重庆市第八中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

重庆八中2023-2024学年度（上）月考高一年级数学试题一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据集合的交集和并集运算求解即可.【详解】由，由，得，所以，则.故选：D.2.“”是“”的（）A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用特殊值、不等式的性质，以及充分、必要条件等知识确定正确答案.【详解】令，满足，但不满足；当时，，即，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B3.函数的零点所在区间为（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，由零点存在定理，代入计算，即可判断.【详解】函数是定义域上的增函数，又，，所以，所以函数的零点所在区间为.故选：B.4.若，幂函数在上单调递减，则实数的值为（）A.B.3C.或3D.【答案】C【解析】【分析】由幂函数定义结合幂函数单调性知识可得答案.【详解】由为幂函数有，即或，又由在上单调递减得，经验证或均成立.故选：.5.已知函数，则的定义域为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先求出的定义域，利用抽象函数求定义域的方法求解的定义域.【详解】解：由根据函数的解析式可知，有，即定义域为 定义域为.故选：A.6.小明使用一架两臂不等长的天平称黄金.小明先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，你认为小明两次称得的黄金总重量（）（附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有，其中分别为左右盘中物体质量，分别为左右横梁臂长）.A.等于B.小于C.大于D.与左右臂的长度有关【答案】C【解析】【分析】设天平左臂长为，右臂长为，根据已知条件列式，然后利用基本不等式求得正确答案.【详解】由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为，右臂长为，则，再设先称得黄金为，后称得黄金为，则，，当且仅当，即时等号成立，但，等号不成立，即.因此，小明两次称得的黄金总重量大于.故选：C7.若函数在上有意义且不单调，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用对数底数的取值范围得到且，再设，利用它在区间上有意义且不单调，进一步求的取值范围.【详解】根据对数底数的取值范围得：且.设，在区间上不单调，由知开口向下，只需要对称轴，且即可， 所以：，解得.故选：D8.若函数是偶函数，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由偶函数定义可化简整理得到，代入消元，可将所求式子化为关于的二次函数，结合二次函数值域和的范围可求得结果.【详解】为偶函数，，即，，，，，则，，且，，即的取值范围为.故选：C.二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列大小关系正确的是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根据指数函数，对数函数及幂函数的单调性比较大小. 【详解】A选项：由指数函数为单调递增函数，可得成立，所以选项正确；B选项：由幂函数为单调递增函数，可得成立，所以B选项正确；C选项：由对数函数为单调递增函数，则，所以C选项不正确；D选项：由函数与均为单调递增函数，则，而，所以D选项正确.故选：ABD.10.若“”为假命题，则的值可能为（）A.B.0C.2D.4【答案】BC【解析】【分析】首先根据“”为假命题，将问题转化为“”恒成立问题，然后通过对分类讨论求解；【详解】“”为假命题，则“”为真命题，当时，，符合题意，当时，，解得，故的值可能为，故选：BC.11.函数的大致图象可能是（）A.B.C.D.【答案】BCD 【解析】【分析】对的取值进行分类讨论，利用导数对函数的单调性进行分析即可判断函数的大致图象.【详解】当时，是偶函数，当时，为减函数，此时对应图象可能是C；当时，，令得，为非奇非偶函数，且，令其对应方程的，设其对应方程的两根分别为，，，所以，，，，，，即函数在和上单调递减，在上单调递增，由单调性判断此时对应图象可能是B；当时，非奇非偶函数，在处无定义，取时且单增，时且单增，时单增，此时对应图象可能是D；对于A，由于图象无间断点，故，但此时在上不可能恒正，故选：BCD.12.已知函数，则下列选项正确的是（）A.函数的值域为B.方程有两个不等的实数解C.不等式的解集为D.关于的方程的解的个数可能为【答案】ACD【解析】【分析】画出函数的图象，通过图象即可确定函数的值域求解A，根据与函数图象 的交点个数即可求解B,根据时确定或，即可由或求解C，结合二次函数的性质即可求解D.【详解】画出的图象，如下图所示：令，解得或，所以的图象与轴交于，对于A，由图象可知，函数的值域为A对；对于B，由图象可知，直线与函数图象有三个不同的交点，故方程有三个不等的实数解，B错；对于C，由图象可知，当或时，，所以，由，可得或.令，解得或；令，解得或，由图象可知，不等式解集为C对；对于D，令，则，则，当时，，由图可知与的图象有两个交点，即方程解的个数为2个，当时，即时，，则，故，，当时，则有两解， 当时，若，则有三解，若，则有两解，故方程解的个数为4或5个，综上方程解的个数可能为个.故选：ACD.【点睛】方法点睛：函数零点求参数取值范围常用的方法和思路（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数在上有一个零点，用二分法求零点的近似值（精确度为0.1时，至少需要进行__________次函数值的计算.【答案】4【解析】【分析】根据二分法求零点的方法，计算一次，区间精度变为上一次的，根据精度要求即可求解.【详解】设对区间二等分次，初始区间长度为1，第1次计算后区间长度为；第2次计算后区间长度为；第3次计算后区间长度为；第4次计算后区间长度为；故至少计算4次.故答案为：4.14已知，则_________．【答案】2【解析】分析】由可得代入目标，利用换底公式即可得到结果.【详解】∵ ∴，∴故答案为2【点睛】本题考查对数的运算性质，考查了指数式和对数式的互化，考查了计算能力，属于基础题.15.若函数在上只有一个零点，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】根据题意，将函数零点问题转化为方程根的问题，然后分离参数，构造函数，即可得到结果.【详解】，设，，令在上单调递减，故.故答案为：16.已知函数，若，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】构造函数，得其为奇函数，结合单调性即可求解.【详解】解：令，因为， 为奇函数，又因为，由复合函数单调性知为的增函数，，则，，解得或，故.故答案为：四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知集合，集合.（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据绝对值不等式和分式不等式的解法求出集合A、B，然后由交集运算可得；（2）根据，结合数轴分析即可求解.【小问1详解】若，由，解得或，则或，又，即，解得，则，.【小问2详解】由题设解得或，，且， ，解得，所以实数的取值范围是.18.已知函数.（1）若的解集为，求实数的值；（2）若，求不等式的解集.【答案】（1）1（2）答案见解析【解析】【分析】（1）的解集为即且和是方程的两根，列式求解即可；（2）根据图像与x轴的交点情况分类讨论，确定解集.【小问1详解】由题设知，且和是方程的两根，所以，解得.【小问2详解】①若，则，此时图像恒在x轴上方，所以的解集为；②若，则，此时的图像开后向上且与x轴只有一个交点，所以的解集为；③若，则，此时图像与x轴有两个交点，令，解得， 所以此时的解集为.综上，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.19.塑料袋给我们生活带来了方便，但对环境造成了巨大危害.某品牌塑料袋经自然降解后残留量与时间年之间的关系为为初始量，为光解系数（与光照强度､湿度及氧气浓度有关），为塑料分子聚态结构系数.（参考数据：）（1）已知塑料分子聚态结构系数是光解系数的90倍，若塑料自然降解到残留量为初始量的时，大约需要多少年？（2）为了缩短降解时间，该品牌改变了塑料分子聚态结构，其他条件不变.已知2年就可降解初始量的.要使残留量不超过初始量的5%，至少需要多少年？【答案】（1）144年（2）26年【解析】【分析】（1）由题意代入条件式运算得解；（2）由题意得，可求出，然后解不等式可得结果.【小问1详解】由题可知，所以，所以，解得，所以残留量为初始量的，大约需要144年.【小问2详解】根据题意当时，，，，若残留量不超过初始量的，则，即两边取常用对数， 解得，所以至少需要26年.20.已知函数，函数.（1）求函数的解析式；（2）若图象恒在图象的下方，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，令，得到，求得，即可求得的解析式；（2）根据题意，转化为任意，不等式恒成立，令，得到，再令，则，结合基本不等式，即可求解.【小问1详解】由函数的定义域为，令，因为，所以，则，所以，即函数的解析式为.【小问2详解】由图象恒在图象的下方，即恒成立，即对任意，不等式恒成立，即对任意，不等式恒成立，令，则，再令，则， 当且仅当时，即，时，等号成立，所以，即实数的取值范围为.21.已知定义在上的函数满足，且当时，.（1）证明函数是偶函数；（2）证明函数在上的单调性；（3）若，解不等式.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）令得到，再令得到，然后令，结合奇偶性的定义判断.（2）设，且，得到，由得到，再利用单调性的定义证明；（3）令，得到，将原不等式转化为，再利用单调性求解.【小问1详解】解：令得，即；令得，即.令得，即，所以是偶函数【小问2详解】设，且，则.由得， 则，即，所以函数在上单调递增；【小问3详解】令，则，由已知定义，，所以，因为是偶函数，且在单调递增，所以，解得或且，即的解集为：.22.已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”.（1）判断是否为的“重覆盖函数”，如果是，求出的值；如果不是，说明理由.（2）若为的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围；（3）函数表示不超过的最大整数，如.若 为的“5重覆盖函数”，求正实数的取值范围.【答案】22.是，1；23.；24.【解析】【分析】（1）根据定义，结合单调性即可求解；（2）先求出的值域，然后将问题转化为的图象与直线有两个交点的问题，然后对a进行分类讨论可得；（3）作出的图象，结合图象可解.【小问1详解】由定义可得，对任意，恰好存在个不同的实数，使得（其中），即，，且为增函数，对于任意，都有唯一一个，使得，是的“重覆盖函数”，；【小问2详解】可得的定义域为，即，存在2个不同的实数，使得，其中，，，即，即对任意有2个实根，当时，已有一个根，故只需时仅有1个根. 当时，，符合题意，当时，若对称轴，，且，在上单调递减，上单调递增，则一定存在使得有两个根，舍去；若对称轴，则无解，舍去；若对称轴，则在上必须单调递减，且，，解得；当时，对称轴，且，时，，无解；当时，单调递减且，因此仅有1个根，符合题意.综上，实数的取值范围是；【小问3详解】对于任意要有5个根， ，作出函数的图像，如下图：要使有5个根，需，又，解得，所以正实数的取值范围.