重庆市九龙坡区杨家坪中学2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试题（Word版附解析）

重庆市杨家坪中学高2025届高二（上）第二次月考数学试题（满分150分，时间120分钟）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，若，则（）A.1B.2C.3D.-2【答案】C【解析】【分析】利用向量垂直时数量积等于零，通过向量数量积的坐标表示建立方程求解即可.【详解】因为，，又，所以，解得，故选：2.圆心为且过点的圆的标准方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先求得圆的半径，从而确定正确答案.【详解】圆的半径为，所以圆的标准方程为.故选：A 3.在梯形中，，且和所在直线的方程分别是与，则梯形的面积为（）A.9B.18C.D.【答案】C【解析】【分析】根据直线方程可得，从而由两平行直线间的距离得出梯形的高，根据梯形面积公式可得出答案.【详解】由直线的方程为：，直线的方程为可知，所以梯形的高即为直线和间的距离，所以梯形的面积为.故选：C4.已知点分别是椭圆的左、右焦点，点在此椭圆上，则的周长等于（）A.20B.16C.18D.14【答案】C【解析】【分析】由椭圆的定义求解．【详解】根据椭圆方程可知，根据椭圆的定义可知，的周长为，故选：C5.直三棱柱中，，，，则直线与夹角的余弦是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线所成的角； 【详解】∵直三棱柱，底面三边长，，，,，，两两垂直．如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则∵，，，即直线与夹角的余弦是为.故选:C.6.古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果.其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数（）的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点，动点满足，则点P的轨迹与圆的公切线的条数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】根据两点距离公式整理等式，可得动点的轨迹方程，明确两圆的圆心和半径，结合两圆的位置关系，可得答案.【详解】由题意知，化简得，其圆心为，半径， 又圆C的圆心，半径，所以，且，所以两圆相交，故其公切线的条数为2条.故选：B.7.已知三棱锥，，且，则点到直线的距离为（）A.B.C.D.3【答案】B【解析】【分析】由题意建立空间直角坐标系，利已知条件结合向量法求解即可.【详解】由题意，故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由题设可知，所以，，，设点在上的投影为,则在直角三角形中， 点到直线的距离为:故选：B.8.如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，用表示，再在两个直角三角形中借助勾股定理求解作答.【详解】依题意，直线都过点，如图，有，，设，则，显然有，，，因此，，在，， 即，解得，即，令双曲线半焦距为c，在中，，即，解得，所以E的离心率为.故选：B【点睛】方法点睛：求双曲线离心率的三种方法：①定义法，通过已知条件列出方程组，求得的值，根据离心率的定义求解离心率；②齐次式法，由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.点在圆上，点在圆上，则（）A.B.两个圆心所在的直线的斜率为C.的最大值为7D.两个圆相交弦所在直线的方程为【答案】BC【解析】【分析】确定两圆圆心和半径，计算，A错误，，B正确，，C正确，两圆相离，不相交，D错误，得到答案.【详解】，半径为，圆的标准方程为，则，半径为，对选项A：，错误；对选项B：，正确；对选项C：，正确； 对选项D：由于，所以两圆相离，不相交，错误；故选：.10.已知点，直线，则下列说法中正确的有（）A.直线恒过点B.若直线与线段有交点，则C.点到直线的距离的最大值为D.若为直线上一点，则的最小值为【答案】BCD【解析】【分析】对于A，把直线的方程整理为，得出所过定点；对于B，先求出，结合图象得出结果；对于C，当直线时，点到直线的距离最大；对于D，求出关于直线的对称点的坐标，.【详解】对于A，因为直线的方程可化为，令且，所以直线过定点，故A错误．对于B，如下图，因为直线过定点，且，所以，故B正确．对于C，当直线时，点到直线的距离最大，且最大值为，故C正确．对于D，如下图，当时，直线的方程为．设关于直线的对称点为，则解得，所以，所以，故D正确．故选：BCD. 11.已知椭圆的焦点分别为，，设直线l与椭圆C交于M，N两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（）A.B.椭圆C的离心率为C.直线l的方程为D.的周长为【答案】AC【解析】【分析】先由题意求出即可判断A；再根据离心率公式即可判断B；由点差法可以求出直线l的斜率，由直线的点斜式化简即可判断C；由焦点三角形的周长公式即可判断D.【详解】如图所示：根据题意，因为焦点在y轴上，所以，则，故选项A正确；椭圆C的离心率为，故选项B不正确；不妨设，则，，两式相减得，变形得， 又注意到点为线段的中点，所以，所以直线l的斜率为，所以直线l的方程为，即，故选项C正确；因为直线l过，所以的周长为，故选项D不正确.故选：AC．12.如图，四棱锥中，平面平面，侧面是边长为的正三角形，底面为矩形，，点是的中点，则下列结论正确的是（）A.平面B.与平面所成角的余弦值为C.到平面的距离为D.四棱锥外接球的内接正四面体的表面积为【答案】BCD【解析】【分析】取的中点O，的中点E，可证得平面，从而两两垂直，以O为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量可判断A；求出平面的法向量，利用向量夹角公式求解可判断B；利用点到面的距离的向量公式求解可判断C；将四棱锥外接球的内接正四面体补成正方体，根据正方体的对角线为球的 直径求解可判断D．【详解】A选项：取的中点O，的中点E，连接，因为三角形为等边三角形，所以，因为平面平面，所以平面，因为，所以两两垂直，所以，如图，以O为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则因为点Q是的中点，所以设平面的一个法向量为，显然与不共线，所以与平面不垂直，所以A不正确，B选项，，，，设平面法向量为，，令，则，所以设与平面所成角为，则， 所以，所以B正确；C选项：平面的法向量为，，则到平面的距离为，所以C正确；D选项：设四棱锥外接球的球心为，则，所以，解得，即为矩形对角线的交点，所以四棱锥外接球的半径为3，设四棱锥外接球的内接正四面体为，棱长为，将正四面体补成正方体，其中正四面体的棱为正方体面的对角线，故正方体的棱长为，因为正方体的对角线为球的直径，所以，得，所以正四面体的表面积为，所以D正确．故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知椭圆的焦距为2，则实数m的值为________.【答案】3【解析】【分析】先由的值判断焦点位置，再根据椭圆基本量的关系进行求解即可. 【详解】因为，所以椭圆的焦点在轴上，所以，，，所以，解得.故答案为：3.14.已知向量共面，则________．【答案】【解析】【分析】由向量共面定理，结合向量线性关系的坐标运算求参数即可.【详解】由题设且，即，所以.故答案为：15.已知椭圆的右焦点为外的一点满足（为坐标原点），过点的直线与交于两点，且，若直线的斜率之积为，则______．【答案】【解析】【分析】取线段的中点为，利用边长比值关系可得，进而借助点差法求解的值.【详解】解：如图，取线段的中点为，连接，则由题意可得，，又，所以． 因为直线的斜率之积为，所以．设，则，两式相减可得，整理得，即，所以，所以．故答案为：．16.已知点在上运动，点在圆上运动，且最小值为，则实数的值为______.【答案】5【解析】【分析】结合图形，先判断得，再将问题转化为求的最小值，利用换元法与二次函数在闭区间上的最值求法即可得解.【详解】因为可化为，又，所以表示焦点在轴上，实半轴长为的双曲线上支的一部分，而圆的圆心为，半径为，如图，因为最小值为，即， 又，即，所以，即，则，又，所以，因为点在上运动，故设,，所以，令，，则，，所以，令，则其对称轴为，因为，所以，则在上单调递减，则，即，则，解得或（舍去），所以.故答案为：5.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将问题转化为二次函数的最值问题，从而得解.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在如图所示的斜三棱柱中，.（1）设，，，用，，表示，；（2）若，，求的长.【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）根据向量运算的几何表示求解；（2）根据向量模的公式及数量积运算求解.【小问1详解】在三棱柱中，侧面为平行四边形，则，所以.【小问2详解】由，，，所以，，所以，即，所以的长为.18.已知直线l过点.（1）从下面两个条件中任选一个，求直线l的方程；条件①：直线l的倾斜角比直线的倾斜角大；条件②：直线l的一个方向向量为；[注：若选多个条件作答，只按第一个作答给分]（2）若直线l在y轴截距是x轴截距的2倍，求直线l的方程.【答案】（1）（2）或.【解析】 【分析】（1）条件①：根据题意可知直线的倾斜角，进而可知l的倾斜角和斜率，结合直线的点斜式分析求解；条件②：由方向向量可知l的倾斜角和斜率，结合直线的点斜式分析求解；（2）分类讨论截距为0和截距不为0，结合直线的截距式方程运算求解.【小问1详解】条件①：因为直线的斜率为，可知其倾斜角为，则l的倾斜角为，可知l的斜率，所以l的方程为：，即；条件②：由直线l的一个方向向量为，可知l的斜率，所以l的方程为：，即.【小问2详解】设直线l在y轴上的截距为，则在x轴上的截距为，当截距为0时，直线l的方程为：；当截距不为0时，设l方程为，将点代入得：，则，所以直线l的方程为：，即；综上所述，直线l的方程为：或.19.已知半径为4的圆与直线相切，圆心在轴的负半轴上.（1）求圆的方程；（2）已知直线与圆相交于两点，且的面积为8，求直线的方程.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）根据直线与圆相切,根据点到直线距离公式求出圆心,再应用圆的标准方程即可;（2）根据几何法求弦长,再结合面积公式计算即可. 【小问1详解】由已知可设圆心，则，解得或（舍），所以圆的方程为.【小问2详解】设圆心到直线的距离为，则，即，解得，又，所以，解得，所以直线的方程为或.20.在正方体中，设，分别为棱，的中点.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连接交于，通过证明，证得平面.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值，或用定义法求二面角的余弦值.【小问1详解】连接交于，连接，，. 在正方体中，，，四边形是平行四边形，所以，.正方形中，，故是的中点，所以，且，在中，，分别是，的中点，所以，且，所以，且，故四边形是平行四边形，故，又平面，平面，所以平面.【小问2详解】法一：以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系.不妨设正方体的棱长为2，故，，，，. 在正方体中，平面，故是平面的一个法向量.设是平面的法向量，，，故即取，则所以是平面的一个法向量.故，设二面角的大小为，据图可知，，所以二面角的余弦值为.法二：取的中点，的中点，连接，，.在正方体中，，，又，分别是，的中点，故，，四边形是平行四边形，所以，又，，故，，因为，平面，所以平面，又平面，故.在正方形中，，在中，，分别是，的中点，故，所以， 又，平面，所以平面，因为平面，所以.所以是二面角的平面角.不妨设正方体的棱长为2，在中，，，故，所以，所以二面角的余弦值为.21.已知动圆与圆相切，且与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）设为曲线上的一个不在轴上的动点，过点作（为坐标原点）的平行线交曲线于两个不同的点，记的面积为，求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依题意可得，所以圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为8的椭圆，进而可求其方程；（2）由题意可得等于的面积，设直线的方程为，联立椭圆方程，结合韦达定理可得，令，则可由基本不等式求出的最大值.【小问1详解】由已知得，圆半径为9，圆半径为1，设动圆圆心，半径为， 由于动圆与圆相切，且与圆相内切，所以动圆与圆只能内切，故，所以，所以圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为8的椭圆，则，所以，所以曲线的方程为.【小问2详解】由已知得，所以等于的面积，即的面积为，由已知可设直线的方程为，，由得：，则，，所以，令，则，，所以，当且仅当即，亦即时，取最大值.综上，当时，的面积取得最大值为.22.我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妹”圆锥曲 线.已知椭圆：，双曲线是椭圆的“姊妹”圆锥曲线，，分别为，的离心率，且，点M，N分别为椭圆的左、右顶点，设过点的动直线l交双曲线右支A，B两点，若直线AM，BN的斜率分别为，.（1）求双曲线的方程；（2）试探究与的是否定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；（3）求的取值范围.【答案】22.；23.是，定值；24.；【解析】【分析】（1）根据题意，直接列式计算可得答案；（2）直线与双曲线联立，利用韦达定理进行消参，进而证明其比值为定值；（3）根据题意，利用韦达定理得出的范围，然后根据，可得，进而可得取值范围.【小问1详解】由题意可设双曲线：，则，解得，所以双曲线的方程为.【小问2详解】设，，直线AB的方程为， 由，消元得则，，且，∴；或由韦达定理可得，即，∴，即与的比值为定值.【小问3详解】思路一：设直线AM：，代入双曲线方程并整理得：，由于点M为双曲线的左顶点，所以此方程有一根为， 由韦达定理得：，解得.因为点A在双曲线的右支上，所以，解得，即，同理可得，由（2）中结论可知，得，所以，故，设，其图象对称轴为，则在，上单调递减，故，故的取值范围为.思路二：由于双曲线的渐近线方程为，如图，过点M作两渐近线的平行线与，由于点A在双曲线的右支上， 所以直线AM介于直线与之间（含x轴，不含直线与），所以，同理，过点N作两渐近线的平行线与，由于点B在双曲线右支上，所以直线BN介于直线与之间（不含x轴，不含直线与），所以.由（2）中结论可知，得，所以，故.【点睛】本题的解题关键是理解题目定义，求出双曲线方程，根据定点位置合理设出直线的方程形式，再利用直线与双曲线的位置关系得到韦达定理，然后利用斜率公式代入消元，即可判断斜率的比值是否为定值，注意非对称韦达的使用技巧，第三问，由第二问较容易得到函数关系式，难点是准确找到斜率的取值范围，从而得到精确的的范围.