重庆市 2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析）

高2026届高一（上）期中考试数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟.一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】解绝对值不等式求得集合，由此求得.【详解】由解得，所以,所以.故选：A2.下列函数是偶函数且在上单调递增的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的奇偶性、单调性来确定正确答案.【详解】A选项，的定义域为，是非奇非偶函数，A选项错误. B选项，的定义域为，，所以不是偶函数，B选项错误.C选项，的定义域为，，所以不是偶函数，C选项错误.D选项，的定义域为，，是偶函数，当时，所以在上单调递增，D选项正确.故选：D3.已知函数在区间上的值域是，则区间可能是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】结合选项，根据二次函数的性质求解判断.【详解】函数对称轴为，当时，当时，当时，值域为，故A错误；当时，当时，当时，值域为，故B正确；当时，当时，当时，值域为，故C错误；当时，当时，当时，值域为，故D错误.故选：B.4.设，，均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据对数运算对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，，所以A选项错误.BD选项，由于，所以B选项错误，D选项正确.C选项，不妨设，则，此时，所以C选项错误故选：D5.函数的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据的定义域即可判断.【详解】由于，得，所以的定义域是，由此排除ABD选项，所以正确的选项为C.故选：C.6.设定义在上函数满足为偶函数，为奇函数，，则（）A.B.0C.1D.3【答案】C【解析】 【分析】先根据为奇函数和为偶函数得出对称轴及对称中心，再化简得出周期，最后应用已知函数值即可求解.【详解】偶函数，,为奇函数，,,,,.故选:C.7.已知，，则是的（）条件A.充分不必要B.充分必要C.必要不充分D.既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质及充分条件必要条件的概念判断.【详解】若，当时，有，当时，有，故，充分性成立，若，取，则，必要性不成立，故是的充分不必要条件.故选：A.8.已知函数在上单调递增，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】令，利用复合函数的单调性，结合指数函数与二次函数的单调性求解即可.【详解】令,则， 当时，单调递增，且，当时，，当时单调递增，则函数在上单调递增，符合题意；当时，的对称轴为，由题意，当时，表示开口向下的抛物线，对称轴为，在上单调递减，不符合题意，综上，.故选：A.二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每个给出的四个选项中，有多项是满足要求的，全部选对得5分，部分选对得2分）9.下列命题为真命题的是（）A.若，则B.若，则C.若，，则D.若，，则【答案】AC【解析】【分析】利用特殊值、差比较法、不等式的性质求得正确答案.【详解】A选项，若，而，则，当时等号成立，所以A选项是真命题.B选项，若，如时，，所以B选项是假命题.C选项，，，则，所以，所以C选项是真命题.D选项，若，，取，则，所以D选项是假命题. 故选：AC10.下列命题是真命题的是（）A.若，则B.若的定义域为，则的定义域为；C.函数是定义在上的单调递增奇函数D.记为实数，的最小值，为实数，的最大值，函数，，，，则的最大值与的最小值的差为4.【答案】AD【解析】【分析】根据函数的单调性、定义域、最值等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，由得，所以，所以A选项为真命题.B选项，的定义域是，所以，所以的定义域为，所以B选项为假命题.C选项，对于函数，当时，，所以在上单调递减，所以C选项错误.D选项，由解得或， 由于，所以的图象如下图所示，所以的最大值是.由于，所以的图象如下图所示， 所以的最小值为，所以的最大值与的最小值的差为4，D选项正确.故选：AD11.已知函数的图象关于成中心对称图形的充要条件是是奇函数，函数的图象关于成轴对称图形的充要条件是是偶函数.则下列说法正确的是（）A.的对称中心为B关于对称C.的对称中心为D.的图象关于对称【答案】AB【解析】【分析】根据已知条件，结合函数的奇偶性、对称性对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，，设，为奇函数， 所以的对称中心为，所以A选项正确.B选项，，设，为偶函数，所以关于对称，所以B选项正确.C选项，，设，，所以不是奇函数，所以C选项错误.D选项，，设，，所以不是奇函数，所以D选项错误.故选：AB12.已知实数，满足，则下列结论正确的是（）A.的最大值为B.的最大值为2C.的最小值为D.的最小值为【答案】AD【解析】【分析】对于选项ABC，利用基本不等式求解判断；对于选项D，令，代入，利用判别式求解判断.【详解】对于选项AB，，则，当且仅当时等号成立， 故的最大值为，故A正确，B错误；对于选项C，，则，当且仅当时等号成立，则，当且仅当时等号成立，故C错误；对于选项D，令，代入，得，当且仅当时，成立，即的最小值为，故D正确.故选：AD.三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.命题“，”的否定是__________.【答案】【解析】【分析】根据存在量词命题的否定的知识求得正确答案.【详解】命题“，”是存在量词命题，其否定是全称量词命题：.故答案为：14.已知，则的最小值为__________.【答案】 【解析】【分析】先求得的等量关系式，然后利用基本不等式求得正确答案.【详解】，所以，当且仅当，即时等号成立.故答案为：15.已知某种果蔬的有效保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）近似满足函数关系（，为常数，为自然对数底数），若该果蔬在的保鲜时间为216小时，在的有效保鲜时间为8小时，那么在时，该果蔬的有效保鲜时间大约为__________小时.【答案】【解析】【分析】根据已知条件求得，进而求得正确答案.【详解】依题意，两式相除得，则，所以当时，小时.故答案为：16.已知函数设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】分段讨论，把恒成立问题转化为函数最值问题，根据二次函数的性质及基本不等式求解.【详解】当时，， 若恒成立，即恒成立，即恒成立，∵，当时取等号，，当时取等号，∴；当时，，若恒成立，则恒成立，即恒成立，∵，当且仅当，即时取等号，，当且仅当，即时取等号，∴，综上，，即取值范围是.故答案为：.四、解答题（本大题共6个小题，其中第17题10分，18-22题每道大题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.求值（1）（2）已知，，用，表示.【答案】（1）（2） 【解析】【分析】（1）根据根式、指数运算求得正确答案.（2）根据对数运算求得正确答案.【小问1详解】.【小问2详解】，所以18.已知关于的方程有实根，集合.（1）求的取值集合；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分，两种情况讨论，结合判别式求解；（2）若，则，分，两种情况讨论，列出不等式求解即可.【小问1详解】方程有实根，若，该方程无解；若，则，解得或，综上，.【小问2详解】 若，则，当时，，符合题意；当时，，∵，∴或，∴，综上，.19.定义上的函数为奇函数，为偶函数，.（1）求函数、的解析式；（2）判断并证明的单调性.【答案】（1），（2）在区间上单调递减，在区间上单调递增，证明详见解析【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性列方程来求得和的解析式.（2）根据函数单调性的定义以及函数的奇偶性证得的单调性.【小问1详解】依题意，定义上的函数为奇函数，为偶函数，且，则，所以，两式相加得，所以.【小问2详解】在区间上单调递减，在区间上单调递增，证明如下：当时，任取，，其中，所以， 所以在区间上单调递增，由于是偶函数，所以在区间上单调递减.20.已知为实数，用表示不超过的最大整数.（1）若函数，求，的值；（2）若存在，使得，则称函数是函数，若函数是函数，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据的定义求得正确答案.（2）根据函数的定义列方程，对进行分类讨论，结合函数的单调性求得的取值范围.【小问1详解】由于，所以.【小问2详解】当时，，则：存在，使得，对于，当时，在上单调递增，所以不存在符合题意的.当时，若或，即或时，在区间上是单调函数，所以不存在符合题意的.所以，即，此时在区间上单调递减，在区间上单调递增，要使“存在，使得”， 则需，即，所以，即的取值范围是.21.已知函数，，，.（1）求的解析式并判断其奇偶性；（2）已知对任意，，都有，求参数的取值范围.【答案】（1），偶函数（2）或【解析】【分析】（1）根据所给定义直接得到函数解析式，再根据奇偶性的定义判断即可；（2）首先求出，依题意可得恒成立，即恒成立，令，则在上恒成立，即可得到或在上恒成立，结合二次函数的性质计算可得.【小问1详解】因为，，所以，则的定义域为，且，所以为偶函数.【小问2详解】 因为，令，则，当且仅当时取等号，令，，所以，，对于，任取，且，则，所以在上单调递增，又在上单调递减，所以在上单调递减，则当时，即当时取得最大值，又，对任意的，，都有，则恒成立，即恒成立，令，，则在上恒成立，所以或在上恒成立，若在上恒成立，因为，即，当且仅当时取等号，所以，若在上恒成立，因为，所以，综上可得或. 【点睛】关键点睛：本题第二问关键是将问题转化为恒成立.22.已知定义域为的函数，若存在实数，使得，都存在满足，则称函数具有性质.（1）判断函数是否具有性质，是否具有性质，说明理由；（2）若存在唯一实数，使得函数，具有性质，求实数的值.【答案】（1）函数不具有性质，函数具有性质，理由见解析（2）或.【解析】【分析】（1）根据新定义判断证明即可；（2）记函数的值域为，函数的值域，由题意可得，然后对进行分类讨论，结合一次函数与二次函数的性质求解即可.【小问1详解】函数不具有性质．理由如下：对于因为，所以不存在满足，所以函数不具有性质．函数具有性质，理由如下：的值域亦为，故，使得，所以函数具有性质.【小问2详解】记函数的值域为，函数的值域.因为存在唯一的实数，使得函数有性质，即存在唯一的实数，对，使得成立， 所以，①当时，，其值域，由得.②当，且时，是增函数，所以其值域，由得，舍去.③当时，的最大值为，最小值为，所以的值域，由得，舍去，④当时，的最大值为，最小值为，所以的值域，由得或（舍），综上所述，或.