重庆市育才中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（Word版附解析）

重庆市育才中学校高2025届2023-2024学年（上）半期考试数学试题本试卷为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效；3.考试结束后，将答题卡交回.第I卷一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用复数乘法运算求出即可得解.【详解】复数，在复平面内对应的点位于第二象限.故选：B2.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据给定方程及椭圆焦点位置，列出不等式求解即得.【详解】由方程表示焦点在轴上的椭圆，得，解得，所以实数的取值范围为.故选：A3.下列直线中，倾斜角最大的是（）A.B. C.D.【答案】C【解析】【分析】求出各选项中的直线倾斜角，再比较大小即得.【详解】直线的斜率为，倾斜角为；直线的斜率为，倾斜角为，直线的斜率为，倾斜角为；直线的斜率为，倾斜角为，显然直线的倾斜角最大.故选：C4.如图所示，空间四边形中，点分别为的中点，则等于（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据空间向量的线性运算结合空间向量的基本定理运算求解.【详解】因为点分别为的中点，所以，故选：B．5.已知圆：与圆：的公共弦所在直线与直线： 垂直，则的值为（）A.2B.C.8D.【答案】A【解析】【分析】求出圆与圆的公共弦所在直线方程，再由垂直关系求出并验证即得.【详解】把圆与圆的方程相减得：，即为圆与圆的公共弦所在直线方程，由直线与直线垂直，得，解得，当时，圆：，即的圆心，半径，而圆：圆心，半径，于是，则圆与圆相交，符合题意，所以的值为2.故选：A6.彗星“紫金山一号”是南京紫金山天文台发现的，它的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆.测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）距太阳中心1.486天文单位，远日点（距离太阳最远的点）距太阳中心5.563天文单位（1天文单位是太阳到地球的平均距离，约），且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则轨道椭圆的长轴长为______天文单位.（）A.7.0490B.4.0770C.3.5245D.2.0385【答案】A【解析】【分析】根据给定的信息，结合椭圆的特征列式计算即得.【详解】依题意，轨道的近日点和远日点为椭圆长轴的端点，而太阳为该轨道椭圆的一个焦点，所以轨道椭圆的长轴长为（天文单位）.故选：A 7.已知直三棱柱中，底面边长分别为、、3，高，则该三棱柱的外接球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理求的外接圆半径，结合直棱柱的结构特征求其外接圆半径，进而可得表面积.【详解】不妨设，由余弦定理可得，且，则，所以的外接圆半径，可得该三棱柱的外接球的半径，所以该三棱柱的外接球的表面积为.故选：B.8.已知，为双曲线的两个焦点，为双曲线上一点，且.则此双曲线离心率的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意，可得夹角的取值范围，整理相关等式，进而可得离心率的函数表达式，利用不等式定义，可得答案.【详解】设，，，由，则，显然，则整理可得，由， 则，解得，由双曲线定义可知：，则，整理可得，化简可得，由，且，则，可得或，解得或，所以，解得.故选：C.二.选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在空间直角坐标系中，设、分别是异面直线、的两个方向向量，、分别是平面、的两个法向量，若，，，，下列说法中正确的是（）A.B.C.D.异面直线、的夹角余弦值为【答案】BD【解析】【分析】根据给定条件，利用空间位置关系的向量证明判断ABC；利用线线角的向量求法计算判断D.【详解】由，，得不共线，因此直线与平面不垂直，A错误；由，，得，即，直线，B正确；由，，得，即，则，C错误；由，，得， 因此异面直线、的夹角余弦值为，D正确.故选：BD10.已知双曲线的离心率为，该双曲线的渐近线与圆交于、两点，则的可能取值为（）A.4B.C.D.8【答案】BC【解析】【分析】根据双曲线的离心率求出渐近线方程，再借助点到直线距离公式求出弦心距，进而求出弦长作答.【详解】由双曲线的离心率为，得，解得，于是该双曲线的渐近线方程为，而圆的圆心为，半径，点到直线的距离，即圆与直线相交，弦长为，点到直线的距离，即圆与直线相交，弦长为，所以的可能取值为.故选：BC 11.如图，在圆锥中，已知高.底面圆的半径为2，为母线的中点，根据圆锥曲线的定义，下列三个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线，则下面四个命题中正确的有（）A.圆锥的体积为B.圆的面积为C.椭圆的长轴长为D.双曲线两渐近线的夹角【答案】BCD【解析】【分析】利用圆锥的体积公式计算判断A；利用圆锥的几何性质确定圆的半径计算判断B；利用圆锥的轴截面求出判断C；建立平面直角坐标系，设双曲线方程，确定双曲线过的点的坐标计算判断D.【详解】对于A，圆锥底面圆面积，圆锥体积，A错误；对于B，圆锥中截面圆的半径为底面圆半径的一半，该圆面积为，B正确；对于C，过作于，于是，，因此椭圆的长轴长，C正确；对于D，在与平面垂直且过点的平面内，建立平面直角坐标系，坐标原点与点P到底面距离相等， 于是双曲线顶点，双曲线与圆锥底面圆周的交点，设双曲线方程为，则，解得，因此该双曲线的两条渐近线互相垂直，即双曲线两渐近线的夹角，D正确.故选：BCD12.设椭圆：的左右焦点分别为，，为椭圆上一动点，则下列说法不正确的有（）A.的面积最大值为B.直线与椭圆恒有两个公共点C.的最小值为9D.若，则的内切圆半径【答案】C【解析】【分析】A项：当点位于短轴顶点时，面积最大，从而求解；B项：直线过定点且在椭圆内，从而求解；C项：由椭圆定义知：，然后利用基本不等式求解；D项：先求出的面积值，然后利用面积与内切圆半径的关系，从而求解.【详解】A项：当位于短轴顶点时，的面积有最大值为：，故A项正确；B项：直线：过定点，且，所以点在椭圆内，即直线与椭圆恒有两个公共点，故B项正确； C项：由椭圆定义知：，所以：，当且仅当：时取等号，故C项错误；D项：由题意知：，则由椭圆定义和余弦定理得：，解得：，所以：的面积有为：，设的内切圆半径为，则：，解得：，故D项正确.故选：C.第II卷三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.张老师在课堂上与学生一起探究某双曲线的简单几何性质时，有四位同学分别给出了一个结论：甲：该双曲线的实轴长为6乙：该双曲线的虚轴长为8丙：该双曲线的焦距长为5丁：该双曲线的一条渐近线可以为如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是______.【答案】丙【解析】【分析】根据双曲线方程中的大小关系，判断并验证即可.【详解】双曲线的实半轴长，虚半轴长，半焦距，有，即有，显然甲乙丙3人的结论中至少有两个正确，由于焦距比实轴、虚轴都长，因此丙的结论是错误的，此时，则该双曲线的一条渐近线可以为，丁的结论也正确，符合题意，所以结论错误的同学是丙.故答案为：丙 14.已知入射光线经过点被轴反射后，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为______.【答案】【解析】【分析】求得点关于轴的对称点的坐标，再用两点式求得反射光线所在的直线的方程．【详解】由题意利用反射定律可得，点关于轴的对称点在反射光线所在的直线上，故反射光线所在直线的方程为，化简可得.故答案为：．15.已知直线与双曲线交于、两点，若弦的中点为，则直线的方程为______.【答案】【解析】【分析】利用点差法可求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程.【详解】若直线轴，则的中点在轴上，不合乎题意，设点、，因为若弦的中点为，则，因为，可得，即，所以，，因此，直线的方程为，即.联立可得，，所以，直线与双曲线有两个交点，合乎题意，因此，直线的方程为， 故答案为：.16.已知椭圆：的左右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，则的离心率为______.【答案】【解析】【分析】设，利用椭圆定义及对称性表示出，结合勾股定理可得，再利用余弦定理求解即得.【详解】令椭圆：的半焦距为c，设，则，由点在轴上，，得，而，，因此，即，解得，在中，，在中，由余弦定理得，即，整理得，，所以的离心率为.故答案为： 四.解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在中，角，，的对边分别为，，，已知.（1）求角的大小；（2）若，，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用余弦定理求解即得.（2）由（1）中信息求出，再利用三角形面积公式计算即得.【小问1详解】在中，由及正弦定理得，即，由余弦定理得，而，所以.【小问2详解】由（1）知，而，，即有，而，解得，所以的面积为.18.如图，在四棱锥中，底面为正方形，，，，为中点. （1）求证：平面；（2）求直线和平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定推理即得.（2）取中点，证明平面平面，利用几何法求出线面角的正弦即得.【小问1详解】在四棱锥中，由，为的中点，得，而，平面，所以平面.【小问2详解】取中点，连接，由是正方形，为的中点，得，而，则，由（1）知平面，平面，则，而平面，于是平面，又平面，则平面平面，因此在平面上的射影为平面与平面的交线，则为直线和平面所成的角，由，，为的中点，得，由平面，平面，得，， 所以直线和平面所成的角的正弦值为.19.已知双曲线：与椭圆有相同的焦点，且经过点.（1）求双曲线的方程；（2）若直线与双曲线交于、两点，且，为坐标原点，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由椭圆方程求出双曲线的焦点，再根据给定点求出即可.（2）联立直线与双曲线方程，利用向量垂直的坐标表示求解即得.【小问1详解】令双曲线：的半焦距为c，由双曲线与椭圆有相同的焦点，得，即，由双曲线过点，得，解得，所以双曲线的方程为.【小问2详解】由（1）得，消去y得：，，解得，设，则，，由，得，即，于是，解得，所以的值为. 20.已知圆经过两点、，且圆的圆心在直线上.（1）求圆的方程；（2）若点为直线：上的动点，过点作圆的切线、，切点为、，求四边形面积的最小值，并出此时点的坐标.【答案】（1）（2）；【解析】【分析】（1）根据圆上的两个已知点求得其对称轴，联立方程求得圆心，利用两点距离公式，可得答案；（2）根据题意，作图，结合切线的性质以及动点与直线的性质，可得答案.【小问1详解】由与，则直线的斜率，其中点坐标为，所以的对称轴为直线，易知圆心在直线上，联立，解得，则，半径，所以圆的标准方程为.【小问2详解】根据题意，作图如下： 由图可知：四边形的面积为，且，，在中，，因为，所以当最小时，最小，当时，最小，此时最小，此时，，，所以四边形面积的最小值为，由直线，则其斜率，直线的斜率，则直线的方程为，整理可得，联立，解得，则.21.已知，如图（1）在五边形中，，，，，，现将沿折起得到图（2），且使得平面平面，在线段上.图（1）图（2）（1）若，求证：平面；（2）若，当为何值时，平面和平面夹角的余弦值为. 【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接，连接，利用线面平行的判定推理即得.（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求面面角的求解方法，求出值即可.【小问1详解】连接，连接，由，，得，由，得，则，而平面，平面，所以平面.【小问2详解】由平面平面，平面平面，，得平面，在平面内过作，显然射线两两垂直，以点为原点，射线分别为轴的非负半轴，建立空间直角坐标系，由，，，得，由，得，，，令平面的一个法向量为，则，取，得，令平面的一个法向量为，则，取，得，由平面和平面夹角的余弦值为，得， 于是，解得，所以当时，平面和平面夹角的余弦值为.22.在平面直角坐标系中，、为圆：与轴的交点，点为该平面内异于、两点的动点，且______，从下列条件中任选一个补充在上面问题中作答.条件①：直线与直线的斜率之积为；条件②：设为圆上的动点，为点在轴上的射影，且为的中点；注：如果选择多个条件作答，按第一个计分.（1）求动点的轨迹方程；（2）若直线与（1）问中轨迹方程交于、两点，与圆相交于、两点，且，求面积最大值.【答案】（1）①：；②：（2）【解析】【分析】（1）选①：表示出两条直线的斜率，整理方程，可得答案；选②：表示出点的坐标，利用中点坐标公式，建立等量关系，结合圆的方程，可得答案.（2）根据圆心角求得弦心距，利用直线与椭圆的弦长公式，结合分类讨论以及函数思想，可得答案.小问1详解】选①：设，由圆，则，，所以直线的斜率分为为，，其中，由题意可得，整理可得.选②：设，，则，， 由为的中点，则，解得，可得，整理可得.【小问2详解】在圆中，由，，则，在中，，则，当直线的斜率不存在时，可得，代入方程，可得：，解得，可得；当直线的斜率存在时，可设，联立可得，消去整理可得：，，根据韦达定理可得：，，整理可得，则，解得， ，令，则，令，解得或，可得下表：所以，则的最大值为，综上所述，的最大值为.