下，将壶中3升水从室温烧至沸腾（即）需要的总时间；（2）小组通过查阅资料，知道有如下科学论断：①在同样条件下，将水烧到沸腾所花的时间与壶水量近似满足正比例关系；②如果把水放在温度为的空气中冷却，若开始时水的温度是则t分钟后水温可由公式求得，其中，是由盛水的容器所确定的常量，为自然对数的底数.因为要赶时间，现计划在10分钟内完成从水壶通电开始烧水，烧沸腾后立即放入容器，直到水温降到这一系列过程.根据以上论断，如在水壶中加入2升水，10分钟能完成整个过程吗？如时间够用，请说明理由：如时间不够用，请建议壶中应加入的水量.参考数据：，.【答案】（1）；秒（2）不能，理由见详解；建议壶中应加入水量小于等于升.【解析】【分析】（1）待定系数法设出函数，把点代入即可求解；（2）根据条件得到将升水烧到沸腾所以时间为分钟的函数关系，再根据 ，建立方程解出后，进一步分析即可.【小问1详解】根据题意知，加热时间y是关于壶中水温x的一次函数，可设，且点在函数的图象上，所以，解得，所以，经验证点也在函数的图象上，当时，，即将壶中3升水从室温烧至沸腾（即）需要的总时间秒.【小问2详解】将水烧到沸腾所花的时间与壶水量近似满足正比例关系,设壶水量为升，将水烧到沸腾所花的时间为分钟，则，又题中条件知，当时，分钟，所以，则，所以，则当时，，即把2升的水烧到沸腾所花的时间为8分钟.又，根据题意可得：，化为，则分钟，所以2升水从室温烧至沸腾，再降至,所需时间为分钟，时间不够用.令，则，建议壶中应加入水量小于等于升. 22.已知奇函数满足（1）求a，b的值并求的值域：（2）判断的单调性（无需证明）；（3）若函数恰有两个零点，求实数m的取值范围.【答案】22.，的值域为23.详见解析24.【解析】【分析】（1）利用求得a，再利用求得b，再利用分类讨论思想结合基本不等式求值域即可；（2）可利用单调性的定义进行证明；（3）已知复合函数的零点个数求参数取值范围问题需要原复合函数看作多个函数，由外向内进行分析，注意数形结合思想的应用即可.【小问1详解】由于是奇函数，当时，，解得，此时，，故舍去，所以，即0在定义域内，所以，解得，所以，解得，所以，经检验：，所以满足题意；当时，，当时取最大值1，当时，， 当时，，且有，当时取最小值，综上：，的值域为；【小问2详解】在上递增，在上单调递减；证明如下：令，则，所以当或时，，故，此时单调递减；所以当时，，故，此时单调递增；综上：在上递增，在上单调递减.【小问3详解】由于的增长速度远大于的增长速度，所以当且，当且，由（1）（2）可知为奇函数且在上递增，在上单调递减，值域为，所以可画出的图象如下所示：令，令， 所以，解得，所以，令，则，由于是定义域上的单调递增函数，且时，，所以，即，所以，令，所以，令，，令，，当时，，故在上单调递减，当时，，故在上单调递增，所以在上单调递减，在上单调递增，如下图所示：时，，若恰有两个零点，则，解得，综上：.