重庆市第十八中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析）

重庆市第十八中学2023-2024学年（上）中期学习能力摸底高一数学试题考试说明：1．考试时间120分钟2．试题总分150分3．试卷页数3页一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的）1.设全集，集合满足，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据给定运算结果，求出集合，再逐项判断即得.【详解】全集，由，得，所以，ABD错误，C正确.故选：C2.已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如下图所示，则的值为（）12343A.B.0C.3D.4【答案】D【解析】【分析】观察函数图象得，再利用数表求解即得.【详解】观察函数的图象，得，由数表得， 所以.故选：D3.“为有理数”是“为有理数”的（）条件A.充要B.充分不必要C.必要不充分D.既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】根据题意易知充分性成立，不妨取，满足为有理数，但为无理数，即必要性不成立，可得结论.【详解】易知当“为有理数”时，可得“为有理数”，所以充分性成立；但若“为有理数”时，例如，此时不满足“为有理数”，即必要性不成立，所以可知“为有理数”是“为有理数”充分不必要条件.故选：B4.若命题“”为真命题，则的取值范围是（）A.B.C.或D.或【答案】D【解析】【分析】命题为真命题转化为二次不等式有解问题，再转化为二次函数图象与轴有交点得，由此解得的取值范围.【详解】由题意，不等式有解.即不等式有解.设，则函数图象开口向上，要使不等式有解，则函数图象与轴有交点，则，化简得，解得，或.故选：D. 5.已知函数的图象如下图所示，则的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由二次函数性质即可得，再由指数函数性质及图象即可判断得出结果.【详解】根据函数的图象可知，再由指数函数图象及性质可知，为单调递增，可排除AB，且与轴交点为，又，所以，即交于轴正半轴上，排除D，可知C正确；故选：C6.设，则大小关系为（）AB.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据指数幂的运算可得，即可得，再利用指数函数单调性可得，即可得结论.【详解】易知均大于零， 又，显然，可得；又，，所以，可知.故选：C7.已知函数，且，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】令函数，探讨函数的性质，再把不等式等价转化即可求解得答案.【详解】函数的定义域为R，令函数，则显然，函数在R上都单调递增，因此在R上单调递增，不等式化为，即，于是，即，解得，所以实数的取值范围是.故选：A8.定义在上的函数满足，且当时，，则方程所有的根之和为（）A.10B.18C.22D.26【答案】B【解析】【分析】由题意可知函数关于成轴对称且又关于成中心对称，分别画出函数与函数在同一坐标系下的图象，利用交点坐标关于对称即可求得所有根之和为.【详解】根据题意由可知，函数关于成轴对称，由 可知函数关于成中心对称，由可得；分别画出函数与函数的图象如下图所示：显然两函数图象都过，且都关于成中心对称，易知当时，，所以两函数图象在两侧各有4个交点，关于对称的两根之和为4，所以可得所有的根之和为.故选：B二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.我国南北朝时期著名的数学家祖冲之算出圆周率的值在3.1415926和3.1415927之间，这比外国早了近千年．事实上，无理数．如果记小数点后第位上的数字为，则是关于的函数，记．设函数的定义域为，值域为，则关于函数，下列说法正确的有（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根据给定信息求出函数的定义域、值域，再逐项判断即得.【详解】依题意，，，显然，，，AD正确，C错误； 而小数点后第8位上的数字为5，因此，B正确.故选：ABD10.已知，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】AD【解析】【分析】A项由不等式同乘正数性质可得；B项作差比较法或特值验证法可得；C项，特值验证；D项，由同向不等式可加性可得.【详解】选项A，若，由，则有，故A正确；选项B，法一：当时，，故B错误；法二：由，则，由，则，故B错误；选项C，当时，，，故C错误；选项D，由，得，则，故D正确.故选：AD.11.已知为正实数，，则（）A.B.的最大值为 C.D.的最大值为【答案】BCD【解析】【分析】根据给定条件，利用基本不等式求解判断AB；利用基本不等式，结合指数运算判断C；利用基本不等式“1”的妙用判断D.【详解】为正实数，则，当且仅当时取等号，因此，A错误；，当且仅当时取等号，B正确；，当且仅当时取等号，C正确；，当且仅当，即时取等号，由，得，所以当时，取得最大值，D正确.故选：BCD12.设函数，其中表示中的最小者，下列说法正确的有（）A.函数为偶函数B.不等式的解集为C.当时，D.当时，【答案】ACD【解析】 【分析】作出函数的图象，易判断AB，然后分类讨论确定、和的表达式，判断CD．【详解】作出函数的图象，如图实线部分．由图可知其图象关于轴对称，函数为偶函数，A正确；当时，，当时，，当时，，当时，，当时，.，再计算得，根据图得解集为，B错；当时，即为，恒成立；当，即时，即，即，解得，故此时范围为，当，即，则，即为，解得，故此时的范围为，综上，，则，反过来同样成立，故C正确；对D，由B选项知时，，则，则成立，D正确．故选：ACD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上）13.已知，则______．【答案】##【解析】【分析】利用指数式与对数式互化关系，结合指数运算法则求解即得. 【详解】由，得，而，所以.故答案为：14.写出一个同时具有下列三个性质的一个幂函数：______．（1）偶函数；（2）值域是；（3）在上是增函数．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据幂函数的奇偶性以及单调性，即可直接写出.【详解】函数的定义域为，显然，即函数是偶函数，由于，因此函数的值域是；函数在上单调递减，在上单调递增，所以是同时具有给定三个性质的一个幂函数.故答案为：15.已知函数满足对于任意实数且，都有成立，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据给定条件可得函数在R上单调递减，再由分段函数在R上单调的性质列式求解即得.【详解】依题意，函数f(x)定义域是R，因对任意，都有成立，则有函数在R上单调递减， 于是得，解得：，所以a的取值范围是：.故答案为：.16.对于函数，若，则称为函数的“不动点”；若，则称为函数的“稳定点”．如果函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，那么实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，不存在非“不动点”的“稳定点”，则由有解，但方程组无解，求解即得.【详解】因为函数的“不动点”一定是“稳定点”，而函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，即不存在非“不动点”的“稳定点”，因此方程有解，但方程组无解，由，得有解，则有，解得，由，得，两式相减得，而，于是，从而，显然方程无解或仅有两个相等的实根，因此，解得，所以a的取值范围是.故答案为：四、解答题（共70分．17题10分，其余各题12分，解答应写出必要的文字说明，证明过程 或演算步骤）17.已知集合．（1）求集合；（2）若，求实数的取值范围．【答案】17.18.【解析】【分析】（1）根据定义域即可求解；（2）根据得到即可求解.【小问1详解】由题意得，所以，所以；【小问2详解】若，所以，①当集合不为空集时，，解得；②当集合为空集时，，解得，综上所述，实数a的取值范围.18.已知关于的不等式的解集为．（1）求关于的不等式的解集；（2）求的最小值．【答案】（1）（2）16【解析】【分析】（1）根据韦达定理代入即可解出不等式； （2）减少变量，将式子转化为，再利用基本不等式即可.【小问1详解】由题意得是方程的两实数根，且，则有，即，，即，由，得，解得或，则不等式解集为.【小问2详解】因为，且由（1）得，当且仅当，即时等号成立.则的最小值为16.19.已知二次函数满足：且．（1）求的解析式；（2）若在区间上单调递增，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设出的解析式，利用待定系数法求出即得.（2）利用（1）的解析式，分段讨论求出单调递增区间，再借助集合包含关系求解即得.【小问1详解】设二次函数， 则，由，得，解得，又，即，于是，所以的解析式是.【小问2详解】由（1）得，当时，的单调递增区间为，依题意，，则；当时，的单调递增区间为，依题意，，则，解得，所以实数的取值范围是.20.已知函数是定义在上的奇函数，且（1）求实数和的值；（2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论；（3）若，都有，求实数的取值范围，【答案】（1）（2）在是减函数，证明见解析（3）【解析】【分析】（1）由函数在有定义，则，又已知，代入解析式可待定系数；（2）函数在是减函数，利用定义证明即可； （3）由函数的奇偶性与单调性解抽象不等式，将条件转化为恒成立问题，分离参数即可求解.【小问1详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以，解得，又因，则，解得，则，对于，都有，满足题意.故；【小问2详解】由（1）知，在是减函数.证明：任取，且，所以，因为，所以，则，所以，故在是减函数.【小问3详解】由，又因为函数是定义在上的奇函数， 所以，又因为在是减函数，则有，由已知，，即恒成立，所以对恒成立，即恒成立，设，则在单调递减，则，要使恒成立，则；设，则在单调递减，则，要使恒成立，则；所以.故要使，都有，则的取值范围为.21.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表：每户每月用水量水价不超过的部分3元 超过但不超过的部分6元超过的部分8元（1）求用户每月缴纳水费（单位：元）与每月用水量（单位：）的函数关系式；（2）随着生活水平的提高，人们对生活的品质有了更高的要求，经验表明，当居民用水量在一定范围内时，若随性用水，用水量增加，生活越方便；若时刻想着节约用水，生活也会麻烦．数据表明，人们的“幸福感指数”与缴纳水费及“生活麻烦系数”存在以下关系：（其中），当某居民用水量超过时，求该居民“幸福感指数”的最大值及此时的用水量【答案】（1）（2）的最大值为，此时的用水量为.【解析】【分析】（1）根据已知条件，分段求解函数关系式即可；（2）根据题意写出与的关系式，再求其最大值即可.【小问1详解】当时，；当时，；当时，；可知与的函数关系式为．【小问2详解】由题意可知：当时， ，当且仅当，即（负舍）时等号成立，当时，，当且仅当，即时等号成立，因为，故居民“幸福感指数”的最大值为，此时用水量为．22.已知分别是定义在上的奇函数、偶函数，且．（1）求的解析式；（2）记，且存在唯一，使，求实数的取值范围．【答案】（1），.（2）【解析】【分析】（1）用替换再利用奇偶性得到，与已知条件联立即可得到函数，的解析式；（2）通过换元将问题转化为方程在有唯一解.再分离参数转化为两函数图象交点问题处理即可.【小问1详解】，用代替得，分别是定义在上的奇函数、偶函数, 则，则，解得，.【小问2详解】，则，则，存在唯一，使，即方程有唯一解，由，由两增函数的和为增函数，知函数在单调递增，则，令，则方程在有唯一解.方程可化为，即函数与函数的图象在内有唯一交点.设，由，当且仅当时，等号成立，又在单调递减，在单调递增，且,作出函数在的大致图象，如图. 要使函数与其图象有唯一交点，则有，或.故实数的取值范围为．